2020-2021学年浙江省湖州市南浔区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省湖州市南浔区八年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．2B．±2C．4D．﹣4
2．（3分）以下关于垃圾分类的图标中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：S2＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]，上述算式中的“2”是这组数据的（ ）
A．最小值B．平均数C．中位数D．众数
4．（3分）某多边形的内角和是其外角和的2倍，则此多边形的边数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（3分）如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，且AB＞AD．点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF的形状不可能是（ ）
A．平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形
6．（3分）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（ ）
A．a＜0B．a≠0C．a≥0D．a≤0
7．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是反比例函数y＝﹣（k≠0）图象上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
8．（3分）小浔受赵爽弦图的启发，制作了以下图形：将边长为1的正方形ABCD的四边AD、DC、CB、BA分别延长至点H、G、F、E，使得AE＝CG、BF＝DH．若∠BFE＝45°，AH＝3AE．则四边形EFGH的面积为（ ）
A．8B．7C．6D．5
9．（3分）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E；再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，画射线AF，与DC交于点G．若∠AGB＝90°，CG＝10，则AB的长为（ ）
A．B．C．20D．15
10．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A，点B分别是x轴和y轴上的点，过x轴上的另一点D作DC∥AB，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C、E两点，E恰好为CD的中点，连结BE和BD．若OD＝3OA，△BDE的面积为2，则k的值为（ ）
A．3B．C．2D．1
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）要使二次根式有意义，则a的取值范围是 ．
12．（4分）已知一组数据1，2，5，4，5，则这组数据的众数是 ．
13．（4分）已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k的取值范围是 ．
14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
15．（4分）已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h1为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h2为 cm（结果精确到1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
16．（4分）如图，已知有一张正方形纸片ABCD，边长为9cm，点E，F分别在边CD，AB上，CE＝2cm．现将四边形BCEF沿EF折叠，使点B，C分别落在点B'，C'，上当点B'恰好落在边AD上时，线段BF的长为 cm；在点F从点B运动到点A的过程中，若边FB'与边AD交于点G，则点G相应运动的路径长为 cm．
三、解答题（本大题有8小题，共66分.）
17．（6分）计算：﹣×+5．
18．（6分）解方程：x（x﹣2）＝1．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中．已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，5）和点B（n，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出当不等式kx+b＞成立时，x的取值范围．
20．（8分）某学校开展了防溺水知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了统计图（部分信息未给出）．
根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（3）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
21．（8分）如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．
22．（10分）科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产200万个，第三天生产288万个．试回答下列问题：
（1）求前三天生产量的日平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天．
①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
23．（10分）定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．
（1）尝试：如图1，在3×3的正方形网格图形中，已知点A、点B是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求A、B是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；
（2）推理：如图2，已知△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，∠AOD＝∠BOC＝90°，连结AB，CD，求证：四边形ABCD是等线四边形；
（3）拓展：如图3，已知四边形ABCD是等线四边形，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝60°，AB＝，BC＝，AD＝2．求CD的长．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形AOCD的顶点A，C分别在y轴和x轴上．直线y＝﹣x+6经过点A，与x轴交于点E．已知∠D＝90°，∠OAD＝120°，EC＝4．CF平分∠OCD，交AD于点F，点P是线段CF上一动点．
（1）求AE的长和∠AEO的度数；
（2）若点G是平面内任意一点，当以E、C、P、G为顶点的四边形为菱形时，求点G的坐标；
（3）如图2，在线段AE上有一动点Q，点P与点Q分别同时从点C和点A出发，已知当点P从点C匀速运动至点F时，点Q恰好从点A匀速运动至点E，连结PQ、PD、QF．问：在运动过程中，是否存在这样的点P和点Q，使得△PFQ的面积与△PDQ的面积相等．若存在，请直接写出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2020-2021学年浙江省湖州市南浔区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．2B．±2C．4D．﹣4
【分析】根据算术平方根的定义，得..
【解答】解：∵22＝4，
∴．
故选：A．
2．（3分）以下关于垃圾分类的图标中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：S2＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]，上述算式中的“2”是这组数据的（ ）
A．最小值B．平均数C．中位数D．众数
【分析】根据方差的定义即可得出答案．
【解答】解：S2＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]中的“2”是这组数据的平均数，
故选：B．
4．（3分）某多边形的内角和是其外角和的2倍，则此多边形的边数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式列方程即可求解．
【解答】解：多边形的内角和是：2×360°＝720°．
设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
故选：D．
5．（3分）如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，且AB＞AD．点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF的形状不可能是（ ）
A．平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况，由此可得结论．
【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，
故选：B．
6．（3分）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（ ）
A．a＜0B．a≠0C．a≥0D．a≤0
【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设a≤0，
故选：D．
7．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是反比例函数y＝﹣（k≠0）图象上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣（k≠0）中，﹣k2＜0，
∴此函数图象的两个分支在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜﹣2＜0，1＞0，
∴y2＞y1＞0，y3＜0，
∴y3＜y1＜y2，
故选：B．
8．（3分）小浔受赵爽弦图的启发，制作了以下图形：将边长为1的正方形ABCD的四边AD、DC、CB、BA分别延长至点H、G、F、E，使得AE＝CG、BF＝DH．若∠BFE＝45°，AH＝3AE．则四边形EFGH的面积为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】由正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝1，设AE＝CG＝x，可得BE＝BF＝x+1，AH＝CF＝x+2，由AH＝3AE，可求AE＝1，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：设AE＝CG＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，
∵AE＝CG、BF＝DH，
∴EB＝DG，AH＝CF，
∵∠BFE＝45，∠FBE＝90°，
∴∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴BE＝BF＝x+1，
∴AH＝CF＝x+2，
∵AH＝3AE，
∴x+2＝3x，
∴x＝1，
∴AE＝GC＝1，BE＝DG＝2＝BF＝DH，AH＝FC＝3，
∴四边形EFGH的面积＝2××2×2+2××1×3+1×1＝8，
故选：A．
9．（3分）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E；再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，画射线AF，与DC交于点G．若∠AGB＝90°，CG＝10，则AB的长为（ ）
A．B．C．20D．15
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，求得∠AGD＝∠GAB，∠DAB+∠ABC＝180°，根据角平分线的性质得到∠DAG＝∠BAG，等量代换得到∠DAG＝∠AGD，求得AD＝DG，根据余角的性质得到∠ABG＝∠CBG，推出CG＝CB，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠AGD＝∠GAB，∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG＝∠BAG，
∴∠DAG＝∠AGD，
∴AD＝DG，
∵∠AGB＝90°，
∴∠GAB+∠ABG＝90°，
∴∠DAG+∠CBG＝90°，
∴∠ABG＝∠CBG，
∵∠CGB＝∠ABG，
∴∠CBG＝∠CGB，
∴CG＝CB，
∴AD＝DG＝CG＝BC＝10，
∴AB＝CD＝20，
故选：C．
10．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A，点B分别是x轴和y轴上的点，过x轴上的另一点D作DC∥AB，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C、E两点，E恰好为CD的中点，连结BE和BD．若OD＝3OA，△BDE的面积为2，则k的值为（ ）
A．3B．C．2D．1
【分析】先作辅助线，过点C作CF⊥x轴，过点E作EG⊥x轴，利用中点E，得出△DCF得中位线，再由反比例函数系数k的几何意义，得出OF与其他线段的数量关系；由AB||CD，得出S△BDE＝S△ADE＝2，再由OD＝3OA，得到线段之间的倍数关系，从而求出k的值．
【解答】解：
过点C作CF⊥x轴，过点E作EG⊥x轴，
∴CF||EG，
∵E恰好为CD的中点，
∴EG为△DCF的中位线，
∵点C、E是反比例函数y＝（k≠0）的图象上的点，
设EG＝m，CF＝2m，DG＝FG＝n，
∴OF•CF＝OG•EG＝|k|，即OF•2m＝（OF+n）•m，
∴OF＝n．
∵DC∥AB，△BDE的面积为2，
∴S△BDE＝S△ADE＝2，
∵OD＝3OA，DG＝FG＝OF＝n，
∴OA＝DG＝FG＝OF＝n，AD＝4OA，
∴S△ADE＝•AD•EG＝•4n•m＝2，即mn＝1，
∴|k|＝OG•EG＝2mn＝2，
∵反比例函数图象的一支在第一象限，
∴k＝2．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）要使二次根式有意义，则a的取值范围是 a≥1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列式计算可求解．
【解答】解：由题意得a﹣1≥0，
解得a≥1，
故答案为a≥1．
12．（4分）已知一组数据1，2，5，4，5，则这组数据的众数是 5 ．
【分析】根据众数的概念求解即可．
【解答】解：这组数据中5出现次数最多，有2次，
所以这组数据的众数是5，
故答案为：5．
13．（4分）已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k的取值范围是 k＞ ．
【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象在第一、三象限内，则可知3k﹣1＞0，解得k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，
∴3k﹣1＞0，
解得 k＞．
故答案为：k＞．
14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
【分析】根据判别式的意义得到△＝12﹣4m＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝12﹣4m＝0，
解得m＝．
故答案为．
15．（4分）已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h1为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h2为 85 cm（结果精确到1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
【分析】连接BD，如图3，根据菱形的性质可得BD＝h1，由∠AOB＝120°，可得∠DAB的度数，在Rt△DAB中，解直角三角形可得AD的长度，连接DF，如图4，由题意可知，在Rt△EDF中，∠DEF＝45°，ED＝AD，解直角三角形即可算出FD的长度，即可得出答案．
【解答】解：连接BD，如图3，
由题意可得，BD＝＝＝30（cm），
∵∠AOB＝120°，
∴∠DAB＝30°，
在Rt△DAB中，
AD＝＝30×2＝60（cm），
连接DF，如图4，
由题意可知，
在Rt△EDF中，
∠DEF＝45°，ED＝AD＝60cm，
∴FD＝ED•sin45°＝60×＝30，
∴h2＝2•FD＝2×≈85（cm）．
故答案为：85．
16．（4分）如图，已知有一张正方形纸片ABCD，边长为9cm，点E，F分别在边CD，AB上，CE＝2cm．现将四边形BCEF沿EF折叠，使点B，C分别落在点B'，C'，上当点B'恰好落在边AD上时，线段BF的长为 5 cm；在点F从点B运动到点A的过程中，若边FB'与边AD交于点G，则点G相应运动的路径长为 15﹣8 cm．
【分析】连接BE、B'E，由翻折性质得：BE＝B'E，BF＝B'F，在△BEC与△B'DE中，由勾股定理得BF＝5cm；连接EG，并作G关于EF的对称点G'，连接EG'，由对称性知，GE＝G'E，由点到直线垂线段最短知EG'最小值为EH＝9，从而DG最小值为＝，AG最大值为9﹣，再由于B'恰好落在边AD上G、B'重合时，AG＝AB'＝3，故G点在AD上先向上再向下运动，即可得相应运动的路径长为9﹣﹣3+9﹣＝15﹣8．
【解答】解：①当点B'恰好落在边AD上时，
如图，连接BE、B'E，
由翻折性质得：BE＝B'E，BF＝B'F，
在△BEC与△B'DE中，由勾股定理得：BE2＝CE2+BC2＝DE2+B'D2，
∵BC＝9cm，CE＝2cm，DE＝7cm，
∴DB'＝6cm，AB'＝3cm，
设BF＝xcm，则B'F＝xcm，AF＝（9﹣x）cm，
∵B'A2+AF2＝B'F2，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴BF＝5cm；
②如图，连接EG，并作G关于EF的对称点G'，连接EG'，
由对称性知，GE＝G'E，
过点E作EH⊥AB于H，
∵点到直线垂线段最短，
∴EG'最小值为EH＝9，
∵∠B＝∠C＝∠EHB＝90°，
∴四边形EHBC为矩形，
∴EH＝BC＝9，
∴EG最小值为9，
∵DG2＝EG2﹣ED2，
∴DG最小值为＝，
∴AG最大值为9﹣，
由①知，点B'恰好落在边AD上G、B'重合时，此时AG＝AB'＝3，
∴点G相应运动的路径长为9﹣﹣3+9﹣＝15﹣8．
故答案为：5cm，15﹣8．
三、解答题（本大题有8小题，共66分.）
17．（6分）计算：﹣×+5．
【分析】直接利用二次根式的性质结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝0．
18．（6分）解方程：x（x﹣2）＝1．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用配方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
x1＝1+，x2＝1﹣．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中．已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，5）和点B（n，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出当不等式kx+b＞成立时，x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出反比例函数图象在一次函数的图象下方的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵A（1，5）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴n＝1×5＝5．
∴B（5，1）．
把A（1，5）、B（5，1）代入一次函数y＝kx+b得，，
解得，
∴反比例函数为y＝，一次函数的解析式y＝﹣x+6．
（2）由图形可知，当不等式kx+b＞成立时，x的取值范围是1＜x＜5．
20．（8分）某学校开展了防溺水知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了统计图（部分信息未给出）．
根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（3）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
【分析】（1）根据基本合格人数和已知百分比求出总人数即可解决问题，计算合格的频数即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义判断即可．
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）被抽查的学生人数是30÷15%＝200（人）．
合格人数最200﹣30﹣80﹣40＝50（人）．
补全频数分布直方图如图：
（2）200个数据从小到大排列处在中间位置的两个数是第100、101位的两个数的平均数，
所以这次测试成绩的中位数会落在良好等级；
（3）（人）．
答：该校获得优秀的学生有300人．
21．（8分）如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．
【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得结论；
（2）由矩形的性质可得FB＝FC＝FD，可证FG是△BCD的中位线，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EF的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝BE，
∴AD∥BE，AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）过点F作FG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴FB＝FC＝FD，
∴G是BC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴．
在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，
∴．
22．（10分）科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产200万个，第三天生产288万个．试回答下列问题：
（1）求前三天生产量的日平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天．
①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【分析】（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，利用第三天的产量＝第一天的产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，利用总产量＝每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，利用总产量＝每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于a的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣39＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．
【解答】解：（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，
依题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：前三天日平均增长率为20%．
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，
依题意得：（1+m）（600﹣20m）＝2600，
整理得：m2﹣29m+100＝0，
解得：m1＝4，m2＝25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
②不能，理由如下：
设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，
依题意得：（1+a）（600﹣20a）＝5000，
整理得：a2﹣29a+220＝0．
∵b2﹣4ac＝（﹣29）2﹣4×1×220＝﹣39＜0，
∴该方程无实数根．
∴不能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．
23．（10分）定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．
（1）尝试：如图1，在3×3的正方形网格图形中，已知点A、点B是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求A、B是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；
（2）推理：如图2，已知△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，∠AOD＝∠BOC＝90°，连结AB，CD，求证：四边形ABCD是等线四边形；
（3）拓展：如图3，已知四边形ABCD是等线四边形，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝60°，AB＝，BC＝，AD＝2．求CD的长．
【分析】（1）以A、B为顶点作矩形即可（答案不唯一）；
（2）连结AC，BD，由△AOD与△BOC均为等腰直角三角形知OA＝OD，OC＝OB，∠AOD＝∠BOC，再证△AOC≌△DOB得BD＝AC，从而得证；
（3）分别以AD、BC为底作等腰△ADE、等腰△BCE，顶点均为点E．证△AEC≌△DEB得∠BDE＝∠CAE，继而证△AED是等边三角形、△BCE也是等边三角形，据此知EA＝ED＝AD＝2，．由知AE2+BE2＝AB2，即可得∠AEB＝90°，∠DEC＝150°．再过点C作CF⊥DE于点F，则∠CEF＝30°．从而得出，，利用勾股定理求解即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示，矩形APBQ即为所求．
（2）证明：
如图2，连结AC，BD．
∵△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，
∴OA＝OD，OC＝OB，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴BD＝AC，
∴四边形ABCD是等线四边形．
（3）解：如图3，分别以AD、BC为底作等腰△ADE、等腰△BCE，顶点均为点E．
于是有，EA＝ED，EC＝EB，
∵AC＝BD，
∴△AEC≌△DEB（SSS），
∴∠BDE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠AOD＝60°，
∴△AED是等边三角形．
同理，△BCE也是等边三角形．
∴EA＝ED＝AD＝2，．
∵，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEC＝150°．
过点C作CF⊥DE于点F，则∠CEF＝30°．
∴，，
由勾股定理得，．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形AOCD的顶点A，C分别在y轴和x轴上．直线y＝﹣x+6经过点A，与x轴交于点E．已知∠D＝90°，∠OAD＝120°，EC＝4．CF平分∠OCD，交AD于点F，点P是线段CF上一动点．
（1）求AE的长和∠AEO的度数；
（2）若点G是平面内任意一点，当以E、C、P、G为顶点的四边形为菱形时，求点G的坐标；
（3）如图2，在线段AE上有一动点Q，点P与点Q分别同时从点C和点A出发，已知当点P从点C匀速运动至点F时，点Q恰好从点A匀速运动至点E，连结PQ、PD、QF．问：在运动过程中，是否存在这样的点P和点Q，使得△PFQ的面积与△PDQ的面积相等．若存在，请直接写出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A，E的坐标，可得线段OA，OE，解直角三角形可得结论；
（2）利用已知条件，通过解直角三角形求得线段AD，DF，CF的长，分三种情形讨论解答；
（3）由已知可得点P与点Q的速度比为，用t分别表示AQ，CP，PF的长，利用三角形的面积列出方程求得t值；过点P作PH⊥OE于H，解直角三角形求得线段PH，OH，则结论可得．
【解答】解：（1）令x＝0，y＝6，
∴A（0，6），
∴OA＝6．
令y＝0，，
∴E（6，0）．
∴OE＝6．
在Rt△AOE中，
由勾股定理得，AE＝＝12，
∵，∠AOE＝90°，
∴∠AEO＝30°；
（2）设直线CF交y轴于点K，如图，
∵∠AOE＝90°，∠D＝90°，∠OAD＝120°，
∴∠OCD＝60°．
∵CF平分∠OCD，
∴∠DCF＝∠FCO＝30°．
∵∠AEO＝30°，
∴∠FCO＝∠AEO，
∴AF∥CK．
∵OE＝6，EC＝4，
∴OC＝OE+EC＝10．
∴OK＝OC×tan∠FCO＝10×＝10．
∴AK＝OK﹣OA＝4．
∴CK＝2OK＝20．
∵∠DCF＝∠FCO＝30°，
∴∠DFC＝∠CKO＝60°，
∴∠KFA＝60°．
∵∠OAD＝120°，
∴∠KAF＝60°．
∴△KFA为等边三角形，
∴FA＝FK＝AK＝4．
∴CF＝CK﹣KF＝16．
∴DF＝CF＝8．
∴DA＝DF+AF＝12．
情况1 （如图1）PE＝PC时，点G在直线AE上，
∵四边形PEGC是菱形，
∴PG与EC互相垂直平分，设PG与EC交点为K，
∴EK＝KC＝EC＝2
∴．
∵PK⊥EC，∠PCO＝30°，
∴PK＝KC•tan∠PCO＝2×＝2．
∴KG＝PK＝2，
∴；
情况2（如下图）PE＝CE时，此时点G在CD上，
过点G作GH⊥OC于H，
∵四边形PEGC是菱形，
∴GC＝EC＝4．
在Rt△GHC中，
∵sin∠GCH＝，cs∠GCH＝，
∴GH＝GC×sin60°＝4×＝6，
CH＝GC×cs60°＝4×＝2，
∴OH＝OC﹣CH＝8．
∴；
情况3 （如图3）PC＝CE时，此时点G在AE上且，
作GK⊥OC于K，
∵∠AEO＝30°，∠AOE＝90°，
∴，，
∴OK＝OE﹣KE＝6﹣6，
∴；
综上，点G的坐标为（6﹣6，2）或（8，6）或（8，﹣2）．
（3）存在两个这样的点P，和．
情况一，如图2，
∵点P与点Q分别同时从点C和点A出发，当点P从点C匀速运动至点F时，点Q恰好从点A匀速运动至点E，
又AE＝12，CF＝16，
∴点P与点Q的速度比为，
设AQ＝t，则CP＝t，
∴FP＝16﹣t．
如图2，连接DQ，过点D作DM⊥AE于M，过点Q作QN⊥AF于N，则QN＝t，
在Rt△ADM中，
DM＝AD×sin∠DAE＝12×＝6．
∵S△PDQ＝S四边形PDFQ﹣S△DFQ＝×PF×DM﹣×DF×QN＝（16﹣）×6﹣×8×t，
（16﹣t），
∴（16﹣）×6﹣×8×t＝t×（16﹣t）．
解得：t＝．
∴CP＝t＝．
过点P作PH⊥OE于H，
在Rt△PHC中，
∴∠PCH＝30°，
∴PH＝CP＝，
CH＝CP×cs30°＝．
∴OH＝OC﹣CH＝10﹣＝．
∴P（，）．
情况二，如下图，
∵S△PDQ＝S△ADQ﹣S△PFD﹣S梯形AFPQ，
∴×t×6﹣（16﹣）×4﹣（16﹣t+t）×2．
∴×t×6﹣（16﹣）×4﹣（16﹣t+t）×2＝（16﹣t）×2．
解得：t＝．
∴CP＝×＝．
过点P作PH⊥OE于H，
在Rt△PHC中，
∴∠PCH＝30°，
∴PH＝CP＝，
CH＝CP×cs30°＝．
∴OH＝OC﹣CH＝10﹣＝．
∴P（，）．
综上，存在两个这样的点P，和．
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