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2020-2021学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了精心选择，准确填空，细心解答等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷
一、精心选择（本大题有12个小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）计算a•a结果正确的是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
2．（2分）a，b都是有理数，且a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．1﹣a＜1﹣b C．5a＜5b D．
3．（2分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）
A．8.86×105 B．8.86×106 C．88.6×105 D．88.6×106
4．（2分）已知三角形的两边长分别为5cm和10cm，则该三角形的第三边的长度可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．10cm D．15cm
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（2a）2＝2a2
6．（2分）如图，直线公路l沿线有A，B，C三个连锁超市（超市内商品和物价相同），三个超市到村庄M分别有MB，MA，MC三条公路，住在村庄M的居民总是选择最近的路线MA去A超市购物，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
7．（2分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝70°，那么∠3是（ ）
A．145° B．150° C．60° D．30°
8．（2分）已知：（x﹣5）（x+☆）＝x2﹣2x﹣15，其中☆代表一个常数，则☆的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF．若∠EGD＝114°，则∠EFG的大小是（ ）
A．68° B．66° C．48° D．46°
10．（2分）关于x的不等式组的解集为﹣3＜x≤5．则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．180° B．230° C．280° D．无法确定
12．（2分）如图，直线MN与直线PQ互相垂直，垂足为O．点A，B分别在直线PQ与直线MN上，AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，则∠BIA的大小为（ ）
A．100° B．105° C．120° D．135°
二、准确填空（本大题有6个小题，每小题3分，共18分。请把箐案写在题中横线上）
13．（3分）计算：20﹣1＝ ．
14．（3分）不等式3（1﹣x）＞4﹣2x的解集为 ．
15．（3分）如图，△ABC的边BC与直线l重合，将△ABC沿着直线l向右平移6个单位长度得到△A1B1C1．若B1C＝1，则BC1的长度是 ．
16．（3分）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花4200元购进洗手液与84消毒液共300瓶，已知洗手液的价格是20元/瓶，84消毒液的价格是5元/瓶．该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？设该校购进洗手液x瓶，购进84消毒液y瓶，则可列方程组为 ．
17．（3分）按如图程序进行运算，从“输入一个值x”到“结果是否＞13”为一次程序操作，如果结果不大于13，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于13）为止．当输入的数x经过第一次运算后，结果不符合要求，则x的取值范围为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，且AD、BE相交于点O．若△AOE与△BOD的面积和为4，则△ABE的面积为 ．
三、细心解答（本大题有8个小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）（1）分解因式：5x2﹣5；
（2）解方程组：．
20．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x（x﹣1），其中x＝3．
22．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠BED＝136°，求∠EDB的度数．
23．（8分）为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种花卉．如果购买甲种花卉30盆，乙种花卉20盆，共需560元；如果购买甲种花卉10盆，乙种花卉40盆，共需320元．
（1）甲、乙两种花卉每盆各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种花卉共100盆，且乙种花卉的盆数不少于甲种花卉盆数的1.5倍，那么甲种花卉最多购买多少盆？
24．（8分）已知，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点．
（1）如图，若AB﹣AC＝3，△ADC的周长为10，求△ABD的周长；
（2）若△BDE的面积为20，BD＝8，请在图2中作△BDE的BD边上的高，并求出点E到直线BC的距离；
（3）如图3，若∠ABD＝40°，∠ADB＝110°，射线BE平分∠ABD，点P是射线BE上一点，且直线DP与△BDE的一条边所在的直线垂直，请直接写出∠BDP的度数．
25．（9分）借助拼图我们可以解决整式乘法及因式分解的相关问题．
如图1，有A、B、C三种类型的卡片各若干张，已知A，C是边长分别为a，b的正方形卡片，B是长为a，宽为b的长方形卡片．
活动一
利用A，B，C三种类型的卡片拼成如图2所示的长方形，该长方形的面积可以用多项式表示为 ，还可以用整式乘积的形式表示为 ，利用上述面积的不同表达方式可以得到等式 ．
活动二
利用A，B，C三种类型的卡片拼成如图3所示的大长方形．
（1）依据活动一的方法，可以将2a2+5ab+2b2进行因式分解为 ；
（2）若每张B型卡片的面积为10cm2，2张A型卡片和2张C型卡片的面积和为58cm2，求所拼成的大长方形的周长．
26．（9分）已知，直线AB、DC，点P为平面上一点，连接AC，AP，CP．
（1）如图1，当点P在直线AB、CD之间时，有∠BAP+∠DCP＝∠APC；
①求证：AB∥DC；
②如图2，若∠BAP与∠DCP的平分线相交于点M，试写出∠AMC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（2）若AB∥DC，点M，P的位置如图3所示，连接AM、CM，∠MAP＝∠BAP，∠MCP＝∠DCP，则∠AMC与∠APC有何数量关系？请直接写出结论．
2020-2021学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选择（本大题有12个小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）计算a•a结果正确的是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
【分析】观察式子易知该式属于同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可得出答案．
【解答】解：a•a＝a1+1＝a2．
故选：B．
2．（2分）a，b都是有理数，且a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．1﹣a＜1﹣b C．5a＜5b D．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、不等式a＜b的两边都加上1，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式a＜b的两边都乘以﹣1，再加上1，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式a＜b的两边都乘以5，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
D、不等式a＜b的两边都除以2，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（2分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）
A．8.86×105 B．8.86×106 C．88.6×105 D．88.6×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：886000＝8.86×105．
故选：A．
4．（2分）已知三角形的两边长分别为5cm和10cm，则该三角形的第三边的长度可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．10cm D．15cm
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系，
得10﹣5＜x＜10+5，即5＜x＜15．
故选：C．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（2a）2＝2a2
【分析】根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：选项A、a3•a2＝a2+3＝a5，故本选项不符合题意；
选项B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
选项C、（a3）2＝a2×3＝a6，故本选项符合题意；
选项D、（2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2分）如图，直线公路l沿线有A，B，C三个连锁超市（超市内商品和物价相同），三个超市到村庄M分别有MB，MA，MC三条公路，住在村庄M的居民总是选择最近的路线MA去A超市购物，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：∵MA⊥直线l，垂足为点A，
∴沿线路MA行走距离最短，依据的几何学原理是垂线段最短．
故选：B．
7．（2分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝70°，那么∠3是（ ）
A．145° B．150° C．60° D．30°
【分析】先根据对顶角相等求出∠1的度数，再根据邻补角互补即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵∠1+∠2＝70°，∠1＝∠2，
∴∠1＝35°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝145°．
故选：A．
8．（2分）已知：（x﹣5）（x+☆）＝x2﹣2x﹣15，其中☆代表一个常数，则☆的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，得出5☆＝15，从而得出☆的值．
【解答】解：∵（x﹣5）（x+☆）＝x2+☆x﹣5x﹣5☆＝x2+（☆﹣5）x﹣5☆＝x2﹣2x﹣15，
∴5☆＝15，
∴☆＝3．
故选：C．
9．（2分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF．若∠EGD＝114°，则∠EFG的大小是（ ）
A．68° B．66° C．48° D．46°
【分析】由平行线的性质求出∠BEG，根据角平分线的定义求出∠BEF，最后根据平行线的性质即可求出∠EFG．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠BEG+∠EGD＝180°，
∵∠EGD＝114°，
∴∠BEG+114°＝180°，
∴∠BEG＝180°﹣114°＝66°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝2×66°＝132°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG＝180°，
∴∠EFG＝180°﹣∠BEF＝180°﹣132°＝48°，
故选：C．
10．（2分）关于x的不等式组的解集为﹣3＜x≤5．则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集得到关于m的方程，解之可得答案．
【解答】解：解不等式2x﹣1＜4x+5，得：x＞﹣3，
解不等式x+1≤m，得：x≤m﹣1，
∵不等式组的解集为﹣3＜x≤5，
∴m﹣1＝5，
解得m＝6，
故选：D．
11．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．180° B．230° C．280° D．无法确定
【分析】根据三角形外角的性质，由∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，得∠1+∠2＝（∠A+∠ACB+∠ABC）+∠A．根据三角形内角和定理，由∠A+∠ABC+∠ACB＝180°得∠1+∠2＝230°．
【解答】解：∵∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝（∠A+∠ACB+∠ABC）+∠A．
又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°，
∴∠1+∠2＝180°+50°＝230°．
故选：B．
12．（2分）如图，直线MN与直线PQ互相垂直，垂足为O．点A，B分别在直线PQ与直线MN上，AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，则∠BIA的大小为（ ）
A．100° B．105° C．120° D．135°
【分析】由MN⊥PQ，得∠BOA＝90°，故∠OBA+∠OAB＝90°．由AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，得∠IBA＝，∠IAB＝，故∠IBA+∠IAB＝45°．那么，∠BIA＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
【解答】解：∵MN⊥PQ，
∴∠BOA＝90°．
∴∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠BOA＝90°．
又∵AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，
∴∠IBA＝，∠IAB＝．
∴∠IBA+∠IAB＝＝＝45°．
∴∠BIA＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝180°﹣45°＝135°．
故选：D．
二、准确填空（本大题有6个小题，每小题3分，共18分。请把箐案写在题中横线上）
13．（3分）计算：20﹣1＝ 0 ．
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），化简进而得出答案．
【解答】解：20﹣1＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
14．（3分）不等式3（1﹣x）＞4﹣2x的解集为 x＜﹣1 ．
【分析】本题应按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1这个步骤来解．
【解答】解：去括号得，3﹣3x＞4﹣2x，
移项及合并同类项得，﹣x＞1，
系数化为1得，x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
15．（3分）如图，△ABC的边BC与直线l重合，将△ABC沿着直线l向右平移6个单位长度得到△A1B1C1．若B1C＝1，则BC1的长度是 11 ．
【分析】根据平移的性质得到BB1＝CC1＝6，BC＝B1C1，然后计算BB1+CC1﹣CB1即可．
【解答】解：∵△ABC沿着直线l向右平移6个单位长度得到△A1B1C1．
∴BB1＝CC1＝6，BC＝B1C1，
∴BC1＝BB1+CC1﹣CB1＝6+6﹣1＝11．
故答案为11．
16．（3分）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花4200元购进洗手液与84消毒液共300瓶，已知洗手液的价格是20元/瓶，84消毒液的价格是5元/瓶．该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？设该校购进洗手液x瓶，购进84消毒液y瓶，则可列方程组为 ．
【分析】设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，根据“共300瓶；花费4200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组即可得出结论．
【解答】解：设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，根据题意可得：，
故答案为：．
17．（3分）按如图程序进行运算，从“输入一个值x”到“结果是否＞13”为一次程序操作，如果结果不大于13，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于13）为止．当输入的数x经过第一次运算后，结果不符合要求，则x的取值范围为 x≤ ．
【分析】根据运算程序，确定输入x后，程序的运算满足的代数式是3x﹣1，再根据题意可得不等式3x﹣1≤13，求出x的范围即可．
【解答】解：由运算程序可知，当输入x后，程序的运算式是3x﹣1，
∵第一次运算后，结果不符合要求，
∴3x﹣1≤13，
∴x≤，
故答案为x≤．
18．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，且AD、BE相交于点O．若△AOE与△BOD的面积和为4，则△ABE的面积为 6 ．
【分析】连接OC，由点D、E分别是BC、AC的中点，的S△ACD＝S△BCE＝S△ABC，从而S△AOE＝S△BOD＝2，则S△COD＝S△BOD＝S△COE＝2，即可得出答案．
【解答】解：连接OC，
∵点D、E分别是BC、AC的中点，
∴S△ACD＝S△BCE＝S△ABC，
∴S△AOE＝S△BOD，
∵△AOE与△BOD的面积和为4，
∴S△AOE＝S△BOD＝2，
∴S△COD＝S△BOD＝S△COE＝2，
∴S△ABE＝S△ACE＝6，
故答案为：6．
三、细心解答（本大题有8个小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）（1）分解因式：5x2﹣5；
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据因式分解的定义，由提公因式法和公式法得5x2﹣5＝5（x2﹣1）＝5（x+1）（x﹣1）．
（2）将x﹣y＝3记作①式，x﹣3y＝﹣1记作②式，①式与②式中含有x项的系数都为1，故可用加减消元法解方程组．那么，①﹣②得y＝2，故x＝5．
【解答】解：（1）5x2﹣5
＝5（x2﹣1）
＝5（x+1）（x﹣1）．
（2）将x﹣y＝3记作①式，x﹣3y＝﹣1记作②式．
①﹣②，得：2y＝4．
∴y＝2．
将y＝2代入①，得：x﹣2＝3．
∴x＝5．
∴这个方程组的解为：
20．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
【分析】分别求出不等式组两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出解集的整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x≤2；
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集是：﹣3＜x≤2，
则不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x（x﹣1），其中x＝3．
【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣（x2﹣9）+2x2﹣2x
＝x2﹣2x+1﹣x2+9+2x2﹣2x
＝2x2﹣4x+10，
当x＝3时，
原式＝18﹣12+10
＝16．
22．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠BED＝136°，求∠EDB的度数．
【分析】根据平行线的性质，由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC．根据角平分线的定义，由BD平分∠EBC，得∠EBD＝∠DBC．那么，∠EBD∠EDB．根据三角形内角和定理，由∠BED+∠EBD+∠EDB＝180°，可得∠EDB＝22°．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC．
又∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠EBD＝∠DBC．
∴∠EBD＝∠EDB．
又∵∠BED+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴∠BED+2∠EDB＝180°．
∴2∠EDB＝180°﹣∠BED＝180°﹣136°＝44°．
∴∠EDB＝22°．
23．（8分）为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种花卉．如果购买甲种花卉30盆，乙种花卉20盆，共需560元；如果购买甲种花卉10盆，乙种花卉40盆，共需320元．
（1）甲、乙两种花卉每盆各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种花卉共100盆，且乙种花卉的盆数不少于甲种花卉盆数的1.5倍，那么甲种花卉最多购买多少盆？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元；
（2）设甲种花卉购买了a盆，则乙种花卉购买了（100﹣a）盆，根据“乙种花卉的盆数不少于甲种花卉盆数的1.5倍”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，
根据题意，得．
解得，
答：甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆4元；
（2）设甲种花卉购买了a盆，则乙种花卉购买了（100﹣a）盆，
依题意，得100﹣a≥1.5a．．
解得a≤40．
∵a为整数，
∴a的最大整数值为40．
答：甲种花卉最多购买40盆．
24．（8分）已知，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点．
（1）如图，若AB﹣AC＝3，△ADC的周长为10，求△ABD的周长；
（2）若△BDE的面积为20，BD＝8，请在图2中作△BDE的BD边上的高，并求出点E到直线BC的距离；
（3）如图3，若∠ABD＝40°，∠ADB＝110°，射线BE平分∠ABD，点P是射线BE上一点，且直线DP与△BDE的一条边所在的直线垂直，请直接写出∠BDP的度数．
【分析】（1）根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形的高的概念作出EF，根据三角形的面积公式求出EF，得到点E到直线BC的距离；
（3）分DP⊥BE、DP⊥BD、DP⊥ED三种情况，根据垂直的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵AB﹣AC＝3，
∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+BD）＝3，即△ABD的周长﹣△ACD的周长＝3，
∵△ADC的周长为10，
∴△ABD的周长为13；
（2）如图2，过点E作EF⊥BC于F，则EF即为所求的△BDE的BD边上的高，
∵△BDE的面积为20，
∴×BD×EF＝20，
∵BD＝8，
∴EF＝5，即点E到直线BC的距离为5；
（3）∵射线BE平分∠ABD，∠ABD＝40°，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABD＝20°，
当DP⊥BE时，∠BDP＝90°﹣∠DBE＝70°；
当DP⊥BD时，∠BDP＝90°；
如图3，当DP⊥ED时，∠BDP＝110°﹣90°＝20°；
综上所述：∠BDP的度数为70°或90°或20°．
25．（9分）借助拼图我们可以解决整式乘法及因式分解的相关问题．
如图1，有A、B、C三种类型的卡片各若干张，已知A，C是边长分别为a，b的正方形卡片，B是长为a，宽为b的长方形卡片．
活动一
利用A，B，C三种类型的卡片拼成如图2所示的长方形，该长方形的面积可以用多项式表示为 2a²+3ab+b² ，还可以用整式乘积的形式表示为 （a+b）（2a+b）， ，利用上述面积的不同表达方式可以得到等式 2a²+3ab+b²＝（a+b）（2a+b） ．
活动二
利用A，B，C三种类型的卡片拼成如图3所示的大长方形．
（1）依据活动一的方法，可以将2a2+5ab+2b2进行因式分解为 （2a+b）（a+2b） ；
（2）若每张B型卡片的面积为10cm2，2张A型卡片和2张C型卡片的面积和为58cm2，求所拼成的大长方形的周长．
【分析】根据题目要求列出代数式，验证因式分解．
【解答】活动一：
故答案为2a²+3ab+b²，（a+b）（2a+b），2a²+3ab+b²＝（a+b）（2a+b），
活动二：
故答案为（1）2a²+5ab+2b²＝（2a+b）（a+2b），
（2）根据题意可得：ab＝10，2a²+2b²＝58，
∴a²+b²＝29，
∴（a+b）²＝a²+2ab+b²＝49，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝7，
大长方形的周长（a+2b+2a+b）×2＝21×2＝42．
26．（9分）已知，直线AB、DC，点P为平面上一点，连接AC，AP，CP．
（1）如图1，当点P在直线AB、CD之间时，有∠BAP+∠DCP＝∠APC；
①求证：AB∥DC；
②如图2，若∠BAP与∠DCP的平分线相交于点M，试写出∠AMC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（2）若AB∥DC，点M，P的位置如图3所示，连接AM、CM，∠MAP＝∠BAP，∠MCP＝∠DCP，则∠AMC与∠APC有何数量关系？请直接写出结论．
【分析】解：（1）①过点P作PK∥AB，则∠BAP＝∠APK．再根据角的和差关系和已知条件证得∠DCP＝∠KPC得到PK∥CD，从而得解；
②由①得∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AMC＝∠BAM+∠DCM，
由角平分线的定义得到，∠BAM＝∠BAP，∠DCM＝∠DCP，所以∠AMC＝∠BAP+∠DCP＝＝∠APC，从而得解；
（2）过P作PE∥CD，过M作MF∥CD，设∠MAP＝α，∠MCP＝β，则∠BAP＝3α，∠DCP＝3β．由角的和差关系得到∠BAM＝2α，∠DCM＝2β，利用平行线的性质证明∠AMF＝∠BAM＝2α，∠CMF＝∠DCM＝2β，∠APE＝∠BAP＝3α，∠CPE＝∠DCP＝3β．根据角的和差关系求出∠AMC＝2α﹣2β，∠APC＝3α﹣3β，从而得到∠AMC＝∠APC．
【解答】解：（1）①如图，过点P作PK∥AB
∵PK∥AB，
∴∠BAP＝∠APK．
∵∠BAP+∠DCP＝∠APC，
∴∠APK+∠DCP＝∠APC，
∴∠DCP＝∠APC﹣∠APK＝∠KPC，
∴PK∥CD，
∵PK∥AB，PK∥CD，
∴AB∥CD．
②∠AMC＝∠APC．
理由：由①得∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AMC＝∠BAM+∠DCM，
∵AM、CM分别是∠BAP与∠DCP的平分线，
∴∠BAM＝∠BAP，∠DCM＝∠DCP，
∴∠AMC＝∠BAP+∠DCP，
＝
＝∠APC．
（2）∠AMC＝∠APC．
理由：如图，过P作PE∥CD，过M作MF∥CD，
设∠MAP＝α，∠MCP＝β，
则∠BAP＝3α，∠DCP＝3β，
∴∠BAM＝∠BAP﹣∠MAP＝2α，
∠DCM＝∠DCP﹣∠MCP＝2β，
∵AB∥CD，PE∥CD，MF∥CD，
∴AB∥PE∥CD，AB∥MF∥CD，
∴∠AMF＝∠BAM＝2α，
∠CMF＝∠DCM＝2β，
∠APE＝∠BAP＝3α，
∠CPE＝∠DCP＝3β，
∴∠AMC＝∠AMF﹣∠CMF＝2α﹣2β，
∠APC＝∠APE﹣∠CPE＝3α﹣3β，
∴，
∴∠AMC＝∠APC．
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日期：2021/8/12 11:41:41；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷
一、精心选择（本大题有12个小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）计算a•a结果正确的是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
2．（2分）a，b都是有理数，且a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．1﹣a＜1﹣b C．5a＜5b D．
3．（2分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）
A．8.86×105 B．8.86×106 C．88.6×105 D．88.6×106
4．（2分）已知三角形的两边长分别为5cm和10cm，则该三角形的第三边的长度可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．10cm D．15cm
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（2a）2＝2a2
6．（2分）如图，直线公路l沿线有A，B，C三个连锁超市（超市内商品和物价相同），三个超市到村庄M分别有MB，MA，MC三条公路，住在村庄M的居民总是选择最近的路线MA去A超市购物，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
7．（2分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝70°，那么∠3是（ ）
A．145° B．150° C．60° D．30°
8．（2分）已知：（x﹣5）（x+☆）＝x2﹣2x﹣15，其中☆代表一个常数，则☆的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF．若∠EGD＝114°，则∠EFG的大小是（ ）
A．68° B．66° C．48° D．46°
10．（2分）关于x的不等式组的解集为﹣3＜x≤5．则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．180° B．230° C．280° D．无法确定
12．（2分）如图，直线MN与直线PQ互相垂直，垂足为O．点A，B分别在直线PQ与直线MN上，AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，则∠BIA的大小为（ ）
A．100° B．105° C．120° D．135°
二、准确填空（本大题有6个小题，每小题3分，共18分。请把箐案写在题中横线上）
13．（3分）计算：20﹣1＝ ．
14．（3分）不等式3（1﹣x）＞4﹣2x的解集为 ．
15．（3分）如图，△ABC的边BC与直线l重合，将△ABC沿着直线l向右平移6个单位长度得到△A1B1C1．若B1C＝1，则BC1的长度是 ．
16．（3分）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花4200元购进洗手液与84消毒液共300瓶，已知洗手液的价格是20元/瓶，84消毒液的价格是5元/瓶．该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？设该校购进洗手液x瓶，购进84消毒液y瓶，则可列方程组为 ．
17．（3分）按如图程序进行运算，从“输入一个值x”到“结果是否＞13”为一次程序操作，如果结果不大于13，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于13）为止．当输入的数x经过第一次运算后，结果不符合要求，则x的取值范围为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，且AD、BE相交于点O．若△AOE与△BOD的面积和为4，则△ABE的面积为 ．
三、细心解答（本大题有8个小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）（1）分解因式：5x2﹣5；
（2）解方程组：．
20．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x（x﹣1），其中x＝3．
22．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠BED＝136°，求∠EDB的度数．
23．（8分）为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种花卉．如果购买甲种花卉30盆，乙种花卉20盆，共需560元；如果购买甲种花卉10盆，乙种花卉40盆，共需320元．
（1）甲、乙两种花卉每盆各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种花卉共100盆，且乙种花卉的盆数不少于甲种花卉盆数的1.5倍，那么甲种花卉最多购买多少盆？
24．（8分）已知，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点．
（1）如图，若AB﹣AC＝3，△ADC的周长为10，求△ABD的周长；
（2）若△BDE的面积为20，BD＝8，请在图2中作△BDE的BD边上的高，并求出点E到直线BC的距离；
（3）如图3，若∠ABD＝40°，∠ADB＝110°，射线BE平分∠ABD，点P是射线BE上一点，且直线DP与△BDE的一条边所在的直线垂直，请直接写出∠BDP的度数．
25．（9分）借助拼图我们可以解决整式乘法及因式分解的相关问题．
如图1，有A、B、C三种类型的卡片各若干张，已知A，C是边长分别为a，b的正方形卡片，B是长为a，宽为b的长方形卡片．
活动一
利用A，B，C三种类型的卡片拼成如图2所示的长方形，该长方形的面积可以用多项式表示为 ，还可以用整式乘积的形式表示为 ，利用上述面积的不同表达方式可以得到等式 ．
活动二
利用A，B，C三种类型的卡片拼成如图3所示的大长方形．
（1）依据活动一的方法，可以将2a2+5ab+2b2进行因式分解为 ；
（2）若每张B型卡片的面积为10cm2，2张A型卡片和2张C型卡片的面积和为58cm2，求所拼成的大长方形的周长．
26．（9分）已知，直线AB、DC，点P为平面上一点，连接AC，AP，CP．
（1）如图1，当点P在直线AB、CD之间时，有∠BAP+∠DCP＝∠APC；
①求证：AB∥DC；
②如图2，若∠BAP与∠DCP的平分线相交于点M，试写出∠AMC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（2）若AB∥DC，点M，P的位置如图3所示，连接AM、CM，∠MAP＝∠BAP，∠MCP＝∠DCP，则∠AMC与∠APC有何数量关系？请直接写出结论．
2020-2021学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选择（本大题有12个小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）计算a•a结果正确的是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
【分析】观察式子易知该式属于同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可得出答案．
【解答】解：a•a＝a1+1＝a2．
故选：B．
2．（2分）a，b都是有理数，且a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．1﹣a＜1﹣b C．5a＜5b D．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、不等式a＜b的两边都加上1，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式a＜b的两边都乘以﹣1，再加上1，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式a＜b的两边都乘以5，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
D、不等式a＜b的两边都除以2，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（2分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）
A．8.86×105 B．8.86×106 C．88.6×105 D．88.6×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：886000＝8.86×105．
故选：A．
4．（2分）已知三角形的两边长分别为5cm和10cm，则该三角形的第三边的长度可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．10cm D．15cm
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系，
得10﹣5＜x＜10+5，即5＜x＜15．
故选：C．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a6 C．（a3）2＝a6 D．（2a）2＝2a2
【分析】根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：选项A、a3•a2＝a2+3＝a5，故本选项不符合题意；
选项B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
选项C、（a3）2＝a2×3＝a6，故本选项符合题意；
选项D、（2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2分）如图，直线公路l沿线有A，B，C三个连锁超市（超市内商品和物价相同），三个超市到村庄M分别有MB，MA，MC三条公路，住在村庄M的居民总是选择最近的路线MA去A超市购物，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：∵MA⊥直线l，垂足为点A，
∴沿线路MA行走距离最短，依据的几何学原理是垂线段最短．
故选：B．
7．（2分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝70°，那么∠3是（ ）
A．145° B．150° C．60° D．30°
【分析】先根据对顶角相等求出∠1的度数，再根据邻补角互补即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵∠1+∠2＝70°，∠1＝∠2，
∴∠1＝35°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝145°．
故选：A．
8．（2分）已知：（x﹣5）（x+☆）＝x2﹣2x﹣15，其中☆代表一个常数，则☆的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，得出5☆＝15，从而得出☆的值．
【解答】解：∵（x﹣5）（x+☆）＝x2+☆x﹣5x﹣5☆＝x2+（☆﹣5）x﹣5☆＝x2﹣2x﹣15，
∴5☆＝15，
∴☆＝3．
故选：C．
9．（2分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF．若∠EGD＝114°，则∠EFG的大小是（ ）
A．68° B．66° C．48° D．46°
【分析】由平行线的性质求出∠BEG，根据角平分线的定义求出∠BEF，最后根据平行线的性质即可求出∠EFG．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠BEG+∠EGD＝180°，
∵∠EGD＝114°，
∴∠BEG+114°＝180°，
∴∠BEG＝180°﹣114°＝66°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝2×66°＝132°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG＝180°，
∴∠EFG＝180°﹣∠BEF＝180°﹣132°＝48°，
故选：C．
10．（2分）关于x的不等式组的解集为﹣3＜x≤5．则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集得到关于m的方程，解之可得答案．
【解答】解：解不等式2x﹣1＜4x+5，得：x＞﹣3，
解不等式x+1≤m，得：x≤m﹣1，
∵不等式组的解集为﹣3＜x≤5，
∴m﹣1＝5，
解得m＝6，
故选：D．
11．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．180° B．230° C．280° D．无法确定
【分析】根据三角形外角的性质，由∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，得∠1+∠2＝（∠A+∠ACB+∠ABC）+∠A．根据三角形内角和定理，由∠A+∠ABC+∠ACB＝180°得∠1+∠2＝230°．
【解答】解：∵∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝（∠A+∠ACB+∠ABC）+∠A．
又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°，
∴∠1+∠2＝180°+50°＝230°．
故选：B．
12．（2分）如图，直线MN与直线PQ互相垂直，垂足为O．点A，B分别在直线PQ与直线MN上，AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，则∠BIA的大小为（ ）
A．100° B．105° C．120° D．135°
【分析】由MN⊥PQ，得∠BOA＝90°，故∠OBA+∠OAB＝90°．由AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，得∠IBA＝，∠IAB＝，故∠IBA+∠IAB＝45°．那么，∠BIA＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
【解答】解：∵MN⊥PQ，
∴∠BOA＝90°．
∴∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠BOA＝90°．
又∵AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，
∴∠IBA＝，∠IAB＝．
∴∠IBA+∠IAB＝＝＝45°．
∴∠BIA＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝180°﹣45°＝135°．
故选：D．
二、准确填空（本大题有6个小题，每小题3分，共18分。请把箐案写在题中横线上）
13．（3分）计算：20﹣1＝ 0 ．
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），化简进而得出答案．
【解答】解：20﹣1＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
14．（3分）不等式3（1﹣x）＞4﹣2x的解集为 x＜﹣1 ．
【分析】本题应按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1这个步骤来解．
【解答】解：去括号得，3﹣3x＞4﹣2x，
移项及合并同类项得，﹣x＞1，
系数化为1得，x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
15．（3分）如图，△ABC的边BC与直线l重合，将△ABC沿着直线l向右平移6个单位长度得到△A1B1C1．若B1C＝1，则BC1的长度是 11 ．
【分析】根据平移的性质得到BB1＝CC1＝6，BC＝B1C1，然后计算BB1+CC1﹣CB1即可．
【解答】解：∵△ABC沿着直线l向右平移6个单位长度得到△A1B1C1．
∴BB1＝CC1＝6，BC＝B1C1，
∴BC1＝BB1+CC1﹣CB1＝6+6﹣1＝11．
故答案为11．
16．（3分）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花4200元购进洗手液与84消毒液共300瓶，已知洗手液的价格是20元/瓶，84消毒液的价格是5元/瓶．该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？设该校购进洗手液x瓶，购进84消毒液y瓶，则可列方程组为 ．
【分析】设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，根据“共300瓶；花费4200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组即可得出结论．
【解答】解：设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，根据题意可得：，
故答案为：．
17．（3分）按如图程序进行运算，从“输入一个值x”到“结果是否＞13”为一次程序操作，如果结果不大于13，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于13）为止．当输入的数x经过第一次运算后，结果不符合要求，则x的取值范围为 x≤ ．
【分析】根据运算程序，确定输入x后，程序的运算满足的代数式是3x﹣1，再根据题意可得不等式3x﹣1≤13，求出x的范围即可．
【解答】解：由运算程序可知，当输入x后，程序的运算式是3x﹣1，
∵第一次运算后，结果不符合要求，
∴3x﹣1≤13，
∴x≤，
故答案为x≤．
18．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，且AD、BE相交于点O．若△AOE与△BOD的面积和为4，则△ABE的面积为 6 ．
【分析】连接OC，由点D、E分别是BC、AC的中点，的S△ACD＝S△BCE＝S△ABC，从而S△AOE＝S△BOD＝2，则S△COD＝S△BOD＝S△COE＝2，即可得出答案．
【解答】解：连接OC，
∵点D、E分别是BC、AC的中点，
∴S△ACD＝S△BCE＝S△ABC，
∴S△AOE＝S△BOD，
∵△AOE与△BOD的面积和为4，
∴S△AOE＝S△BOD＝2，
∴S△COD＝S△BOD＝S△COE＝2，
∴S△ABE＝S△ACE＝6，
故答案为：6．
三、细心解答（本大题有8个小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）（1）分解因式：5x2﹣5；
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据因式分解的定义，由提公因式法和公式法得5x2﹣5＝5（x2﹣1）＝5（x+1）（x﹣1）．
（2）将x﹣y＝3记作①式，x﹣3y＝﹣1记作②式，①式与②式中含有x项的系数都为1，故可用加减消元法解方程组．那么，①﹣②得y＝2，故x＝5．
【解答】解：（1）5x2﹣5
＝5（x2﹣1）
＝5（x+1）（x﹣1）．
（2）将x﹣y＝3记作①式，x﹣3y＝﹣1记作②式．
①﹣②，得：2y＝4．
∴y＝2．
将y＝2代入①，得：x﹣2＝3．
∴x＝5．
∴这个方程组的解为：
20．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
【分析】分别求出不等式组两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出解集的整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x≤2；
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集是：﹣3＜x≤2，
则不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x（x﹣1），其中x＝3．
【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣（x2﹣9）+2x2﹣2x
＝x2﹣2x+1﹣x2+9+2x2﹣2x
＝2x2﹣4x+10，
当x＝3时，
原式＝18﹣12+10
＝16．
22．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠BED＝136°，求∠EDB的度数．
【分析】根据平行线的性质，由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC．根据角平分线的定义，由BD平分∠EBC，得∠EBD＝∠DBC．那么，∠EBD∠EDB．根据三角形内角和定理，由∠BED+∠EBD+∠EDB＝180°，可得∠EDB＝22°．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC．
又∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠EBD＝∠DBC．
∴∠EBD＝∠EDB．
又∵∠BED+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴∠BED+2∠EDB＝180°．
∴2∠EDB＝180°﹣∠BED＝180°﹣136°＝44°．
∴∠EDB＝22°．
23．（8分）为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种花卉．如果购买甲种花卉30盆，乙种花卉20盆，共需560元；如果购买甲种花卉10盆，乙种花卉40盆，共需320元．
（1）甲、乙两种花卉每盆各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种花卉共100盆，且乙种花卉的盆数不少于甲种花卉盆数的1.5倍，那么甲种花卉最多购买多少盆？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元；
（2）设甲种花卉购买了a盆，则乙种花卉购买了（100﹣a）盆，根据“乙种花卉的盆数不少于甲种花卉盆数的1.5倍”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，
根据题意，得．
解得，
答：甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆4元；
（2）设甲种花卉购买了a盆，则乙种花卉购买了（100﹣a）盆，
依题意，得100﹣a≥1.5a．．
解得a≤40．
∵a为整数，
∴a的最大整数值为40．
答：甲种花卉最多购买40盆．
24．（8分）已知，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点．
（1）如图，若AB﹣AC＝3，△ADC的周长为10，求△ABD的周长；
（2）若△BDE的面积为20，BD＝8，请在图2中作△BDE的BD边上的高，并求出点E到直线BC的距离；
（3）如图3，若∠ABD＝40°，∠ADB＝110°，射线BE平分∠ABD，点P是射线BE上一点，且直线DP与△BDE的一条边所在的直线垂直，请直接写出∠BDP的度数．
【分析】（1）根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形的高的概念作出EF，根据三角形的面积公式求出EF，得到点E到直线BC的距离；
（3）分DP⊥BE、DP⊥BD、DP⊥ED三种情况，根据垂直的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵AB﹣AC＝3，
∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+BD）＝3，即△ABD的周长﹣△ACD的周长＝3，
∵△ADC的周长为10，
∴△ABD的周长为13；
（2）如图2，过点E作EF⊥BC于F，则EF即为所求的△BDE的BD边上的高，
∵△BDE的面积为20，
∴×BD×EF＝20，
∵BD＝8，
∴EF＝5，即点E到直线BC的距离为5；
（3）∵射线BE平分∠ABD，∠ABD＝40°，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABD＝20°，
当DP⊥BE时，∠BDP＝90°﹣∠DBE＝70°；
当DP⊥BD时，∠BDP＝90°；
如图3，当DP⊥ED时，∠BDP＝110°﹣90°＝20°；
综上所述：∠BDP的度数为70°或90°或20°．
25．（9分）借助拼图我们可以解决整式乘法及因式分解的相关问题．
如图1，有A、B、C三种类型的卡片各若干张，已知A，C是边长分别为a，b的正方形卡片，B是长为a，宽为b的长方形卡片．
活动一
利用A，B，C三种类型的卡片拼成如图2所示的长方形，该长方形的面积可以用多项式表示为 2a²+3ab+b² ，还可以用整式乘积的形式表示为 （a+b）（2a+b）， ，利用上述面积的不同表达方式可以得到等式 2a²+3ab+b²＝（a+b）（2a+b） ．
活动二
利用A，B，C三种类型的卡片拼成如图3所示的大长方形．
（1）依据活动一的方法，可以将2a2+5ab+2b2进行因式分解为 （2a+b）（a+2b） ；
（2）若每张B型卡片的面积为10cm2，2张A型卡片和2张C型卡片的面积和为58cm2，求所拼成的大长方形的周长．
【分析】根据题目要求列出代数式，验证因式分解．
【解答】活动一：
故答案为2a²+3ab+b²，（a+b）（2a+b），2a²+3ab+b²＝（a+b）（2a+b），
活动二：
故答案为（1）2a²+5ab+2b²＝（2a+b）（a+2b），
（2）根据题意可得：ab＝10，2a²+2b²＝58，
∴a²+b²＝29，
∴（a+b）²＝a²+2ab+b²＝49，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝7，
大长方形的周长（a+2b+2a+b）×2＝21×2＝42．
26．（9分）已知，直线AB、DC，点P为平面上一点，连接AC，AP，CP．
（1）如图1，当点P在直线AB、CD之间时，有∠BAP+∠DCP＝∠APC；
①求证：AB∥DC；
②如图2，若∠BAP与∠DCP的平分线相交于点M，试写出∠AMC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（2）若AB∥DC，点M，P的位置如图3所示，连接AM、CM，∠MAP＝∠BAP，∠MCP＝∠DCP，则∠AMC与∠APC有何数量关系？请直接写出结论．
【分析】解：（1）①过点P作PK∥AB，则∠BAP＝∠APK．再根据角的和差关系和已知条件证得∠DCP＝∠KPC得到PK∥CD，从而得解；
②由①得∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AMC＝∠BAM+∠DCM，
由角平分线的定义得到，∠BAM＝∠BAP，∠DCM＝∠DCP，所以∠AMC＝∠BAP+∠DCP＝＝∠APC，从而得解；
（2）过P作PE∥CD，过M作MF∥CD，设∠MAP＝α，∠MCP＝β，则∠BAP＝3α，∠DCP＝3β．由角的和差关系得到∠BAM＝2α，∠DCM＝2β，利用平行线的性质证明∠AMF＝∠BAM＝2α，∠CMF＝∠DCM＝2β，∠APE＝∠BAP＝3α，∠CPE＝∠DCP＝3β．根据角的和差关系求出∠AMC＝2α﹣2β，∠APC＝3α﹣3β，从而得到∠AMC＝∠APC．
【解答】解：（1）①如图，过点P作PK∥AB
∵PK∥AB，
∴∠BAP＝∠APK．
∵∠BAP+∠DCP＝∠APC，
∴∠APK+∠DCP＝∠APC，
∴∠DCP＝∠APC﹣∠APK＝∠KPC，
∴PK∥CD，
∵PK∥AB，PK∥CD，
∴AB∥CD．
②∠AMC＝∠APC．
理由：由①得∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AMC＝∠BAM+∠DCM，
∵AM、CM分别是∠BAP与∠DCP的平分线，
∴∠BAM＝∠BAP，∠DCM＝∠DCP，
∴∠AMC＝∠BAP+∠DCP，
＝
＝∠APC．
（2）∠AMC＝∠APC．
理由：如图，过P作PE∥CD，过M作MF∥CD，
设∠MAP＝α，∠MCP＝β，
则∠BAP＝3α，∠DCP＝3β，
∴∠BAM＝∠BAP﹣∠MAP＝2α，
∠DCM＝∠DCP﹣∠MCP＝2β，
∵AB∥CD，PE∥CD，MF∥CD，
∴AB∥PE∥CD，AB∥MF∥CD，
∴∠AMF＝∠BAM＝2α，
∠CMF＝∠DCM＝2β，
∠APE＝∠BAP＝3α，
∠CPE＝∠DCP＝3β，
∴∠AMC＝∠AMF﹣∠CMF＝2α﹣2β，
∠APC＝∠APE﹣∠CPE＝3α﹣3β，
∴，
∴∠AMC＝∠APC．
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