专题02 2021高考数学基础训练卷二（解析版）-2021高考数学模拟卷与训练卷（新高考卷）

这是一份专题02 2021高考数学基础训练卷二（解析版）-2021高考数学模拟卷与训练卷（新高考卷），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021高考数学基础训练卷二（解析版）一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出集合A，B，再按交集的定义运算即可.【详解】由，得，所以，又，所以．故选：C2．若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合命题的真假表即可得出结果.【详解】命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题，根据复合命题的真假判断可得为假命题；为真命题；为假命题；为假命题.故选：B3．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，结合共轭复数的概念可求出的值.【详解】，，因此，.故选：B.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题.4．直线和的位置关系是（）A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定【答案】B【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可.【详解】由，因此该直线的斜率为：.由，因此该直线的斜率为：，因为，所以这两条直线相交但不垂直.故选：B【点睛】本题考查了判断两条直线的位置关系，考查了由直线一般式求直线的斜率，属于基础题.5．已知平面向量，满足，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】对各项向量的模逐个平方做差，即可得解.【详解】对A，，则，故A正确；对B，，故B错误；对C，不确定正负，故C错误；对D，不确定正负，故D错误.故选：A.6．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．51 B．57 C．54 D．72【答案】B【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：B7．四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．【详解】如图，在四面体中，底面，，，可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．其表面积为．故选：B．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，将该四面体补形得到长方体，由长方体的结构特征，即可得出外接球半径，求出结果.8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的导数，可得时函数单调递增，不满足题意，时，利用可得.【详解】可知的定义域为，，当时，恒成立，单调递增，则不可能有两个零点；当时，时，，单调递增；时，，单调递减，则在处取得极大值即最大值，要满足有两个零点，则，解得，综上，.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）；（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出. 二、多选题9．已知，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由不等式的性质直接判断即可.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，，，，故B错误；对于C，，，，故C正确；对于D，若，则，则，故D正确.故选：CD.10．函数的图象的一个对称中心为（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】先将原式化为再利用三角函数的对称中心的特点排除C、D，再对k进行赋值，得出正确选项.【详解】 令,当k=1时，,对称中心是;当k=2时，,对称中心是.故答案为：AB【点睛】本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称中心，运用了排除法和赋值解决问题.11．已知椭圆的离心率为e，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得是钝角，则满足条件的一个e的值（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设 ，则由条件可得有解，即在上有解，从而可得答案.【详解】，,设， ，所以椭圆上存在点P使得是钝角，即有解.即在上有解.所以，即，则，所以所以满足条件的有B, C故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率的范围问题，解答本题的关键是由椭圆上存在点P使得是钝角，转化为有解，然后设出点的坐标求出数量积，转化为在有解问题处理，属于中档题.12．如图，在边长为1的正方体ABCD-中，M为BC边的中点，下列结论正确的有（）
 A．AM与所成角的余弦值为B．过三点A、M、的正方体ABCD-的截面面积为C．四面体BD的内切球的表面积为D．正方体ABCD-中，点P在底面(所在的平面)上运动并且使∠MA=∠PA，那么点P的轨迹是椭圆【答案】AC【分析】建立空间坐标系，利用向量计算与所成角的余弦值判断，利用面面平行性质作出过，，的截面，再计算截面面积判断，根据等体积法计算棱锥的内切求半径，计算球的表面积判断，计算与平面的夹角，根据与的大小关系判断．【详解】以为坐标原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，1，，，，与所成角的余弦值为，故正确；取的中点，则，故梯形为过、、的正方体的截面，，，，梯形的高为，梯形的面积为，故错误；四面体的体积为，又四面体的所有棱长均为，四面体的表面积为，设四面体的内切球半径为，则，解得，四面体的内切球的表面积为，故正确；，点在以为轴，以为母线的圆锥的侧面上，，1，，，1，，故，设与平面的夹角为，则，，点在平面上的轨迹是双曲线，故错误．故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查空间向量的应用，考查截面问题，考查线面角以及四面体的内切球问题，求解内切球问题的方法基本有两种：1.构造三角形利用相似比和勾股定理求解；2.体积分割即等体积方法计算．  三、填空题13．已知，则的最小值为______.【答案】16.【分析】由题得，再利用基本不等式求解.【详解】因为，所以.所以.当且仅当时取等.故答案为：16【点睛】本题主要考查对数的运算和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．名同学站成一排，甲、乙两人相邻，丙与丁不相邻，则共有______种不同的排法（用数字作答）.【答案】【分析】甲、乙两人相邻用捆绑法，丙与丁不相邻用插空法.【详解】先排丙与丁以外的人且甲、乙在一起，有种排法，再排丙、丁两人有种排法，∴共有种排法.【点睛】本题考查了排列知识的应用.求解排列问题的六种主要方法:直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;间接法:正难则反、等价转化的方法.15．观察下列不等式：，，，按此规律，第个不等式为__________．【答案】【分析】直接利用归纳推理求解．【详解】第一个不等式左边有两项，第二个不等式左边有3项，第三个不等式左边有4项，依此类推：第个不等式左边有项，又每个不等式的左边最后一项的分母都是右边分母的平方，每一个不等式的右边的分子都是分母的2倍减去1，所以第个不等式为：.【点睛】本题主要考查了归纳推理及考查观察能力，属于基础题．16．二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉.由二项式定理得，可推导得________.【答案】【分析】先证得，然后利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】，即，对上式分别令，然后相加得①，依题意，则，令得所以，所以①可化为.故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查组合数的有关公式，属于中档题. 四、解答题17．在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知，.求，的值.【答案】答案见解析.【分析】若选①给出角A的余弦值，可用余弦定理求解；若选②，给出两个角的余弦，可求出对应角的正弦，用正弦定理可求解.【详解】选择条件①，，，，，选择条件②，，，，，由正弦定理得：，，，.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于中档题方法点睛：（1）若给出一个角的余弦值和边长，可用余弦求解；（2）若给两个角的正弦或余弦，应转化为两角的正弦，应用正弦定理求解.18．已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可求．【详解】（1）当时，，解得， 当时，由可得，两式相减可得，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以（2）由（1），，则，两式相减得，所以．【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.19．如图，四棱锥中，平面、底面为菱形，为的中点.（1）证明：平面；（2）设，菱形的面积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据题意，求得菱形的边长，取中点，可证，如图建系，求得点坐标及坐标，即可求得平面的法向量，根据平面PAD，可求得面的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】（1）连接交于点，连接，则、E分别为、的中点，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面积为，，易得菱形边长为，取中点，连接，因为，所以，以点为原点，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.则所以设平面的法向量，由得，令，则所以一个法向量，因为，，所以平面PAD，所以平面的一个法向量所以，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.20．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来(已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒)，人传人，传播快，传播广，病亡率高，对人类生命形成巨大危害.在中华人民共和国，在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制(累计病亡人数3869人).然而，国外因国家体制、思想观念与中国的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重.据美国约翰斯·霍普金斯大学每日下午6时公布的统计数据，选取5月6日至5月10日的美国的新冠肺炎病亡人数如下表(其中t表示时间变量，日期“5月6日”、“5月7日”对应于“t=6"、“t=7"，依次下去)，由下表求得累计病亡人数与时间的相关系数r=0.98.（1）在5月6日~10日，美国新冠肺炎病亡人数与时间(日期)是否呈现线性相关性?（2）选择对累计病亡人数四舍五入后个位、十位均为0的近似数，求每日累计病亡人数y随时间t变化的线性回归方程；（3）请估计美国5月11日新冠肺炎病亡累计人数，请初步预测病亡人数达到9万的日期.附:回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为【答案】（1）是；（2）；（3）82160人，5月16日【分析】（1）根据相关系数可得到结论；（2）首先算出和，然后根据公式计算出答案即可；（3）求出当时的值，然后解出不等式即可.【详解】（1）每日累计病亡人数与时间的相关系数，所以每日病亡累计人数与时间呈现强线性相关性，（2）5天5个时间的均值.5天5个病亡累计人数的均值.计算5个时间与其均值的差，计算5个累计病亡人数与其均值的差，制作下表：日 期5月6日5月7日5月8日5月9日5月10日均值时间678910新冠肺炎累计病亡人数7230075500769007850080000−2−1012 −4340−114026018603360   用公式进行计算：，.所以每日累计病亡人数随时间变化的线性回归方程是.（3）日期5月11日对应时间，，所以，估计5月11日累计病亡人数是82160.令，解得，病亡人数要达到或超过9万，即，对应于5月16日，因此预测5月16日美国新冠肺炎病亡人数超过9万人.【点睛】本题考查的是线性回归的相关知识，考查了学生的阅读能力和计算能力，属于基础题.21．已知点P是圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线l与半径相交于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为.（1）求点M的轨迹的方程；（2）若点N在双曲线(顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线相交于，过点的直线与曲线相交于，试探究是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定值为：.【分析】（1）根据椭圆定义即可求出结果；（2）设得直线的斜率乘积，利用点斜式方程设出直线NR，NQ的方程，与（1）的方程联立，写出根与系数的关系，利用弦长公式求出|AB|，|CD|的长度，然后求和，通过计算可得出结果．【详解】（1）依题意：，且，由椭圆定义知点M的轨迹为以R，Q为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆，即：，故.（2）设，则，∴直线的斜率都存在，分别设为，则，将直线的方程代入得，设，则，∴，同理可得，【点睛】本题考查了椭圆定义以及根与系数的关系，弦长公式，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．22．已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）设，证明：当时，有两个极值点，，并求的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析，.【分析】（1）求出，然后可求出答案；（2）首先得出，设，设的两个根为，可得，，即可证明有两个极值点，，然后利用可求出其范围.【详解】（1）当时，，.令，即，解得（负值舍去）.当时，，单调递增；当时，，单调递减.综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）得，.设，因为，且，，所以在上有两个不等实根，，且当，时，，；当时，，，所以在，上单调递增，在上单调递减.故，是的两个极值点.由，.得.又因为，所以，解得.即的取值范围是.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟悉导数的运算，准确的算出函数的导数，然后要将转化为进行求解.