2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（五）（含答案解析）

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2021学年高三数学第三次月考模拟卷（五）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）已知集合，，则中元素的个数为     A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了交集的运算，属于基础题．【解答】解：，，，中元素个数为3．故选B．命题p：“，”的否定是A. ， B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得【答案】B【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题p：“，”的否定是
“，使得”，
故选：B．
由全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．
本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，属于基础题．
 在中，，M是AB的中点，N是CM的中点，则A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】
本题考查向量的加法和数乘运算，属于基础题．
可画出图形，根据条件及向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可用表示出．
【解答】
解：如图，

，M是AB的中点，N是CM的中点；

．
故选：D．
 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为
A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】
本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．
利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长．
【解答】
解：，，
，，，
，；
在中，由余弦定理得：

，
；
即两山顶A，C之间的距离为．
故选：A．
 已知，，，则a，b，c的大小关系为A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】
本题主要考查对数式与指数式的大小比较，属基础题．
本题可根据相应的对数式与指数式与整数1、2进行比较即可得出结果．
【解答】
解：由题意，可知：
，
，
，
．
故选：A．
 直线被圆所截得的弦长为  A.  B. 1 C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】
本题考查了直线与圆相交的弦长的求法，属于基础题．
找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，利用勾股定理求出弦长即可．
【解答】
解：由圆的方程得：圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为．
故选C．
 已知函数在区间上递增，则实数a的取值范围是A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本．
由题意知函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要在区间上单调递增且即可．
【解答】解：令，由题意知：
在区间上单调递增且，
，
解得：
则实数a的取值范围是．
故选C．
 已知偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是A.  B.
C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是将转化为，属于基础题．
根据题意，由函数的奇偶性与单调性可以将转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，为偶函数，则，，
又由在上单调递增，
则，
解可得．
故选：B．
 二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）“双”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：    如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠劵；如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；如果购物总额超过300元，其中300元内的按第条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是    A. 如果购物总额为78元，则应付款为73元
B. 如果购物总额为228元，则应付款为元
C. 如果购物总额为368元，则应付款为元
D. 如果购物时一次性全部付款元，则购物总额为516元【答案】ABD【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用，属于基础题．
结合购物总额对应哪种情况进行计算即可．
【解答】
解：对于A项，购物总额为78元，属于情况，可以使用一张5元优惠劵，则应付款为元，故A项正确
对于B项，购物总额为228元，属于情况，则按标价给予9折优惠，
则应付款为元，故B项正确
对于C项，购物总额为368元，属于情况，则其中300元内的按第条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠，故应付款为元，故C项错误
对于D项，若购物时一次性全部付款元，属于情况，
设超过300元的部分为x元，
则，解得元，则购物总额为元，故D项正确．
故选ABD．
 已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是   A. 当时，曲线C表示椭圆；
B. 当或时，曲线C表示双曲线；
C. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；
D. 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则；【答案】BCD【解析】【分析】
本题考查椭圆、双曲线的标准方程，属基础题．
根据各选项要求，求出相应条件，可判断各自正误，由此可得结论．
【解答】
解：表示椭圆，则，解得且，所以A错误；
表示双曲线，则，解得或，故B正确；
表示焦点在x轴上的椭圆，则，即，故C正确；
表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故D正确；
故选BCD．
 已知函数的图象的一条对称轴为则下列结论中正确的是    A. 是最小正周期为的奇函数
B. 是图象的一个对称中心
C. 在上单调递增
D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象【答案】BD【解析】【分析】
本题考查函数的图像和性质，属于中档题．
根据正弦函数的性质和函数的图像和性质逐一判断即可得出答案．
【解答】
解：由题意可得，因为是函数的图象的一条对称轴，
所以，即，所以，
所以，
对于A：由，所以的最小正周期为，但不是奇函数，故A错误；
对于令 ，得 ，所以函数的图象的对称中心为，当时，，所以是图象的一个对称中心，故B正确；
对于当时，，故C错误；
对于D：先将函数的图象上各点的纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故D正确．
故选BD．
 下列命题正确的是   A. 若，则的最小值为
B. 若，则的最小值为3．
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最大值为2．【答案】CD【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值，注意成立的条件，属于中档题．
利用基本不等式求最值，一正二定三相等，逐一判定．
【解答】
解：若，则，当且仅当时，等号成立，故最大值为    故错误；
B.若，则，当，无解，故等号不成立，最小值不为故错误；
C.若，因为，故，即，当且仅当时，等号成立，则的最大值为  故正确；           
D.若，因为，即，即，当且仅当，时，等号成立，则的最大值为故正确．
故选CD．
 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）三棱锥中，侧棱SA与底面ABC垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于______．【答案】【解析】【分析】
本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，是中档题．
以SA，AB，BC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，求出外接球的半径，由此能求出其表面积．
【解答】
解：三棱锥中，侧棱SA与底面ABC垂直，，，且，
、AB、BC两两垂直，
以SA，AB，BC为棱构造一个长方体，
则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，
三棱锥的外接球的半径：，
三棱锥的外接球的表面积：．
故答案为．
 若抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____．【答案】4【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
求出椭圆的顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，求出P即可得到结果．
【解答】
解：抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，
抛物线的开口向上，焦点坐标，
可得，则该抛物线的焦点到准线的距离为：．
故答案为4．
 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为_________．【答案】1024【解析】【分析】
本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式，考查二次函数的最值求法，以及化简运算能力，属于中档题．
等比数列的公比设为q，运用等比数列的性质和通项公式，求得公比和通项公式，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．
【解答】
解：等比数列的公比设为q，
由，可得，即，
由，，成等差数列，可得，
解得，，即，
则，

，
由，
当或5时，取得最大值．
故答案为1024．
 既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展．现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道与A，B不重合，米，在紧邻休闲小道AC的两侧及圆弧上进行绿化，设，则绿化带的总长度的最大值约为________米．参考数据：，
 
【答案】880【解析】【分析】
本题考查三角函数模型的应用以及利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
由题可得绿化带的总长度，，求导，根据函数的单调性即可求得最值．
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OC，BC．
因为点C在半圆上，所以，
所以，弧的长为，所以绿化带的总长度，，
所以．
令，得，所以．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，取得最大值，
所以．
故答案为880．
 四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在，，且，，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．求角B；若，求周长的最大值．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【解析】【试题解析】
本题考查正弦定理、余弦定理和三角函数两角和与差公式，向量垂直的应用，基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题．
若选择根据题意利用余弦定理计算，可得
若选择利用正弦定理和两角和的正弦公式计算得，可得；
若选择，利用两角和正弦公式及已知条件计算得到，得，
利用余弦定理及基本不等式得，进而可得周长的最大值．
【答案】解：选，，，
．
化简得，，
由余弦定理得，
又因为，
．
选根据正弦定理，由得，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以．
选由，
得，
即，
所以，
又因为，
所以，
因此．
由余弦定理，
得．
又，
，当且仅当时等号成立，
，
解得，，
当且仅当时，等号成立．
．
周长的最大值为12． 已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，，．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ求数列的前n项和．【解析】Ⅰ设数列的公差为d，的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，可得公差与公比的方程组，解方程可得所求通项公式；
Ⅱ运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．
【答案】解：Ⅰ设数列的公差为d，的公比为，
由，，．
则
解得或舍，
所以，，．
Ⅱ
． 园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入万元与年产量万台满足如下关系式：．Ⅰ写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式；利润销售收入成本Ⅱ当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．【解析】本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；
分段求出函数的最大值，比较可得结论．
【答案】解：当时，；
当时，
，
故函数解析式为；
时，

，
，
时，
，
当且仅当即时等号成立，
，
因为
当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为1360万元． 四棱锥中，侧面PAB为正三角形，底面ABCD是正方形，且平面平面ABCD，E，F分别为PB，BC中点，．Ⅰ求证：平面平面PBC；Ⅱ棱AD上是否存在点M，使得BM与平面PAD所成角为？若存在，求AM的长度；若不存在，说明理由．【解析】本题考查面面垂直的证明，线面角的计算，属于中档题．
Ⅰ由面面垂直的性质可得平面，即可得到，再由等边三角形三线合一得到，即可得到平面，从而得证；
Ⅱ取中点，可证平面，则是与平面所成的角，则再由勾股定理求出即可；
【答案】解：Ⅰ因为四边形为正方形，则，
因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面ABCD，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为正三角形，是的中点，所以，
又，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面PBC；
Ⅱ取中点，连接BH、MH、BM，则，

由Ⅰ知平面，平面，所以，
因为，所以，
又，平面，平面，所以平面，
所以是与平面所成的角，即，
因为正三角形边长为2，则，
在中，，
中，，所以，
故棱上存在点，当时，使得与平面所成的角为． 已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【解析】Ⅰ由题意可得，解得，，则椭圆方程可求；
Ⅱ设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．
本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，【答案】解：Ⅰ由题意可得，解得，，
故椭圆C的方程为，
证明Ⅱ：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，
设，，直线PA的方程为，即
联立，得．
，即
设直线PB的方程为，同理求得

，
直线AB的斜率，
易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，
直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形 已知函数
时，求函数的单调区间；
若恒成立，求实数a的取值范围；
求证：且．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求闭区间上的最值，训练了利用导数证明函数不等式，属难题．
把代入函数解析式，求导后求得导函数零点，由导函数零点对定义域分段，求出各区间段内导函数的符号，从而求得原函数的单调区间；
把化为：，得到，令，利用导数求其最大值可得实数a的取值范围；
令，由导数可得在上单调递增，得到时，，令，可得，累加可得，取得答案．
【答案】解：时，，，
，
，由，解得，，
当时，，当时，，
则函数在，上单调递增，在上单调递减；
解：，化为：，
，令，
，
令，可知：函数在上单调递减．
而．
时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增．
函数在时取得极大值即最大值，．
实数a的取值范围是；
证明：令，
则，
在上单调递增，
当时，，即，，
令，则，
故，，，．
累加得：，
取，得．