2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（三）（含答案解析）

这是一份2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（三）（含答案解析），共20页。
2021学年高三数学第三次月考模拟卷（三）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）已知全集0，1，2，，集合1，，0，，则A.  B.  C. 2， D. 0，1，【答案】A【解析】【分析】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．
【解答】
解：，

0，
，
故选：A．
 已知，则“”是“”的A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，是基础题．
“”“”，“”“或”，由此能求出结果．
【解答】
解：，则“”“”，
“”“或”，
“”是“”的充分非必要条件．
故选A．
 已知单位向量满足，则与的夹角为A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】
本题考查平面向量的模，向量的数量积，向量的夹角，属于基础题．
可知，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角．
【解答】
解：
，
，
，
又，
的夹角为．
故选C．
 已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．A.  B.  C.  D. 12【答案】A【解析】【分析】
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题．
由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，左边部分是四分之一圆锥，右边部分为三棱锥，然后由锥体体积求解．
【解答】
解：由三视图还原几何体如图，

该几何体为组合体，左边部分是四分之一圆锥，右边部分为三棱锥，
则其体积
．
故选A．
 设函数，则下列结论错误的是  A. 的一个周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为
D. 在单调递减【答案】D【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查推理能力，属于基础题．
根据题意，逐项判断即可．
【解答】
解：对于A，函数的周期为，，
当时，周期为，故A正确；
对于B，当时，，
此时函数取得最小值，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，因为，
且，
则的一个零点为，故C正确；
对于D，当时，，
此时函数不是单调函数，故D错误，
故选D．
 等差数列的首项为1，公差不为若，，成等比数列，则的前6项和为     A.  B.  C. 3 D. 8【答案】A【解析】【分析】
本题考查等差数列前n项和的求法，等比数列的性质，属于基础题．
根据题意，求出公差d，即可得解．
【解答】
解：由题意，设等差数列的公差为d，，
又，
，，成等比数列，
，
，
解得，
则的前6项和为：．
故选A．
 的递增区间是A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】
本题主要考查二次函数、对数函数的性质，复合函数的单调性，属于简单题．
令，求得函数的定义域，根据，本题即求函数t在定义域内的增区间，结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间．
【解答】
解：令，求得或，
故函数的定义域为或，，
本题即求函数t在定义域内的增区间．
结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为，
故选D．
 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是  A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性的应用，属于中档题．
利用函数的奇偶性的性质将转化为，然后利用函数的单调性解不等式即可．【解答】
解：函数是偶函数，
等价为，
在区间上单调递增，
，即，
解得，
的取值范围是
故选A．
 二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是   A.
B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的2倍
D. 若，则外接圆半径为【答案】ACD【解析】【分析】
本题考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式及同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于中档题．
根据已知可设：，解得故可得A正确，由余弦定理可知角C为锐角，所以B错误，再由余弦定理和二倍角公式得，所以C正确，最后由正弦定理及同角三角函数的基本关系即可得D正确．
【解答】
解：因为，
所以可设：其中，
解得：，
所以，所以A正确；
由上可知：c边最大，所以三角形中角C最大，
又，所以角C为锐角，所以B错误；
由上可知：a边最小，所以三角形中角A最小，
又，
所以，
所以，
由三角形中角C最大且角C为锐角可得：，，
所以，所以C正确；
由正弦定理得：，
又，
所以，解得：，所以D正确；
故选ACD．
 已知曲线，则     A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则C是圆，其半径为
C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，难度一般．
根据m，n的范围，结合椭圆、双曲线、圆及直线的标准方程一一判断即可．
【解答】
解：当时，可化为，
若，则，故表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
若，可化为，表示圆心为原点，半径为的圆，故B错误；
若，则C是双曲线，令故其渐近线方程为，故C正确；
若，，可化为，即，表示两条直线
故D正确．故选ACD．
 函数，下列四个选项正确的是A. 是以为周期的函数
B. 的图象关于直线对称
C. 当且仅当，取得最小值
D. 当且仅当时，【答案】BD【解析】【分析】
本题考查三角函数的最值，利用函数的图象研究函数的性质，命题的真假判断，属于中档题．
由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象．
【解答】
解：由题意函数，画出在上的图象．
由图象知，函数的最小正周期为，故A错误；
由图象知，函数图象关于直线对称，故B正确；
在和时，该函数都取得最小值，故C错误，
在时，，故D正确．
故选BD．

 下列各函数中，最小值为2的是   A.  B.  C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用、对勾函数、二次函数的性质，注意基本不等式的使用条件，属于基础题．
解题时，通过举反例排除A，利用基本不等式得到C正确；利用二次函数的性质，即可得B错误，D正确．
【解答】
解：当时，，故排除A；
因为，故最小值为1，故B选项错误；
设，则，当且仅当，即时等号成立，
故C选项正确；
对于 ，，，当时有最小值2，故D正确 
故选CD
 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）四棱锥的底面ABCD为正方形，底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为的同一球面上，则______．【答案】【解析】【分析】
本题考查四面体的外接球的表面积，考查直线与平面垂直的性质，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
先连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，可得球半径，由球的表面积公式建立方程求出PA即可．
【解答】
解：连结AC，BD交于点E，取PC的中点O，

连结OE，则，
因为底面ABCD，
所以底面ABCD，
则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，
即O为球心，半径为，
所以由球的表面积公式可得，
解得．
故答案为．
 已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若，则C的离心率为______．【答案】【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：双曲线右顶点为，
，故为等边三角形，
则A到渐近线的距离为，
不妨设渐近线方程为，
所以，即，
所以离心率为．
故答案为．
 设数列的前n项和为，且，，则数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】
本题考查数列递推式，考查了由递推公式求通项公式，是中档题．
由已知数列递推式可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，求其通项公式后，利用求得数列的通项公式．
【解答】
解：由，得：
，
即，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，．
当时，．
时上式不成立，
．
故答案为：．
 如图，在中，已知，，，D为边BC的中点若，垂足为E，连接BE，则的值为________．
【答案】【解析】【分析】
考查向量加法的几何意义，向量数量积的运算，余弦定理，考查运算求解能力，是较难题．
在中，由余弦定理即可求出，从而得出，并求出，这样在中，由余弦定理即可求出AD的值，从而求出，这样在中即可求出DE的值，而，从而可求出数量积的值．
【解答】
解：在中，，，
由余弦定理得：
，
，，
．
在中：
，
，
，
在中，；

．
故答案为：．
 四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
 
求c；
设D为BC边上一点，且，求的面积．【解析】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．
根据余弦定理即可求出c；
先求出cosC，求出CD的长，得到，即可得解．
【答案】解：，
，
，
，
由余弦定理可得，
即，
即，
解得舍去或，
故．
，
，
，
，
，，
又
，
． 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ求数列的前n项和 【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力属于中档题．
Ⅰ设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解和的通项公式；
Ⅱ化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由已知，得，而，所以，
又因为，解得，所以；
由，可得，
由，可得，
联立，解得，，由此可得；
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．
Ⅱ设数列的前n项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得

，
得．
所以数列的前n项和为．在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度．．若交通流量，求道路密度x的取值范围；已知道路密度，交通流量，求车辆密度q的最大值．【解析】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．
易知v越大，x越小，所以是单调递减函数，，于是只需令，解不等式即可；
把，代入的解析式中，求出k的值，利用可得到q关于x的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q的最大值，取较大者即可．
【答案】解：，越大，x越小，是单调递减函数，，当时，v最大为85，于是只需令，解得，故道路密度x的取值范围为．把，代入中，得，解得．当时，q单调递增，；当时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为，此时q有最大值，为．故车辆密度q的最大值为． 如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点， E为线段PC上一点．

 

求证：；
求证：平面平面PAC；
当平面BDE时，求三棱锥的体积．【解析】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
运用线面垂直的判定定理可得平面ABC，再由性质定理即可得证；
要证平面平面PAC，可证平面PAC，由运用面面垂直的判定定理可得平面平面ABC，再由等腰三角形的性质可得，运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；
由线面平行的性质定理可得，运用中位线定理，可得DE的长，以及平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．
【答案】证明：由，，
平面ABC，平面ABC，且，
可得平面ABC，
由平面ABC，可得；
证明：由，D为线段AC的中点，
可得，
由平面ABC，平面PAC，
可得平面平面ABC，
又平面平面，
平面ABC，且，
即有平面PAC，平面BDE，
可得平面平面PAC；
解：平面BDE，平面PAC，
且平面平面，
可得，
又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且，
由平面ABC，可得平面ABC，
可得，
则三棱锥的体积为． 设椭圆的左焦点为F，上顶点为已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点若为原点，求k的值．【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于难题．
Ⅰ设椭圆的焦距为2c，根据椭圆的几何性质与已知条件，求出a、b的值，再写出椭圆的方程；
Ⅱ设出点P、Q的坐标，由题意利用方程思想，求得直线AB的方程以及k的值．
【答案】解：Ⅰ设椭圆的焦距为2c，
由椭圆的离心率为，
；
又，
，
由，，且；
可得，
从而解得，，
椭圆的方程为；
Ⅱ设点P的坐标为，点Q的坐标为，由已知；
；
又，且，
，
由，可得；
由方程组，消去x，可得，
由Ⅰ易知直线AB的方程为；
由方程组，消去x，可得；
由，可得，
两边平方，整理得，
解得或；
的值为或． 已知函数
若不等式恒成立，则实数a的取值范围；
在中，a取最小值时，设函数若函数在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；
证明不等式：且．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，不等式的证明，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．
分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围
问题转化为关于x的方程在区间上恰有两个实数根，再分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围；
由可得，当且仅当时取等号，令，则有，其中，，利用放缩裂项，累加求和即可证明．
【答案】解：由题意知，恒成立．变形得：．
设，则．
由可知，在上单调递增，在上单调递减，
在处取得最大值，且．
所以，
实数a的取值范围是．
由可知，，当时，，
，
在区间上恰有两个零点，
即关于x的方程在区间上恰有两个实数根．
整理方程得，，
令，
．
令，，
则，，
于是，在上单调递增．
因为，当时，，从而，单调递减，
当时，，从而，单调递增，
，，，
因为，
所以实数k的取值范围是．
证明：由可知，当时，有，
当且仅当时取等号．
令，则有，其中，．
整理得：，
当，3，，n时，，，，，
上面个式子累加得：且，
即命题得证．