课时跟踪检测（六） 平面向量基本定理

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1．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
解析：选B 由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B.
2．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2
解析：选D 由e1，e2为不共线向量，可知e1与e1＋e2，e1－2e2与e1＋2e2，e1＋e2与e1－e2必不共线，都可作为平面向量的基底，而e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，故e1－2e2与－e1＋2e2共线，不能作为该平面所有向量的基底．故选D.
3．在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝c，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，若点D满足eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，以b与c作为基底，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b
C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c
解析：选A ∵eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝2(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))－c＝2(b－eq \(AD,\s\up7(―→)))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(2,3)b.故选A.
4．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．3,0 D．3,4
解析：选D ∵向量e1与e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4.))故选D.
5.如图所示，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝eq \r(3)，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设eq \(OC,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))，则( )
A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－2，y＝1
C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1
解析：选B 过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC(图略)．由|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝eq \r(3)，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°.在Rt△ODC中，可得OD＝2CD＝2，则eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝－2eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)).故选B.
6.如图，平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量eq \(AM,\s\up7(―→))＝________.
解析：eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DM,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝b＋eq \f(1,2)a.
答案：b＋eq \f(1,2)a
7．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
解析：∵e1，e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,3x＋2y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0.))
∴x＋y＝0.
答案：0
8.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，用a，b表示eq \(AG,\s\up7(―→))＝________.
解析：eq \(AG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＋eq \(EG,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)a＝eq \f(3,4)a＋eq \f(3,4)b.
答案：eq \f(3,4)a＋eq \f(3,4)b
9.如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))表示eq \(AD,\s\up7(―→)).
解：∵D是BC边的四等分点，∴eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)).
10.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，试以a，b为基底表示eq \(DE,\s\up7(―→))，eq \(BF,\s\up7(―→)).
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＝2eq \(BE,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(BA,\s\up7(―→))＝2eq \(CF,\s\up7(―→))，
∴eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)b，
eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)a.
∴eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝－eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))
＝－b＋a＋eq \f(1,2)b＝a－eq \f(1,2)b，
eq \(BF,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝b－eq \f(1,2)a.
B级——面向全国卷高考高分练
1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
解析：选A 作出示意图如图所示．eq \(EB,\s\up7(―→))＝eq \(ED,\s\up7(―→))＋eq \(DB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)).故选A.
2．[多选]设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A.eq \(AD,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→)) B.eq \(DA,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))
C.eq \(CA,\s\up7(―→))与eq \(DC,\s\up7(―→)) D.eq \(OD,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))
解析：选AC 由题意作平行四边形ABCD，如图．因为eq \(AD,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→))不共线，eq \(CA,\s\up7(―→))与eq \(DC,\s\up7(―→))不共线，所以它们均可作为这个平行四边形所在平面的一组基底，eq \(DA,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))共线，eq \(OD,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))共线，故这两组向量不能作为该平面的一组基底，故选A、C.
3．若eq \(OP1,\s\up7(―→))＝a，eq \(OP2,\s\up7(―→))＝b，eq \(P1P,\s\up7(―→))＝λeq \(PP2,\s\up7(―→))，则eq \(OP,\s\up7(―→))＝( )
A．a＋λb B．λa＋b
C．λa＋(1＋λ)b D.eq \f(a＋λb,1＋λ)
解析：选D ∵eq \(P1P,\s\up7(―→))＝λeq \(PP2,\s\up7(―→))，∴eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OP1,\s\up7(―→))＝λ(eq \(OP2,\s\up7(―→))－eq \(OP,\s\up7(―→)))，(1＋λ)eq \(OP,\s\up7(―→))＝λeq \(OP2,\s\up7(―→))＋eq \(OP1,\s\up7(―→))，∴eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(λb＋a,1＋λ).故选D.
4.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若eq \(OP,\s\up7(―→))＝aeq \(OP1,\s\up7(―→))＋beq \(OP2,\s\up7(―→))，且点P落在第Ⅲ部分， 则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b