高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件第1课时一课一练

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1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：x＝1，q：x－1＝eq \r(x－1)；
(4)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；
(5)p：a是自然数，q：a是正整数；
2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若x2＝y2，则x＝y；
(2)若内错角相等，则两直线平行；
(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；
(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.
3.设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
4．(多选题)下列命题中，是真命题的是( )
A．“x2>0”是“x>0”的充分条件
B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件
C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件
D．“|x|>1”是“x2不小于1”的充分条件
5．若集合A＝{1，m2}，B＝(2,4)，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件(填“充分”或“必要”)．
6．已知M＝{x|a－11．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
2．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设x∈R，则“|x|<1”是“x3＜1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(易错题)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
7．“a和b都是偶数”是“a＋b也是偶数”的________条件．
8．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为________．
9．(探究题)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件的，用序号填空．
(1)a，b都为0的必要条件是________；
(2)使a，b都不为0的充分条件是________．
10．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
1．(多选题)若x2－x－2<0是－2A．1 B．2
C．3 D．4
2．(学科素养－逻辑推理)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
3．(1)已知P＝{x|a－4(2)已知p：a≤x≤a＋1，q：0§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
必备知识基础练
1．解析：(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以q不是p的必要条件；
(2)直角三角形不一定是等腰三角形．
因此pq，所以q不是p的必要条件．
(3)当x＝1时，x－1＝eq \r(x－1)＝0，
所以p⇒q，所以q是p的必要条件；
(4)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件；
(5)0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，
所以q不是p的必要条件．
2．解析：(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
(2)若内错角相等，则两直线平行是真命题，
所以p⇒q，所以p是q的充分条件．
(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，
所以a的个位数字为偶数；
所以p⇒q，所以p是q的充分条件．
(4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，
所以p⇒q，所以p是q的充分条件．
3．解析：因为x>2⇒x>1，所以x>1是x>2的必要条件，故选A.
答案：A
4．解析：x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故x2>0是x>0的必要条件，故A错误；xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件；故B正确；|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件；故C错误；|x|>1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故|x|>1是x2不小于1的充分条件，故D正确．故选B、D.
答案：BD
5．解析：当m＝2时，A＝{1,4}，所以A∩B＝{4}；若A∩B＝4，则m2＝4，所以m＝±2.故m＝2是A∩B＝{4}的充分条件．
答案：充分
6．解析：因为N是M的必要条件，所以M⊆N.于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))从而可得－2≤a≤7.
故a的取值范围为[－2,7]．
答案：[－2,7]
关键能力综合练
1．解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但当|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立，∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．故选A.
答案：A
2．解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.
答案：B
3．解析：若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a答案：A
4．解析：因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
5．解析：由|x|<1，得－1答案：A
6．解析：当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q；当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，此时q推不出p.故p是q的充分条件．
答案：A
7．解析：当a和b都是偶数时，则a＋b也是偶数；当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．故填“充分不必要”．
答案：充分不必要
8．解析：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B.所以m≥4.
答案：[4，＋∞)
9．解析：①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
答案：(1)①② (2)③
10．解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．
(4)a>bac>bc，且ac>bca>b，故p是q的既不充分也不必要条件．
学科素养升级练
1．解析：由x2－x－2<0，解得－1又x2－x－2<0是－2∴(－1,2)(－2，a)，则a≥2.
∴实数a的值可以是2,3,4.
故选BCD.
答案：BCD
2．解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
所以丙⇒乙，但乙丙，
如图．
综上，有丙⇒甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
答案：A
3．解析：(1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤1，,a＋4≥3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤5，,a≥－1，))
所以－1≤a≤5.
(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分条件但不是必要条件，∴MN，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a＋1<4，))解得0必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
必要条件的判断
知识点二
充分条件的判断
知识点三
必要条件与充分条件的应用
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层