物理第五章 曲线运动综合与测试导学案

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1．模型特点：小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同．
(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行．船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t短＝eq \f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq \f(d,sin θ)，位移方向满足tan θ＝eq \f(v船,v水).
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq \f(d,v船sin θ)，船头与上游河岸夹角θ满足
v船cs θ＝v水，如图甲所示．
甲
情况二：v水＞v船
乙
如图乙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝eq \f(v船,v水)，最短航程为x＝eq \f(d,sin α)＝eq \f(v水,v船)d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cs θ′＝eq \f(v船,v水).
【例1】 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
[解析] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示，
合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s.
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x＝v合t＝90eq \r(5) m.
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸．船头应朝上游与河岸成某一角度β.
如图所示，由v2sin α＝v1得α＝30°.所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短．
x＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v′⊥)＝eq \f(d,v2cs 30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq \r(3) s.
[答案] (1)36 s 90eq \r(5) m
(2)偏向上游与河岸成60°角 24eq \r(3) s
对小船渡河问题，要注意以下三点：
(1)eq \x(研究小船渡河时间时)→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解．
(2)eq \x(分析小船速度时)→可画出小船的速度分解图进行分析．
(3)eq \x(研究小船渡河位移时)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图．
1．一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是( )
A．船渡河时间为eq \f(d,v2)
B．船渡河时间为eq \f(d,\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)))
C．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(v2,v1)·d
D．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(d,\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)))·d
C [船正对河岸运动，渡河时间最短t＝eq \f(d,v1)，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝eq \f(v2,v1)·d，所以A、B、D选项错误，C选项正确．]
1．“绳联物体”指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)，注意以下两点：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向．
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等．
2．常见的速度分解模型
【例2】 如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为( )
A．v B.eq \f(v,sin θ) C．vcs θ D．vsin θ
D [将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vB＝vsin θ，故D正确．]

上例中，若物体B以速度v向左匀速运动，则物体A做什么运动？
提示：vA′＝eq \f(v,sin θ)
由于θ变小，故vA′变大，故物体A向上做加速运动．
2.如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ
C．v1＝v2tan θD．v1＝v2sin θ
C [可以把
A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cs θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确．]
1．(多选)已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能正确的是( )

CD [小船的路径应沿合速度方向，不可能与船头指向相同，故A、B错误，C、D正确．]
2．一轮船以一定的速度垂直河流向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是( )
A．水速越大，路程越长，时间越长
B．水速越大，路程越短，时间越短
C．水速越大，路程和时间都不变
D．水速越大，路程越长，时间不变
D [轮船渡河的运动是两个分运动的合成：假设河水不流动，轮船在静止的河水中垂直对岸行驶；假设轮船不运行，而河水流动，则轮船随河水一起向下游漂动．这两个分运动具有独立性，因而河水流速增大不影响轮船到达对岸的时间，但在相同的时间里，沿水流方向移动的位移要增大，因而选项D正确．]
3．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为( )
A．v B．vcs θ C.eq \f(v,cs θ) D．vcs2 θ
B [如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得，vP＝vcs θ，故B正确，A、C、D错误．故选B.]
小船渡河问题
“绳联物体”的速度分解问题