福建省福州第八中学2020-2021学年高一下学期周测数学试卷（三）+Word版含解析

这是一份福建省福州第八中学2020-2021学年高一下学期周测数学试卷（三）+Word版含解析，共15页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年福建省福州八中高一（下）周测数学试卷（三）
一、单项选择题（共5小题）.
1．设，为基底向量，已知向量＝﹣k，＝2﹣，＝3﹣3，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3
2．＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则（2+）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．已知向量＝（，sinα），＝（sinα，），若∥，则锐角α为（　　）
A．30° B．60° C．45° D．75°
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则•（+）等于（　　）
A． B． C． D．
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC＝4csinA，已知△ABC的面积S＝10，b＝4，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
6．已知向量＝（1，0），＝（cosθ，sinθ），θ∈[﹣，]，则|+|的值可以是（　　）
A． B． C．2 D．2
7．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a等于（　　）
A． B．12 C．或2 D．2
8．在△ABC中，sinC+sin（A﹣B）＝3sin2B．若，则等于（　　）
A． B． C．2 D．3
9．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（　　）
A．ω的取值范围是
B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解
C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解
D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增
三、填空题
10．已知A（2，﹣3），＝（3，﹣2），则线段AB的中点坐标为　 　．
11．若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，若（3+5）⊥（m﹣），则m的值为　 　．
12．已知||＝2，||＝10，与的夹角为120°，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量是　 　．
13．在△ABC中．若b＝5，，tanA＝2，则sinA＝　 　；a＝　 　．
四、解答题
14．在△ABC中，cosA＝﹣，cosB＝．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设BC＝5，求△ABC的面积．
15．已知向量＝31﹣22，＝41+2，其中1＝（1，0），2＝（0，1），求：
（1）•和|+|的值；
（2）与夹角θ的余弦值．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB＝0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c＝1，求b的取值范围．
17．已知，是平面内两个不共线的非零向量，＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐标；
（2）已知点D（3，5），在（1）的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cosB＝，b＝3．求：
（1）a和c的值；
（2）cos（B﹣C）的值．
19．已知函数，g（x）＝﹣lnx．
（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．


参考答案
一、单项选择题
1．设，为基底向量，已知向量＝﹣k，＝2﹣，＝3﹣3，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3
解：因为＝﹣k，＝2﹣，＝3﹣3，
所以＝＝﹣2，
若A，B，D三点共线，
则∥，
所以存在实数λ使得，
故﹣k＝λ（﹣2），
所以λ＝1，k＝2．
故选：A．
2．＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则（2+）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：因为＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（1，0）•（1，﹣1）＝1；
故选：C．
3．已知向量＝（，sinα），＝（sinα，），若∥，则锐角α为（　　）
A．30° B．60° C．45° D．75°
解：∵向量＝（，sinα），＝（sinα，），∥，
∴，解得sin2α＝，
∴锐角α为30°．
故选：A．
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则•（+）等于（　　）
A． B． C． D．
解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，

又由点P在AM上且满足
∴P是三角形ABC的重心
∴
＝＝﹣
又∵AM＝1
∴＝
∴＝﹣
故选：A．
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC＝4csinA，已知△ABC的面积S＝10，b＝4，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
解：∵3acosC＝4csinA，
∴由正弦定理可得3sinAcosC＝4sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴3cosC＝4sinC，即cosC＝sinC，
∴sin2C+cos2C＝sin2C+sin2C＝sin2C＝1，解得：sinC＝，
∵b＝4，△ABC的面积S＝10＝absinC＝a×4×，
∴解得a＝．
故选：B．
二、多项选择题
6．已知向量＝（1，0），＝（cosθ，sinθ），θ∈[﹣，]，则|+|的值可以是（　　）
A． B． C．2 D．2
解：由＝（1，0），＝（cosθ，sinθ），
可得+＝（cosθ+1，sinθ），
则|+|2＝（cosθ+1）2+sin2θ＝2+2cosθ，
因为θ∈[﹣，]，所以0≤cosθ≤1，
所以2≤|+|2≤4，所以≤|+|≤2，
则A、B、C符合题意，
故选：ABC．
7．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a等于（　　）
A． B．12 C．或2 D．2
解：∵b＝，c＝3，B＝30°，
∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB得：（）2＝a2+32﹣3a，
整理得：a2﹣3a+6＝0，即（a﹣）（a﹣2）＝0，
解得：a＝或a＝2，
则a＝或2．
故选：C．
8．在△ABC中，sinC+sin（A﹣B）＝3sin2B．若，则等于（　　）
A． B． C．2 D．3
解：∵A+B＝π﹣C，
∴sinC＝sin（π﹣C）＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
又∵sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB，
∴sinC+sin（A﹣B）＝3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）＝6sinBcosB，
化简得2sinAcosB＝6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）＝0
解之得cosB＝0或sinA＝3sinB．
①若cosB＝0，结合B为三角形的内角，可得B＝，
∵C＝，
∴A＝﹣C＝，
因此sinA＝sin＝，由三角函数的定义得sinA＝＝；
②若sinA＝3sinB，由正弦定理得a＝3b，
所以＝3．
综上所述，的值为或3．
故选：BD．
9．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（　　）
A．ω的取值范围是
B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解
C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解
D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增
解：对于A，由于ω＞0，f（0）＝sin＞sin0，设t＝ωx+，则t∈[，2ωπ+]，
因为f（x）在[0，2π]上有且仅有5个零点，
所以5π≤2ωπ+＜6π，解得≤ω＜，故A正确，
对于B，f（x）＝1即此时f（x）取最大值，
则满足ωx+＝，，的x是f（x）＝1的解，共3个，故B正确，
对于C，f（x）＝﹣1，即此时f（x）取最小值，
则满足ωx+＝，的x是f（x）＝﹣1的解，
但当ω接近时，ωx+＝＜6π，也是f（x）＝﹣1的解，这时f（x）＝﹣1有3个解，故C错，
对于D，当x∈（0，）时，由ω×+＝（ω+2）×＜＜，
所以f（x）是递增的，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
10．已知A（2，﹣3），＝（3，﹣2），则线段AB的中点坐标为　（，﹣4）　．
解：∵A（2，﹣3），＝（3，﹣2），设B（ m，n），
∴m﹣2＝3，n+3＝﹣2，求得m＝5，n＝﹣5，∴B（5，﹣5），
∵＝，＝﹣4，
则线段AB的中点坐标为（，﹣4），
故答案为：（，﹣4）．
11．若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，若（3+5）⊥（m﹣），则m的值为　　．
解：∵
∴＝0；
∴m＝．
故答案为：．
12．已知||＝2，||＝10，与的夹角为120°，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量是　﹣5　．
解：||＝2，||＝10，与的夹角为120°，
所以向量在向量方向上的投影向量，
故答案为：﹣5．
13．在△ABC中．若b＝5，，tanA＝2，则sinA＝　　；a＝　2　．
解：由tanA＝2，得到cos2A＝＝，
由A∈（0，π），得到sinA＝＝，
根据正弦定理得：＝，得到a＝＝＝2．
故答案为：；2
四、解答题
14．在△ABC中，cosA＝﹣，cosB＝．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设BC＝5，求△ABC的面积．
解：（Ⅰ）在△ABC中，A+B+C＝π，
由，，得sinA＝，
由，，得．
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝；
（Ⅱ）由正弦定理，
解得：，
所以△ABC的面积：．
15．已知向量＝31﹣22，＝41+2，其中1＝（1，0），2＝（0，1），求：
（1）•和|+|的值；
（2）与夹角θ的余弦值．
解：由已知，向量＝31﹣22，＝41+2，其中1＝（1，0），2＝（0，1），
∴，
（1），．
（2）由上得，，
∴．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB＝0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c＝1，求b的取值范围．
解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB＝0，
即sinAsinB﹣sinAcosB＝0，
∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB＝0，即tanB＝，
又B为三角形的内角，
则B＝；
（2）∵a+c＝1，即c＝1﹣a，cosB＝，
∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac•cosB，即b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝1﹣3a（1﹣a）＝3（a﹣）2+，
∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，
则≤b＜1．
17．已知，是平面内两个不共线的非零向量，＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐标；
（2）已知点D（3，5），在（1）的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．
解：（1）∵＝，
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得．
即，
得．
∵，是平面内两个不共线的非零向量，
∴，
解得，．
∴．
（2）∵A、B、C、D四点构成平行四边形，
∴．
设A（x，y），则，
又，
∴，
解得，
∴点A（10，7）．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cosB＝，b＝3．求：
（1）a和c的值；
（2）cos（B﹣C）的值．
解：（1）•＝2，cosB＝，b＝3，
可得cacosB＝2，即为ac＝6；
b2＝a2+c2﹣2accosB，
即为a2+c2＝13，
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2，
由a＞c，可得a＝3，c＝2；
（2）由余弦定理可得
cosC＝＝＝，
sinC＝＝，
sinB＝＝，
则cos（B﹣C）＝cosBcosC+sinBsinC＝×+×＝．
19．已知函数，g（x）＝﹣lnx．
（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
解：（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，
则任意x∈R，使得f（x）＝x2+ax+＞0，
所以△＝a2﹣4×1×＜0，解得﹣1＜a＜1，
所以实数a的取值范围为（﹣1，1）．
（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，
又因为g（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以f（x）在（1，+∞）上为增函数且任意x∈（1，+∞），f（x）＞0，
所以﹣≤1，且f（1）＞0，
即﹣≤1，且1+a+＞0，
解得a＞﹣，
所以a的取值范围为（﹣，+∞）．
（3）因为当x＞1时，g（x）＝﹣lnx＜0，
所以h（x）＝min{f（x），g（x）}≤g（x）＜0，
所以h（x）在（1，+∞）上无零点，
①当a≥0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣≤0，
作出h（x）的图象，可得h（x）只有一个零点x＝1，

②当a＜0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣＞0，
当△＝a2﹣4×1×＜0，即﹣1＜a＜0时，h（x）只有一个零点x＝1，

当△＝a2﹣4×1×＝0，即a＝﹣1时，f（x）的零点为x＝﹣＝，h（x）由两个零点x＝，x＝1，

当△＝a2﹣4×1×＞0，即a＜﹣1时，令f（x）＝0，解得x1＝，x2＝，且0＜x1＜1，0＜x2，
若x2＝＜1，即﹣＜a＜﹣1时，函数h（x）有3个零点x＝x1，x＝x2，x＝1，

若x2＝＞1，即a＜﹣时，函数h（x）有1个零点x＝x1，

若若x2＝＝1，即a＝﹣时，函数h（x）有2个零点x＝x1，x＝1，

综上所述，当a∈（﹣∞，﹣）∪（﹣1，0）时，h（x）只有一个零点，
当a＝﹣1或﹣时，h（x）有两个零点，
当a∈（﹣，﹣1）时，h（x）有三个零点．