2022步步高大一轮复习--物理 第九章 磁场 专题强化九 带电粒子在复合场中运动的实例分析学案

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2．学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力．针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心．
3．用到的知识有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．
2．原理(如图1所示)
图1
(1)加速电场：qU＝eq \f(1,2)mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝eq \f(mv2,r)，l＝2r；
由以上两式可得r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，
m＝eq \f(qr2B2,2U)，eq \f(q,m)＝eq \f(2U,B2r2).
例1 (2015·江苏卷·15改编)一台质谱仪的工作原理如图2所示，电荷量均为＋q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零．这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上．已知放置底片的区域MN＝L，且OM＝L.某次测量发现MN中左侧eq \f(2,3)区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧eq \f(1,3)区域QN仍能正常检测到离子．在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到．
图2
(1)求原本打在MN中点P的离子质量m；
(2)为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围．
答案 (1)eq \f(9qB2L2,32U0) (2)eq \f(100U0,81)≤U≤eq \f(16U0,9)
解析 (1)离子在电场中加速： qU0＝eq \f(1,2)mv2
在磁场中做匀速圆周运动：qvB＝meq \f(v2,r)
解得r＝eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU0,q))
打在MN中点P的离子半径为r0＝eq \f(3,4)L，代入解得
m＝eq \f(9qB2L2,32U0)
(2)由(1)知，U＝eq \f(16U0r2,9L2)
离子打在Q点时r＝eq \f(5,6)L，U＝eq \f(100U0,81)
离子打在N点时r＝L，U＝eq \f(16U0,9)，则电压的范围
eq \f(100U0,81)≤U≤eq \f(16U0,9).
变式1 (2020·山东济南市模拟)质谱仪可利用电场和磁场将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用．如图3所示，虚线上方有两条半径分别为R和r(R>r)的半圆形边界，分别与虚线相交于A、B、C、D点，圆心均为虚线上的O点，C、D间有一荧光屏．虚线上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.虚线下方有一电压可调的加速电场，离子源发出的某一正离子由静止开始经电场加速后，从AB的中点垂直进入磁场，离子打在边界上时会被吸收．当加速电压为U时，离子恰能打在荧光屏的中点．不计离子的重力及电、磁场的边缘效应．求：
图3
(1)离子的比荷；
(2)离子在磁场中运动的时间；
(3)离子能打在荧光屏上的加速电压范围．
答案 (1)eq \f(8U,B2R＋r2) (2)eq \f(πBR＋r2,8U) (3)eq \f(UR＋3r2,4R＋r2)≤U′≤eq \f(U3R＋r2,4R＋r2)
解析 (1)由题意知，加速电压为U时，离子在磁场区域做匀速圆周运动的半径r0＝eq \f(R＋r,2)
洛伦兹力提供向心力，qvB＝meq \f(v2,r0)
在电场中加速，有qU＝eq \f(1,2)mv2
解得：eq \f(q,m)＝eq \f(8U,B2R＋r2)
(2)离子在磁场中运动的周期为T＝eq \f(2πm,qB)
在磁场中运动的时间t＝eq \f(T,2)
解得：t＝eq \f(πBR＋r2,8U)
(3)由(1)中关系，知加速电压和离子轨迹半径之间的关系为U′＝eq \f(4U,R＋r2)r′2
若离子恰好打在荧光屏上的C点，轨道半径
rC＝eq \f(R＋3r,4)UC＝eq \f(UR＋3r2,4R＋r2)
若离子恰好打在荧光屏上的D点，轨道半径
rD＝eq \f(3R＋r,4)UD＝eq \f(U3R＋r2,4R＋r2)
即离子能打在荧光屏上的加速电压范围：
eq \f(UR＋3r2,4R＋r2)≤U′≤eq \f(U3R＋r2,4R＋r2).
1．构造：
如图4所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源．
图4
2．原理：
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次．
3．最大动能：
由qvmB＝eq \f(mvm2,R)、Ekm＝eq \f(1,2)mvm2得Ekm＝eq \f(q2B2R2,2m)，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关．
4．总时间：
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝eq \f(Ekm,qU)，粒子在磁场中运动的总时间t＝eq \f(n,2)T＝eq \f(Ekm,2qU)·eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πBR2,2U).
例2 (2016·江苏卷·15改编)回旋加速器的工作原理如图5甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m，电荷量为＋q，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压值的大小为U0.周期T＝eq \f(2πm,qB).一束该种粒子在t＝0～eq \f(T,2)时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零．现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用．求：

图5
(1)出射粒子的动能Em；
(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0.
答案 (1)eq \f(q2B2R2,2m) (2)eq \f(πBR2＋2BRd,2U0)－eq \f(πm,qB)
解析 (1)粒子运动半径为R时
qvB＝meq \f(v2,R)
且Em＝eq \f(1,2)mv2
解得Em＝eq \f(q2B2R2,2m)
(2)粒子被加速n次达到动能Em，则Em＝nqU0
粒子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为Δt，加速度a＝eq \f(qU0,md)
匀加速直线运动nd＝eq \f(1,2)a·Δt2
由t0＝(n－1)·eq \f(T,2)＋Δt，解得t0＝eq \f(πBR2＋2BRd,2U0)－eq \f(πm,qB).
变式2 (多选)(2019·山东烟台市第一学期期末)如图6所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是( )
图6
A．加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大
B．粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关
C.若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小
D．粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为eq \r(5)∶eq \r(6)
答案 BC
解析 粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvmB＝meq \f(vm2,R)，解得：vm＝eq \f(qBR,m)，则粒子获得的最大动能为：Ekm＝eq \f(1,2)mvm2＝eq \f(q2B2R2,2m)，知粒子获得的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径R和磁感应强度B有关，故A错误，B正确；对粒子，由动能定理得：nqU＝eq \f(q2B2R2,2m)，加速次数：n＝eq \f(qB2R2,2mU)，增大加速电压U，粒子在金属盒间的加速次数将减少，粒子在回旋加速器中运动
的时间：t＝eq \f(n,2)T＝eq \f(nπm,qB)将减小，故C正确；对粒子，由动能定理得：nqU＝eq \f(1,2)mvn2，解得vn＝eq \r(\f(2nqU,m))，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvnB＝meq \f(vn2,rn)，解得：rn＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2nmU,q))，则粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为：eq \f(r4,r5)＝eq \f(\r(4),\r(5))，故D错误．
共同特点：当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时，qvB＝qE.
1．速度选择器
图7
(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直．(如图7)
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝eq \f(E,B).
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量．
(4)速度选择器具有单向性．
例3 如图8所示是一速度选择器，当粒子速度满足v0＝eq \f(E,B)时，粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v射入该速度选择器后，运动轨迹为图中实线，则关于该粒子的说法正确的是( )
图8
A．粒子射入的速度一定是v>eq \f(E,B)
B．粒子射入的速度可能是vφb.
例5 (多选)(2019·江苏扬州市一模)暗访组在某化工厂的排污管末端安装了如图12所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，匀强磁场方向竖直向下，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经测量管时，a、c两端电压为U，显示仪器显示污水流量为Q(单位时间内排出的污水体积)．则( )
图12
A．a侧电势比c侧电势高
B．污水中离子浓度越高，显示仪器的示数将越大
C．若污水从右侧流入测量管，显示器显示为负值，将磁场反向则显示为正值
D．污水流量Q与U成正比，与L、D无关
答案 AC
解析 根据左手定则可知，正离子向a侧偏转，负离子向c侧偏转，则a侧电势比c侧电势高，选项A正确；根据qvB＝qeq \f(U,D)可得U＝BDv，可知显示仪器的示数与污水中离子浓度无关，选项B错误；若污水从右侧流入测量管，则受磁场力使得正离子偏向c侧，负离子偏向a侧，则c端电势高，显示器显示为负值，将磁场反向，则受磁场力使得正离子偏向a侧，负离子偏向c侧，则显示为正值，选项C正确；污水流量Q＝Sv＝eq \f(1,4)πD2·eq \f(U,BD)＝eq \f(πDU,4B)，则污水流量Q与U成正比，与D有关，与L无关，选项D错误．
4．霍尔效应的原理和分析
(1)定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压．
图13
(2)电势高低的判断：如图13，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低．
(3)霍尔电压的计算：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝qeq \f(U,h)，I＝nqvS，S＝hd，联立得U＝eq \f(BI,nqd)＝keq \f(BI,d)，k＝eq \f(1,nq)称为霍尔系数．
例6 (多选)(2019·江苏省四星级高中一调)常见的半导体材料分为P型半导体和N型半导体，P型半导体中导电载流子是空穴(看作带正电)，N型半导体中导电载流子是电子，利用如图14所示的方法可以判断半导体材料的类型并测得半导体中单位体积内的载流子数．现测得一块横截面为矩形的半导体的宽为b，厚为d，并加有与侧面垂直的匀强磁场B，当通以图示方向电流I时，在半导体上、下表面间用电压表可测得电压为U，载流子的电荷量为e，则下列判断正确的是( )
图14
A．若上表面电势高，则为P型半导体
B．若下表面电势高，则为P型半导体
C．该半导体单位体积内的载流子数为eq \f(1,edb)
D．该半导体单位体积内的载流子数为eq \f(BI,eUb)
答案 AD
解析 若为P型半导体，则载流子带正电，由左手定则知载流子向上偏，上表面电势高；若为N型半导体，则载流子带负电，由左手定则知载流子向上偏，上表面电势低，故A正确，B错误；当载流子受到的电场力和洛伦兹力平衡时，即qvB＝qeq \f(U,d)，即v＝eq \f(U,Bd)，由电流微观表达式I＝nevS，即I＝ne·eq \f(U,Bd)·bd，解得：n＝eq \f(IB,eUb)，故C错误，D正确．
1．(质谱仪)(2019·江苏南京市六校联考)如图15所示为质谱仪测定带电粒子质量的装置示意图．速度选择器(也称滤速器)中场强E的方向竖直向下，磁感应强度B1的方向垂直纸面向里，分离器中磁感应强度B2的方向垂直纸面向外．在S处有甲、乙、丙、丁四个一价正离子垂直于E和B1入射到速度选择器中，若m甲＝m乙