2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：10.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 Word版含解析【KS5U 高考】

专题十　计数原理

【真题典例】

10.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合

挖命题

【考情探究】

分析解读　　1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最基本也是最重要的原理.2.理解排列、组合及排列数与组合数公式,排列与组合的综合是高频考点.本节在高考中单独考查时,以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属中档题;本节内容还经常与概率、分布列问题相结合,出现在解答题的第(1)问中,难度中等或中等偏上.

破考点

【考点集训】

考点　计数原理、排列与组合

1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(　　)

A.12种　　　　B.18种　　　　C.24种　　　　D.36种

答案　D　

2.将7个座位连成一排,安排4个人就座,恰有两个空座位相邻的不同坐法有(　　)

A.240种　　　　B.480种　　　　C.720种　　　　D.960种

答案　B　

3.无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,现需要在报名的2名男教师和6名女教师中选择5人参加无偿献血,要求男、女教师都有,则不同的选择方法的种数为　　　　.(结果用数字表示) 

答案　50

4.在一次数学会议中,有五位老师来自A,B,C三所学校,其中A学校有2位,B学校有2位,C学校有1位.现在五位老师站成一排照相,若要求来自同一学校的老师不相邻,则共有　　　　种不同的站队方法. 

答案　48

炼技法

【方法集训】

方法1　排列问题的常见解法

1.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(　　)

A.144　　　　B.120　　　　C.72　　　　D.24

答案　D　

2.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(　　)

A.72　　　　B.120　　　　C.144　　　　D.168

答案　B　

3.在一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有(　　)

A.34种　　　　B.48种　　　　C.96种　　　　D.144种

答案　C　

方法2　组合问题的常见解法

4.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有　(　　)

A.60种　　　　B.70种　　　　C.75种　　　　D.150种

答案　C　

5.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有(　　)

A.24对　　　　B.30对　　　　C.48对　　　　D.60对

答案　C　

6.大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,其中2人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有　　　　种.(用数字作答) 

答案　36

方法3　分组与分配问题的解题技巧

7.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;

(3)平均分成三份,每份2本;

(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;

(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.

解析　(1)无序不均匀分组问题.

先选1本,有种选法;再从余下的5本中选2本,有种选法;最后余下3本全选,有种选法.故共有分配方式=60种.

(2)有序不均匀分组问题.

由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还应考虑再分配,共有分配方式=360种.

(3)无序均匀分组问题.

先分三步选,每步选2本,则有种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有种情况,而这种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有=15种.

(4)有序均匀分组问题.

在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·==90种.

(5)无序部分均匀分组问题.

共有分配方式=15种.

(6)有序部分均匀分组问题.

在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·=90种.

(7)直接分配问题.

甲选1本,有种方法;乙从余下的5本中选1本,有种方法;余下4本留给丙,有种方法.共有分配方式=30种.

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·天津卷题组

　(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有　　　　个.(用数字作答) 

答案　1 080

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

1.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(　　)

A.24　　　　B.48　　　　C.60　　　　D.72

答案　D　

2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A.24　　　　B.18　　　　C.12　　　　D.9

答案　B　

3.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有(　　)

A.18个　　　　B.16个　　　　C.14个　　　　D.12个

答案　C　

4.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(　　)

A.144个　　　　B.120个　　　　C.96个　　　　D.72个

答案　B　

5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有　　　　种.(用数字填写答案) 

答案　16

6.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有　　　　种不同的选法.(用数字作答) 

答案　660

C组　教师专用题组

1.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5　　　　C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

答案　A　

2.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是(　　)

A.9　　　　B.10　　　　C.18　　　　D.20

答案　C　

3.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A.243　　　　B.252　　　　C.261　　　　D.279

答案　B　

4.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为(　　)

A.14　　　　B.13　　　　C.12　　　　D.10

答案　B　

5.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了　　　　条毕业留言.(用数字作答) 

答案　1 560

6.(2013浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B在C的同侧,则不同的排法共有　　　　种.(用数字作答) 

答案　480

7.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　　　　.(用数字作答) 

答案　590

8.(2018江苏,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…in,如果当s<t时,有is>it,则称(is,it)是排列i1i2…in的一个逆序,排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.

(1)求f3(2),f4(2)的值;

(2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示).

解析　本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.

(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2.

对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.

(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.

为计算fn+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.

当n≥5时, fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=.

因此,当n≥5时, fn(2)=.

疑难突破　要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、 f3(1)的排列中的倒数第2个位置、 f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)与fn(2),fn(1), fn(0)的关系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到fn(2)(n≥5)的表达式.

【三年模拟】

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.(2017天津耀华中学一模,6)将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子里,每个盒内放一个球,恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为(　　)

A.120　　　　B.240　　　　C.360　　　　D.720

答案　B　

2.(2018天津一中5月月考,8)将数“124 470”重新排列后得到不同的偶数的个数为(　　)

A.180　　　　B.192　　　　C.204　　　　D.264

答案　C　

3.(2018天津芦台一中三模,6)学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:如果男生甲入选,则女生乙必须入选,那么不同的组队形式有(　　)

A.360种　　　　B.570种　　　　C.720种　　　　D.930种

答案　D　

4.(2018天津南开一模,7)如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同的颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有(　　)

A.6种　　　　B.9种　　　　C.12种　　　　D.36种

答案　C　

二、填空题(每小题5分,共50分)

5.(2018天津河东一模,14)从0,2,4,6,8中任取2个数字,从1,3,5,7中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有　　　　个.(用数字作答) 

答案　300

6.(2018天津河北一模,13)六张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,5,从中任取四张排成一排,则可以组成不同的四位奇数的个数是　　　　.(用数字作答) 

答案　144

7.(2018天津红桥一模,12)某班的小型联欢会共有5个节目,其中甲同学的节目不能安排在第三个,乙同学不能第一个上场,则这5个节目的出场顺序有　　　　种(用数字作答). 

答案　78

8.(2018天津河东三模,12)一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛,3名女生和2名男生,如果男生不排第一个演讲,同时两名男生不能相邻演讲,则排序方式有　　　　种.(用数字作答) 

答案　36

9.(2018天津部分区县二模,12)天津大学某学院欲安排4名毕业生到某外资企业的三个部门A、B、C实习,要求每个部门至少安排1人,其中甲大学生不被安排到A部门工作的方法有　　　　种(用数字作答). 

答案　24

10.(2018天津九校联考,14)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且4不在百位,则这样的六位数共有　　　　个. 

答案　120

11.(2018天津耀华中学二模,14)6名教师分配到3所师资薄弱学校去支教,每个学校至少分配一名教师,甲、乙两人不能去同一所学校,丙、丁两人必须去同一所学校,共有　　　　种分配方法(用数字作答). 

答案　114

12.(2018天津滨海新区七校联考,14)3个男生和3个女生排成一列,若男生甲与另外两个男同学都不相邻,则不同的排法共有　　　　种(用数字作答). 

答案　288

13.(2018天津和平二模,14)从0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,则组成的四位数中奇数的个数为　　　　(用数字作答). 

答案　360

14.(2018天津河西一模,14)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字,且至多有两个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有　　　　个.(用数字作答) 

答案　246