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2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 【KS5U 高考】
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这是一份2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 【KS5U 高考】，共13页。PPT课件主要包含了考向突破，方法技巧等内容，欢迎下载使用。
2.排列与排列数(1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个
数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作 .注意 易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件 事,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数.3.组合与组合数(1)组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数,叫做 .从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作 .注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序 有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
考向 计数原理、排列与组合的综合应用
例 (2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数 字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
答案 1 260易错警示 数字排成数时,容易出错的地方:(1)数字是否可以重复;(2)数字0不能排首位.
方法1 排列问题的常见解法(1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算.(2)优先法:优先安排特殊元素或特殊位置.(3)捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆 绑元素的内部排列.(4)插空法:对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的 元素插在前面元素排列的空档中.(5)先整体后局部:“小集团”排列问题中,先整体后局部.(6)定序问题除法处理:对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除
以定序元素的全排列.(7)间接法:正难则反,等价转化的方法.
例1 有4名男生、5名女生,全体排成一行,下列情形中各有多少种不同 的排法?(1)甲不在中间也不在两端;(2)甲、乙两人必须排在两端;(3)男女相间.
解析 (1)解法一(元素分析法):先排甲有6种排法,再排其余人有 种排法,故共有6· =241 920种排法.解法二(位置分析法):中间和两端有 种排法,包括甲在内的其余6人有 种排法,故共有 · =336×720=241 920种排法.解法三(等机会法):9个人全排列有 种排法,因为甲排在每一个位置的机会都是均等的,则甲不在中间及两端的排法总数是 × =241 920.解法四:间接法. -3· =6 =241 920(种).(2)先排甲、乙,再排其余7人.共有 · =10 080种排法.(3)插空法.先排4名男生,有 种排法,再将5名女生插空,有 种排法,故共有 · =2 880种排法.
方法2 组合问题的常见解法组合问题的常见类型及处理方法:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元 素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下 的元素中选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须重视 “至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法 和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接 法处理.
例2 现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出 比赛.下列情形中各有多少种选法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.
解析 (1)第一步:选3名男运动员,有 种选法.第二步:选2名女运动员,有 种选法.故共有 · =120种选法.(2)解法一(直接法):至少有1名女运动员包括:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男四种情况.由分类加法计数原理可得“至少有1名女运动员”的选法有 + + + =246种.解法二(间接法):“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”, 从10人中任选5人有 种选法,其中“全是男运动员”的选法有 种.所以“至少有1名女运动员”的选法有 - =246种.(3)解法一(分类求解):
“只有男队长”的选法有 种,“只有女队长”的选法有 种,“男、女队长都入选”的选法有 种,所以“队长中至少有1人参加”的选法共有2 + =196种.解法二(间接法):从10人中任选5人有 种选法,其中不选队长的选法有 种,所以“队长中至少有1人参加”的选法有 - =196种.(4)当已经选取女队长时,其他人任意选,共有 种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 种选法,其中不含女运动员的选法有 种,所以不选女队长时的选法共有( - )种.所以“既要有队长,又要有女运动员”的选法共有 + - =191种.
方法3 分组与分配问题的解题技巧分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:(i)完全均匀分组,每组元素的个数都相等;(ii)部分均匀分组,应注意不要重复;(iii)完全非均匀分组,这种分组方法不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种:(i)相同元素的分配问题常用“挡板法”;(ii)不同元素的分配问题利用分步乘法计数原理,先分组,后分配;(iii)有限制条件的分配问题采用分类法求解.
2.排列与排列数(1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个
数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作 .注意 易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件 事,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数.3.组合与组合数(1)组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数,叫做 .从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作 .注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序 有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
考向 计数原理、排列与组合的综合应用
例 (2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数 字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
答案 1 260易错警示 数字排成数时,容易出错的地方:(1)数字是否可以重复;(2)数字0不能排首位.
方法1 排列问题的常见解法(1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算.(2)优先法:优先安排特殊元素或特殊位置.(3)捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆 绑元素的内部排列.(4)插空法:对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的 元素插在前面元素排列的空档中.(5)先整体后局部:“小集团”排列问题中,先整体后局部.(6)定序问题除法处理:对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除
以定序元素的全排列.(7)间接法:正难则反,等价转化的方法.
例1 有4名男生、5名女生,全体排成一行,下列情形中各有多少种不同 的排法?(1)甲不在中间也不在两端;(2)甲、乙两人必须排在两端;(3)男女相间.
解析 (1)解法一(元素分析法):先排甲有6种排法,再排其余人有 种排法,故共有6· =241 920种排法.解法二(位置分析法):中间和两端有 种排法,包括甲在内的其余6人有 种排法,故共有 · =336×720=241 920种排法.解法三(等机会法):9个人全排列有 种排法,因为甲排在每一个位置的机会都是均等的,则甲不在中间及两端的排法总数是 × =241 920.解法四:间接法. -3· =6 =241 920(种).(2)先排甲、乙,再排其余7人.共有 · =10 080种排法.(3)插空法.先排4名男生,有 种排法,再将5名女生插空,有 种排法,故共有 · =2 880种排法.
方法2 组合问题的常见解法组合问题的常见类型及处理方法:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元 素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下 的元素中选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须重视 “至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法 和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接 法处理.
例2 现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出 比赛.下列情形中各有多少种选法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.
解析 (1)第一步:选3名男运动员,有 种选法.第二步:选2名女运动员,有 种选法.故共有 · =120种选法.(2)解法一(直接法):至少有1名女运动员包括:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男四种情况.由分类加法计数原理可得“至少有1名女运动员”的选法有 + + + =246种.解法二(间接法):“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”, 从10人中任选5人有 种选法,其中“全是男运动员”的选法有 种.所以“至少有1名女运动员”的选法有 - =246种.(3)解法一(分类求解):
“只有男队长”的选法有 种,“只有女队长”的选法有 种,“男、女队长都入选”的选法有 种,所以“队长中至少有1人参加”的选法共有2 + =196种.解法二(间接法):从10人中任选5人有 种选法,其中不选队长的选法有 种,所以“队长中至少有1人参加”的选法有 - =196种.(4)当已经选取女队长时,其他人任意选,共有 种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 种选法,其中不含女运动员的选法有 种,所以不选女队长时的选法共有( - )种.所以“既要有队长,又要有女运动员”的选法共有 + - =191种.
方法3 分组与分配问题的解题技巧分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:(i)完全均匀分组,每组元素的个数都相等;(ii)部分均匀分组,应注意不要重复;(iii)完全非均匀分组,这种分组方法不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种:(i)相同元素的分配问题常用“挡板法”;(ii)不同元素的分配问题利用分步乘法计数原理,先分组,后分配;(iii)有限制条件的分配问题采用分类法求解.
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