数学八年级上册1 互逆命题与互逆定理随堂练习题

13.5.1  互逆命题与互逆定理

知识点：互逆命题与互逆定理.

重  点：能写出一个命题的逆命题.

难  点：理解互逆命题与互逆定理.

基础巩固

1.下列说法中，正确的是(    )

A.每一个命题都有逆命题           B.假命题的逆命题一定是假命题

C.每一个定理都有逆定理           D.假命题没有逆命题

2.下列命题的逆命题为真命题的是(    )

A.如果a=b，那么a2=b2             B.平行四边形是中心对称图形

C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形    D.内错角相等

3.下列定理中，有逆定理的是(    )

A.四边形的内角和等于360°           B.同角的余角相等

C.全等三角形对应角相等              D.在一个三角形中，等边对等角

4.下列命题的逆命题一定成立的是（   ）

①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a=b，则|a|=|b|；④若x=3，则x2﹣3x=0．

A．①②③         B．①④        C．②④      D．②

5．下列各命题的逆命题中，假命题是(　　)

①三个角对应相等的两个三角形是全等三角形；

②全等三角形对应边上的高相等；

③全等三角形的周长相等；

④两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形．

A．①②     B．①③        C．②③        D．①④

6．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是     命题．(填“真”或“假”)

7．命题“一个三角形如果有两个锐角互余，那么它是直角三角形”的逆命题是                                                                  ．

8.命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　                          　．

9.写出下面命题的逆命题，并判断其真假.

10.说出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题：

(1)平行四边形的对角线互相平分；

(2)全等三角形的对应角相等．

    (3)正方形的四个角都相等.

11.写出下列定理的逆命题，并判断其真假：

(1)两直线平行，同位角相等；

(2)等腰三角形的两底角相等；

(3)对顶角相等．

12.已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．

(1)写出逆命题．

(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．

强化提高

13．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是什么？是真命题还是假命题？若是真命题请你证明，若是假命题请你举反例说明．

14．试根据下面的定理，写出它的两个不同的逆命题，并证明它们都是真命题．

定理：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，那么AD平分BC，且AD⊥BC.

    14题图

13.5.1  互逆命题与互逆定理答案

1.  A.    2. C.   3. D.  4. D.   5. C.

6．假

7．直角三角形的两个锐角互余.

8. 菱形的四条边相等．

9.解：(1)真，如果x-2=0，则x=2；真.

(2)真，三边对应相等的两个三角形全等；真.

(3)真，在一个三角形中，等角对等边；真.

(4)假，等边三角形是等腰三角形；真.

(5)假，如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角；假. 

10.解： (1)条件：一个四边形是平行四边形．

结论：这个四边形的对角线互相平分．

逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

(2)条件：两个三角形是全等三角形．

结论：它们的对应角相等．

逆命题：三个角分别对应相等的三角形全等．

(3)条件：正方形的四个角，

结论： 相等（或正方形的四个角相等）．

逆命题：四个角相等的四边形是正方形．

11. 解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题．

(2)有两角相等的三角形是等腰三角形．真命题．

(3)相等的角是对顶角．假命题．

12. 解： (1)逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．

(2)真命题．

已知：如图，△ABC的两边AC、AB上的高BD、CE相等．

求证：△ABC是等腰三角形．

证明：∵BD、CE是△ABC两边上的高，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°.

∵∠A＝∠A，BD＝CE，

∴Rt△ADB≌Rt△AEC，

∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．

    12题图

13．解：逆命题：有一边的中线等于该边一半的三角形是直角三角形．逆命题是真命题．

已知：如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，AD＝BC.

13题图

求证：△ABC是直角三角形．

证明：∵AD是BC边的中线，

∴BD＝CD＝BC.

∵AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，

∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C，

即∠BAC＝∠B＋∠C.

∵2∠BAC＝∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，

∴∠BAC＝90°，

∴△ABC是直角三角形．

14．解：逆命题(1)：在△ABC中，AB＝AC，

AD⊥BC于点D，AD平分BC，那么AD平分∠BAC.

证明：∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(H.L.)，

∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.

逆命题(2)：在△ABC中，AD平分BC，且AD⊥BC，那么AB＝AC，AD平分∠BAC.

证明：∵AD平分BC，∴BD＝CD.

∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

又∵AD为公共边，

∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)，

∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，

即AB＝AC，AD平分∠BAC.