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福建省莆田市2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份福建省莆田市2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省莆田市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列给出的数中，是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C．0.3 D．
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
3．如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为5cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是（ ）
A．15 cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
4．若a＞b，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣3a＞﹣3b C．＞ D．﹣a＜﹣b
5．下列调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．调查某品牌电视机的使用寿命
B．对某一批次所有灯管寿命情况的调查
C．检测“天问一号”探测器的零部件质量
D．调查木兰溪中现有鱼的种类
6．如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列命题中假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
9．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
A．＝1.61
B．＜16.2
C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3
D．＝166
10．已知a＞﹣3，关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．化简：＝ ．
12．图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
13．已知是方程5x﹣ky＝7的一个解，则k＝ ．
14．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是a＝ （请写出一个符合条件的a的值）．
15．如图，给出下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件有 （填写所有正确的序号）．
16．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 ．
①
6
9
0
只有一个号码正确且位置正确
②
2
5
6
只有两个号码正确且位置不正确
③
8
6
9
三个号码都不正确
三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤。
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．（8分）解不等式组：．
19．（8分）补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．
如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
又∠COA＝∠BOD（ ），
∴∠C＝ （ ）．
∴AC∥BD（ ）．
20．（8分）如图，在正方形网格中，A，B两点的坐标分别为（1，2），（2，1）．
（1）写出图中点C的坐标；
（2）将点A向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点为D，直接写出D的坐标并求△BCD的面积．
21．（8分）前苏联教育家苏霍姆林斯基曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读，阅读，再阅读．”为培养学生的阅读能力，养成终身学习的习惯，莆田市教育局大力推进书香校园智慧阅读工作．某学校积极响应，组织学生利用课余时间多读书，读好书．一段时间后，学校对部分学生每周阅读时间进行调查并绘制了不完整的图表．
周阅读时间统计表
时间（小时）
频数
百分比
0≤x＜3
10
10%
3≤x＜6
25
m%
6≤x＜9
n
30%
9≤x＜12
20
20%
12≤x＜15
15
15%
周阅读时间频数分布直方图
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）直接写出m，n的值；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校共有3600名学生，估计学生每周阅读时间x（小时）在6≤x＜12范围内的人数有多少？
22．（10分）为丰富学生的校园生活，某中学准备从体育用品商店，一次性购买若干个篮球和足球，其中每个篮球和足球的单价分别相同．若购买3个篮球和2个足球共440元，购买2个篮球和3个足球共410元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过8000元，则该校最多可以购买多少个篮球？
23．（10分）数学课堂上，老师在讲到数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形（如图1），它恰好能被分割成10个大小不同的正方形．小明同学受到启发尝试对平行四边形进行分割．如图2，平行四边形EFGH被分割成13个等边三角形．已知中间最小的两个等边三角形△ABC和△ACD的边长均为x，△BMN的边长为y．
（1）若x＝2，y＝3时，直接写出OH，EH的值；
（2）求x：y的值．
24．（12分）科学实验发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，利用这个发现人们发明了许多有用的工具，例如潜望镜（如图1）等．
（1）图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜AB，CD是平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线m与离开潜望镜的光线n平行；
（2）如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置会随之改变，在生活中就会有不同的应用．如图3，当光线m射到平面镜AB上时，会反射到平面镜CD上，又被平面镜CD反射，反射出的光线为n．若m∥n，求两面平面镜的夹角∠ABC的度数．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和Q（c，d），给出如下的定义：点P（a，b），Q（c，d）的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为d（P，Q）．
即：若|a﹣c|≤|b﹣d|，则d（P，Q）＝|a﹣c|；
若|a﹣c|＞|b﹣d|，则d（P，Q）＝|b﹣d|．
（1）请你直接写出A（﹣3，0），B（﹣1，4）的“近距”d（A，B）＝ ；
（2）在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．
①若在坐标轴上存在点E，使d（D，E）＝，请求出点E的坐标；
②将线段CD向上平移m个单位，C，D分别对应点M，N．若d（D，M）＜2，求m的取值范围．
2020-2021学年福建省莆田市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列给出的数中，是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C．0.3 D．
【分析】根据无理数的意义判断即可．
【解答】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、0.3是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、（﹣2，1）在第二象限，故本选项不符合题意；
B、（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项符合题意；
C、（1，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
D、（1，﹣2）在第四象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为5cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是（ ）
A．15 cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此可得结论．
【解答】解：直线l外一点P到l的距离PB的长为5cm，点A是直线l上的一点，
那么线段PA的长最短等于5cm，故不可能是4cm，
故选：D．
4．若a＞b，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣3a＞﹣3b C．＞ D．﹣a＜﹣b
【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等来判断．
【解答】解：A、a﹣3＞b﹣3成立，故正确；
B、同理，﹣3a＞﹣3b，错误；
C、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变＞成立，故正确；
D、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，﹣a＜﹣b，故正确．
故选：B．
5．下列调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．调查某品牌电视机的使用寿命
B．对某一批次所有灯管寿命情况的调查
C．检测“天问一号”探测器的零部件质量
D．调查木兰溪中现有鱼的种类
【分析】由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．调查某品牌电视机的使用寿命，全面调查具有破坏性，适合抽调查，故选项A不符合题意；
B．对某一批次所有灯管寿命情况的调查，全面调查具有破坏性，适合抽调查，故选项B不符合题意；
C．检测“天问一号”探测器的零部件质量，意义重大，适合普查，故C选项符合题意；
D．调查木兰溪中现有鱼的种类，适合抽样调查，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图示，可得不等式组的解集，可得答案．
【解答】解：由图示得A＞1，A＜2，
故选：A．
7．下列命题中假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直
【分析】利用平行线的性质、平行公理及两直线的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行是平行线的判定定理，正确，是真命题；
B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，是真命题；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
D、在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行，错误，是假命题，
故选：D．
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
9．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
A．＝1.61
B．＜16.2
C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3
D．＝166
【分析】根据表格中数据及算术平方根的概念分析判断．
【解答】解：由表格可得：，
∴＝1.61，
故选项A不符合题意；
由表格可得：＝16.2，
∴＞16.2，
故选项B不符合题意；
由表格可得＝16.2，＝16.3，
∴只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3，分别是263；264；265，
故选项C符合题意；
由题意可得：，
∴＝166，
故选项D不符合题意，
故选：C．
10．已知a＞﹣3，关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】求出于x的不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组无解以及a＞﹣3解答即可．
【解答】解：解不等式x+1＜a，得x＜a﹣1，
解不等式2x﹣1≥x+2，得x≥3，
∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣1≤3，
又∵a＞﹣3，且a为整数，
∴a的值可取﹣2、﹣1、0、1、2、3，4，共7个．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．化简：＝ 2 ．
【分析】根据立方根的概念进行求解，即一个数的立方等于a，则这个数叫a的立方根．
【解答】解：根据立方根的概念，得
＝2．
故原式＝2．
12．图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
【分析】由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等．
13．已知是方程5x﹣ky＝7的一个解，则k＝ 1 ．
【分析】将x＝2，y＝3代入已知方程中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
【解答】解：将x＝2，y＝3代入方程5x﹣ky＝7
得：10﹣3k＝7，
解得：k＝1．
故答案为：1
14．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是a＝ ﹣1（答案不唯一） （请写出一个符合条件的a的值）．
【分析】反例就是满足条件，但是不满足结论．根据负数的绝对值等于它的相反数，a取任何一个负数都可以．
【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴任何一个负数都可以，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
15．如图，给出下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件有 ①③④ （填写所有正确的序号）．
【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB∥CD；根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB∥CD；根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB∥CD．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
⑤由∠B＝∠D，不能判定AB∥CD；
故答案为：①③④．
16．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 520 ．
①
6
9
0
只有一个号码正确且位置正确
②
2
5
6
只有两个号码正确且位置不正确
③
8
6
9
三个号码都不正确
【分析】首先根据密码里不含有的数字排除掉8，6，9，然后根据确定含有的0确定其位置，从而确定正确的答案．
【解答】解：根据③知密码里不含有8，6，9，
∴①中只有0正确，且位置正确，
∵②中有两个号码正确且位置不正确，
∴2和5数字正确，且位置不正确，
所以该密码里含有2，5，0三个数字，位置确定为520，
故答案为：520．
三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤。
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先分别化简绝对值，有理数的乘方，算术平方根，然后再计算；
（2）用加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣1+4
＝5﹣；
（2），
①+②，得：4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得：3+2y＝1，
解得：y＝﹣1，
∴方程组的解为．
18．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞0，
解不等式②，得x≥12，
所以不等式组的解集是x≥12．
19．（8分）补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．
如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
又∠COA＝∠BOD（ 对顶角相等 ），
∴∠C＝ ∠D （ 等量代换 ）．
∴AC∥BD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】由已知与对顶角相等，等量代换得到内错角相等，进而确定出AC与BD平行．
【解答】证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
又∠COA＝∠BOD（对顶角相等），
∴∠C＝∠D（等量代换），
∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；∠D；等量代换；内错角相等，两直线平行．
20．（8分）如图，在正方形网格中，A，B两点的坐标分别为（1，2），（2，1）．
（1）写出图中点C的坐标；
（2）将点A向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点为D，直接写出D的坐标并求△BCD的面积．
【分析】（1）依据A，B两点的坐标分别为（1，2），（2，1），即可得到坐标原点的位置，进而得出点C的坐标；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到点D的坐标，再根据割补法进行计算即可得出△BCD的面积．
【解答】解：（1）如图所示，点C的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）如图所示，点D的坐标为（0，3）；
△BCD的面积＝3×4﹣×1×4﹣×2×3﹣×2×2＝5．
21．（8分）前苏联教育家苏霍姆林斯基曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读，阅读，再阅读．”为培养学生的阅读能力，养成终身学习的习惯，莆田市教育局大力推进书香校园智慧阅读工作．某学校积极响应，组织学生利用课余时间多读书，读好书．一段时间后，学校对部分学生每周阅读时间进行调查并绘制了不完整的图表．
周阅读时间统计表
时间（小时）
频数
百分比
0≤x＜3
10
10%
3≤x＜6
25
m%
6≤x＜9
n
30%
9≤x＜12
20
20%
12≤x＜15
15
15%
周阅读时间频数分布直方图
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）直接写出m，n的值；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校共有3600名学生，估计学生每周阅读时间x（小时）在6≤x＜12范围内的人数有多少？
【分析】（1）根据百分比之和等于1求出m的值，由0≤x＜3的频数及频率求出总人数，总人数乘以对应的百分比求出n的值；
（2）根据周阅读时间统计表及n的值，从而补全直方图；
（3）总人数乘以对应的百分比可得答案．
【解答】解：（1）m%＝1﹣（10%+30%+20%+15%）＝25%，
∴m＝25，
∵被调查总人数为10÷10%＝100，
∴n＝100×30%＝30，
∴m＝25，n＝30；
（2）补全直方图如下：
（3）估计学生每周阅读时间x（时）在6≤x＜12范围内的人数有3600×（30%+20%）＝1800（人）．
22．（10分）为丰富学生的校园生活，某中学准备从体育用品商店，一次性购买若干个篮球和足球，其中每个篮球和足球的单价分别相同．若购买3个篮球和2个足球共440元，购买2个篮球和3个足球共410元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过8000元，则该校最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和2个足球共440元，购买2个篮球和3个足球共410元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校可以购买m个篮球，则可以购买（100﹣m）个足球，根据总价＝单价×数量，结合购买篮球和足球的总费用不超过8000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为非负整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
根据题意，可得，
解得：，
∴篮球的单价是100元，足球的单价是70元；
（2）设该校可以购买m个篮球，则可以购买（100﹣m）个足球，
依题意得：100m+70（100﹣m）≤8000，
解得：m≤，
又∵m为非负整数，
∴m的最大值为33．
答：该校最多可以购买33个篮球．
23．（10分）数学课堂上，老师在讲到数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形（如图1），它恰好能被分割成10个大小不同的正方形．小明同学受到启发尝试对平行四边形进行分割．如图2，平行四边形EFGH被分割成13个等边三角形．已知中间最小的两个等边三角形△ABC和△ACD的边长均为x，△BMN的边长为y．
（1）若x＝2，y＝3时，直接写出OH，EH的值；
（2）求x：y的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质用含x、y的值表示出OH和EH的长，再代入即可；
（2）先用含x的式子表示出EH和FG的长，再根据对边相等列出方程，整理可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABC边长为x，△BMN边长为y，
∴AM＝x+y，AK＝AM＝x+y，DK＝x+y+x＝2x+y，
∵DK＝DO＝OH，
∴OH＝2x+y，OK＝2x+y，
∵PK＝KM＝AK＝x+y，
∴EO＝OK+KP＝2x+y+x+y＝3x+2y，
∴EH＝EO+OH＝3x+2y+2x+y＝5x+3y．
当x＝2，y＝3时，OH＝7，EH＝19；
（2）由（1）得：EH＝5x+3y，
∵FR＝PN＝PM+MN＝x+y+y＝x+2y，
RG＝RB＝RN+BN＝x+2y+y＝x+3y，
∴FG＝x+2y+x+3y＝2x+5y，
∵EH＝FG，
∴5x+3y＝2x+5y，
整理得：3x＝2y，即x：y＝2：3．
24．（12分）科学实验发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，利用这个发现人们发明了许多有用的工具，例如潜望镜（如图1）等．
（1）图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜AB，CD是平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线m与离开潜望镜的光线n平行；
（2）如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置会随之改变，在生活中就会有不同的应用．如图3，当光线m射到平面镜AB上时，会反射到平面镜CD上，又被平面镜CD反射，反射出的光线为n．若m∥n，求两面平面镜的夹角∠ABC的度数．
【分析】（1）求出∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可；
（2）由平行线的性质求出∠EAC+∠FCA＝180°，再根据平角的定义求出∠2+∠3＝90°，求出∠EAC+∠FCA＝180°，然后根据根据三角形内角和等于180即可求出∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：如图2，∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3 （两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量减等量，差相等），
即：∠5＝∠6（等量代换），
∴m∥n （内错角相等，两直线平行）；
（2）∠ABC＝90°，
理由是：如图3，
∵m∥n，
∴∠EAC+∠FCA＝180°，
∴∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠4+∠FCA＝180°+180°360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴2（∠2+∠3）＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠ABC+∠2+∠3＝180°，
∴∠ABC＝10＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和Q（c，d），给出如下的定义：点P（a，b），Q（c，d）的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为d（P，Q）．
即：若|a﹣c|≤|b﹣d|，则d（P，Q）＝|a﹣c|；
若|a﹣c|＞|b﹣d|，则d（P，Q）＝|b﹣d|．
（1）请你直接写出A（﹣3，0），B（﹣1，4）的“近距”d（A，B）＝ 2 ；
（2）在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．
①若在坐标轴上存在点E，使d（D，E）＝，请求出点E的坐标；
②将线段CD向上平移m个单位，C，D分别对应点M，N．若d（D，M）＜2，求m的取值范围．
【分析】（1）P，Q两点的“近距”的定义求解即可．
（2）①分两种情形：当点E在x轴上时，设E（m，0），|4﹣0|＞，可得|m﹣5|＝，当点E在y轴上时，设E（0，n），则|5﹣0|＞，可得|n﹣4|＝，求出m，n，即可解决问题．
（3）根据题意，构建不等式，可得结论．
【解答】解：（1）∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，|0﹣4|＝4，
又∵2＜4，
∴d（A，B）＝2，
故答案为：2．
（2）①如图1中，
∵点D（5，4），d（E，D）＝，
当点E在x轴上时，设E（m，0），|4﹣0|＞，
∴|m﹣5|＝，
∴m＝5+或m＝5﹣，
当点E在y轴上时，设E（0，n），则|5﹣0|＞，
∴|n﹣4|＝，
∴n＝4+或4﹣，
点E的坐标为（5+，0）或（5﹣，0）或（0，4+）或（0，4﹣）．
②如图2中，由题意，|m﹣4|＜2，解得2＜m＜6．
2020-2021学年福建省莆田市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列给出的数中，是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C．0.3 D．
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
3．如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为5cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是（ ）
A．15 cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
4．若a＞b，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣3a＞﹣3b C．＞ D．﹣a＜﹣b
5．下列调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．调查某品牌电视机的使用寿命
B．对某一批次所有灯管寿命情况的调查
C．检测“天问一号”探测器的零部件质量
D．调查木兰溪中现有鱼的种类
6．如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列命题中假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
9．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
A．＝1.61
B．＜16.2
C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3
D．＝166
10．已知a＞﹣3，关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．化简：＝ ．
12．图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
13．已知是方程5x﹣ky＝7的一个解，则k＝ ．
14．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是a＝ （请写出一个符合条件的a的值）．
15．如图，给出下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件有 （填写所有正确的序号）．
16．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 ．
①
6
9
0
只有一个号码正确且位置正确
②
2
5
6
只有两个号码正确且位置不正确
③
8
6
9
三个号码都不正确
三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤。
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．（8分）解不等式组：．
19．（8分）补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．
如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
又∠COA＝∠BOD（ ），
∴∠C＝ （ ）．
∴AC∥BD（ ）．
20．（8分）如图，在正方形网格中，A，B两点的坐标分别为（1，2），（2，1）．
（1）写出图中点C的坐标；
（2）将点A向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点为D，直接写出D的坐标并求△BCD的面积．
21．（8分）前苏联教育家苏霍姆林斯基曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读，阅读，再阅读．”为培养学生的阅读能力，养成终身学习的习惯，莆田市教育局大力推进书香校园智慧阅读工作．某学校积极响应，组织学生利用课余时间多读书，读好书．一段时间后，学校对部分学生每周阅读时间进行调查并绘制了不完整的图表．
周阅读时间统计表
时间（小时）
频数
百分比
0≤x＜3
10
10%
3≤x＜6
25
m%
6≤x＜9
n
30%
9≤x＜12
20
20%
12≤x＜15
15
15%
周阅读时间频数分布直方图
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）直接写出m，n的值；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校共有3600名学生，估计学生每周阅读时间x（小时）在6≤x＜12范围内的人数有多少？
22．（10分）为丰富学生的校园生活，某中学准备从体育用品商店，一次性购买若干个篮球和足球，其中每个篮球和足球的单价分别相同．若购买3个篮球和2个足球共440元，购买2个篮球和3个足球共410元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过8000元，则该校最多可以购买多少个篮球？
23．（10分）数学课堂上，老师在讲到数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形（如图1），它恰好能被分割成10个大小不同的正方形．小明同学受到启发尝试对平行四边形进行分割．如图2，平行四边形EFGH被分割成13个等边三角形．已知中间最小的两个等边三角形△ABC和△ACD的边长均为x，△BMN的边长为y．
（1）若x＝2，y＝3时，直接写出OH，EH的值；
（2）求x：y的值．
24．（12分）科学实验发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，利用这个发现人们发明了许多有用的工具，例如潜望镜（如图1）等．
（1）图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜AB，CD是平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线m与离开潜望镜的光线n平行；
（2）如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置会随之改变，在生活中就会有不同的应用．如图3，当光线m射到平面镜AB上时，会反射到平面镜CD上，又被平面镜CD反射，反射出的光线为n．若m∥n，求两面平面镜的夹角∠ABC的度数．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和Q（c，d），给出如下的定义：点P（a，b），Q（c，d）的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为d（P，Q）．
即：若|a﹣c|≤|b﹣d|，则d（P，Q）＝|a﹣c|；
若|a﹣c|＞|b﹣d|，则d（P，Q）＝|b﹣d|．
（1）请你直接写出A（﹣3，0），B（﹣1，4）的“近距”d（A，B）＝ ；
（2）在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．
①若在坐标轴上存在点E，使d（D，E）＝，请求出点E的坐标；
②将线段CD向上平移m个单位，C，D分别对应点M，N．若d（D，M）＜2，求m的取值范围．
2020-2021学年福建省莆田市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列给出的数中，是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C．0.3 D．
【分析】根据无理数的意义判断即可．
【解答】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、0.3是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、（﹣2，1）在第二象限，故本选项不符合题意；
B、（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项符合题意；
C、（1，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
D、（1，﹣2）在第四象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为5cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是（ ）
A．15 cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此可得结论．
【解答】解：直线l外一点P到l的距离PB的长为5cm，点A是直线l上的一点，
那么线段PA的长最短等于5cm，故不可能是4cm，
故选：D．
4．若a＞b，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣3a＞﹣3b C．＞ D．﹣a＜﹣b
【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等来判断．
【解答】解：A、a﹣3＞b﹣3成立，故正确；
B、同理，﹣3a＞﹣3b，错误；
C、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变＞成立，故正确；
D、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，﹣a＜﹣b，故正确．
故选：B．
5．下列调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．调查某品牌电视机的使用寿命
B．对某一批次所有灯管寿命情况的调查
C．检测“天问一号”探测器的零部件质量
D．调查木兰溪中现有鱼的种类
【分析】由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．调查某品牌电视机的使用寿命，全面调查具有破坏性，适合抽调查，故选项A不符合题意；
B．对某一批次所有灯管寿命情况的调查，全面调查具有破坏性，适合抽调查，故选项B不符合题意；
C．检测“天问一号”探测器的零部件质量，意义重大，适合普查，故C选项符合题意；
D．调查木兰溪中现有鱼的种类，适合抽样调查，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图示，可得不等式组的解集，可得答案．
【解答】解：由图示得A＞1，A＜2，
故选：A．
7．下列命题中假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直
【分析】利用平行线的性质、平行公理及两直线的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行是平行线的判定定理，正确，是真命题；
B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，是真命题；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
D、在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行，错误，是假命题，
故选：D．
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
9．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
A．＝1.61
B．＜16.2
C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3
D．＝166
【分析】根据表格中数据及算术平方根的概念分析判断．
【解答】解：由表格可得：，
∴＝1.61，
故选项A不符合题意；
由表格可得：＝16.2，
∴＞16.2，
故选项B不符合题意；
由表格可得＝16.2，＝16.3，
∴只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3，分别是263；264；265，
故选项C符合题意；
由题意可得：，
∴＝166，
故选项D不符合题意，
故选：C．
10．已知a＞﹣3，关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】求出于x的不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组无解以及a＞﹣3解答即可．
【解答】解：解不等式x+1＜a，得x＜a﹣1，
解不等式2x﹣1≥x+2，得x≥3，
∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣1≤3，
又∵a＞﹣3，且a为整数，
∴a的值可取﹣2、﹣1、0、1、2、3，4，共7个．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．化简：＝ 2 ．
【分析】根据立方根的概念进行求解，即一个数的立方等于a，则这个数叫a的立方根．
【解答】解：根据立方根的概念，得
＝2．
故原式＝2．
12．图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
【分析】由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等．
13．已知是方程5x﹣ky＝7的一个解，则k＝ 1 ．
【分析】将x＝2，y＝3代入已知方程中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
【解答】解：将x＝2，y＝3代入方程5x﹣ky＝7
得：10﹣3k＝7，
解得：k＝1．
故答案为：1
14．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是a＝ ﹣1（答案不唯一） （请写出一个符合条件的a的值）．
【分析】反例就是满足条件，但是不满足结论．根据负数的绝对值等于它的相反数，a取任何一个负数都可以．
【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴任何一个负数都可以，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
15．如图，给出下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件有 ①③④ （填写所有正确的序号）．
【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB∥CD；根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB∥CD；根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB∥CD．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
⑤由∠B＝∠D，不能判定AB∥CD；
故答案为：①③④．
16．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 520 ．
①
6
9
0
只有一个号码正确且位置正确
②
2
5
6
只有两个号码正确且位置不正确
③
8
6
9
三个号码都不正确
【分析】首先根据密码里不含有的数字排除掉8，6，9，然后根据确定含有的0确定其位置，从而确定正确的答案．
【解答】解：根据③知密码里不含有8，6，9，
∴①中只有0正确，且位置正确，
∵②中有两个号码正确且位置不正确，
∴2和5数字正确，且位置不正确，
所以该密码里含有2，5，0三个数字，位置确定为520，
故答案为：520．
三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤。
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先分别化简绝对值，有理数的乘方，算术平方根，然后再计算；
（2）用加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣1+4
＝5﹣；
（2），
①+②，得：4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得：3+2y＝1，
解得：y＝﹣1，
∴方程组的解为．
18．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞0，
解不等式②，得x≥12，
所以不等式组的解集是x≥12．
19．（8分）补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．
如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
又∠COA＝∠BOD（ 对顶角相等 ），
∴∠C＝ ∠D （ 等量代换 ）．
∴AC∥BD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】由已知与对顶角相等，等量代换得到内错角相等，进而确定出AC与BD平行．
【解答】证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
又∠COA＝∠BOD（对顶角相等），
∴∠C＝∠D（等量代换），
∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；∠D；等量代换；内错角相等，两直线平行．
20．（8分）如图，在正方形网格中，A，B两点的坐标分别为（1，2），（2，1）．
（1）写出图中点C的坐标；
（2）将点A向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点为D，直接写出D的坐标并求△BCD的面积．
【分析】（1）依据A，B两点的坐标分别为（1，2），（2，1），即可得到坐标原点的位置，进而得出点C的坐标；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到点D的坐标，再根据割补法进行计算即可得出△BCD的面积．
【解答】解：（1）如图所示，点C的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）如图所示，点D的坐标为（0，3）；
△BCD的面积＝3×4﹣×1×4﹣×2×3﹣×2×2＝5．
21．（8分）前苏联教育家苏霍姆林斯基曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读，阅读，再阅读．”为培养学生的阅读能力，养成终身学习的习惯，莆田市教育局大力推进书香校园智慧阅读工作．某学校积极响应，组织学生利用课余时间多读书，读好书．一段时间后，学校对部分学生每周阅读时间进行调查并绘制了不完整的图表．
周阅读时间统计表
时间（小时）
频数
百分比
0≤x＜3
10
10%
3≤x＜6
25
m%
6≤x＜9
n
30%
9≤x＜12
20
20%
12≤x＜15
15
15%
周阅读时间频数分布直方图
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）直接写出m，n的值；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校共有3600名学生，估计学生每周阅读时间x（小时）在6≤x＜12范围内的人数有多少？
【分析】（1）根据百分比之和等于1求出m的值，由0≤x＜3的频数及频率求出总人数，总人数乘以对应的百分比求出n的值；
（2）根据周阅读时间统计表及n的值，从而补全直方图；
（3）总人数乘以对应的百分比可得答案．
【解答】解：（1）m%＝1﹣（10%+30%+20%+15%）＝25%，
∴m＝25，
∵被调查总人数为10÷10%＝100，
∴n＝100×30%＝30，
∴m＝25，n＝30；
（2）补全直方图如下：
（3）估计学生每周阅读时间x（时）在6≤x＜12范围内的人数有3600×（30%+20%）＝1800（人）．
22．（10分）为丰富学生的校园生活，某中学准备从体育用品商店，一次性购买若干个篮球和足球，其中每个篮球和足球的单价分别相同．若购买3个篮球和2个足球共440元，购买2个篮球和3个足球共410元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过8000元，则该校最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和2个足球共440元，购买2个篮球和3个足球共410元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校可以购买m个篮球，则可以购买（100﹣m）个足球，根据总价＝单价×数量，结合购买篮球和足球的总费用不超过8000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为非负整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
根据题意，可得，
解得：，
∴篮球的单价是100元，足球的单价是70元；
（2）设该校可以购买m个篮球，则可以购买（100﹣m）个足球，
依题意得：100m+70（100﹣m）≤8000，
解得：m≤，
又∵m为非负整数，
∴m的最大值为33．
答：该校最多可以购买33个篮球．
23．（10分）数学课堂上，老师在讲到数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形（如图1），它恰好能被分割成10个大小不同的正方形．小明同学受到启发尝试对平行四边形进行分割．如图2，平行四边形EFGH被分割成13个等边三角形．已知中间最小的两个等边三角形△ABC和△ACD的边长均为x，△BMN的边长为y．
（1）若x＝2，y＝3时，直接写出OH，EH的值；
（2）求x：y的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质用含x、y的值表示出OH和EH的长，再代入即可；
（2）先用含x的式子表示出EH和FG的长，再根据对边相等列出方程，整理可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABC边长为x，△BMN边长为y，
∴AM＝x+y，AK＝AM＝x+y，DK＝x+y+x＝2x+y，
∵DK＝DO＝OH，
∴OH＝2x+y，OK＝2x+y，
∵PK＝KM＝AK＝x+y，
∴EO＝OK+KP＝2x+y+x+y＝3x+2y，
∴EH＝EO+OH＝3x+2y+2x+y＝5x+3y．
当x＝2，y＝3时，OH＝7，EH＝19；
（2）由（1）得：EH＝5x+3y，
∵FR＝PN＝PM+MN＝x+y+y＝x+2y，
RG＝RB＝RN+BN＝x+2y+y＝x+3y，
∴FG＝x+2y+x+3y＝2x+5y，
∵EH＝FG，
∴5x+3y＝2x+5y，
整理得：3x＝2y，即x：y＝2：3．
24．（12分）科学实验发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，利用这个发现人们发明了许多有用的工具，例如潜望镜（如图1）等．
（1）图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜AB，CD是平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线m与离开潜望镜的光线n平行；
（2）如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置会随之改变，在生活中就会有不同的应用．如图3，当光线m射到平面镜AB上时，会反射到平面镜CD上，又被平面镜CD反射，反射出的光线为n．若m∥n，求两面平面镜的夹角∠ABC的度数．
【分析】（1）求出∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可；
（2）由平行线的性质求出∠EAC+∠FCA＝180°，再根据平角的定义求出∠2+∠3＝90°，求出∠EAC+∠FCA＝180°，然后根据根据三角形内角和等于180即可求出∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：如图2，∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3 （两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量减等量，差相等），
即：∠5＝∠6（等量代换），
∴m∥n （内错角相等，两直线平行）；
（2）∠ABC＝90°，
理由是：如图3，
∵m∥n，
∴∠EAC+∠FCA＝180°，
∴∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠4+∠FCA＝180°+180°360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴2（∠2+∠3）＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠ABC+∠2+∠3＝180°，
∴∠ABC＝10＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和Q（c，d），给出如下的定义：点P（a，b），Q（c，d）的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为d（P，Q）．
即：若|a﹣c|≤|b﹣d|，则d（P，Q）＝|a﹣c|；
若|a﹣c|＞|b﹣d|，则d（P，Q）＝|b﹣d|．
（1）请你直接写出A（﹣3，0），B（﹣1，4）的“近距”d（A，B）＝ 2 ；
（2）在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．
①若在坐标轴上存在点E，使d（D，E）＝，请求出点E的坐标；
②将线段CD向上平移m个单位，C，D分别对应点M，N．若d（D，M）＜2，求m的取值范围．
【分析】（1）P，Q两点的“近距”的定义求解即可．
（2）①分两种情形：当点E在x轴上时，设E（m，0），|4﹣0|＞，可得|m﹣5|＝，当点E在y轴上时，设E（0，n），则|5﹣0|＞，可得|n﹣4|＝，求出m，n，即可解决问题．
（3）根据题意，构建不等式，可得结论．
【解答】解：（1）∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，|0﹣4|＝4，
又∵2＜4，
∴d（A，B）＝2，
故答案为：2．
（2）①如图1中，
∵点D（5，4），d（E，D）＝，
当点E在x轴上时，设E（m，0），|4﹣0|＞，
∴|m﹣5|＝，
∴m＝5+或m＝5﹣，
当点E在y轴上时，设E（0，n），则|5﹣0|＞，
∴|n﹣4|＝，
∴n＝4+或4﹣，
点E的坐标为（5+，0）或（5﹣，0）或（0，4+）或（0，4﹣）．
②如图2中，由题意，|m﹣4|＜2，解得2＜m＜6．
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