高中粤教版 (2019)2.1.2 设计教案

【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 教学设计（人教A版）

本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.

课程目标

1.了解周期函数与最小正周期的意义;

2.了解三角函数的周期性和奇偶性;

3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;

4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);

5.能利用性质解决一些简单问题.

数学学科素养

1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；

2.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间；

3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.

4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.

重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；

难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本201-205页，思考并完成以下问题

1.  周期函数、周期、最小正周期等的含义？

2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？

3.  通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.定义域

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).

2.值域

(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.

(2)最值

正弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

余弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

3.周期性

定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,

都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.

由此可知,都是这两个函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.

4.奇偶性

()为奇函数,其图象关于原点对称

()为偶函数,其图象关于轴对称

5.对称性

正弦函数的对称中心是,

对称轴是直线;

余弦函数的对称中心是,

对称轴是直线

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).

6.单调性

正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

四、典例分析、举一反三

题型一    正、余弦函数的周期性

例1  求下列三角函数的最小正周期:

(1)y=3cos x,x∈R;                (2)y=sin 2x,x∈R;

 (3)y=2sin(),x∈R;        (4)y=|cos x|,x∈R.

【答案】(1) 2π；(2)π；(3) 4π；(4)π.

【解析】:(1)因为3cos(x+2π)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x的最小正周期为2π.

(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.

(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为4π.

(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为π.

解题技巧：（求函数最小正周期的常用方法）

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.

(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．　　

跟踪训练一

1.（1）函数y=2sin (3x+),x∈R的最小正周期是(　　)

(A) (B) (C) (D)π

(2)函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为　　　　. 

【答案】(1)B；(2) ．

【解析】　(2)作出y=|sin 2x|(x∈R)的图象(如图所示).

由图象可知,函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为.

题型二  化简、求值

例2判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);

(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.

【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶函数.

【解析】(1)显然x∈R,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函数.

(2)因为x∈R,f(x)=sin(+)=-cos,

所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),

所以函数f(x)=sin(+)是偶函数.

(3)显然x∈R,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),

所以函数f(x)=sin |x|是偶函数.

(4)由得cos x=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.

解题技巧：(判断函数奇偶性的方法)

判断函数奇偶性的方法

(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原点对称;②f(-x)与f(x)的关系;

(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法.

跟踪训练二

1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　)

(A)y=sin(2x+)    (B)y=cos(2x+)

(C)y=sin(2x+)    (D)y=sin(x+)

【答案】B

【解析】　A中,y=sin(2x+),即y=cos 2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函数,T==π,故选B.

2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于                                                          (　　)

A．－      B．1      C．－    D．

【答案】D

【解析】因为f(x)的最小正周期为T＝π，

所以f ＝f ＝f ，

又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以f ＝f ＝f ＝sin＝.

题型三   正、余弦函数的单调性

例3 求函数y=sin(x+)的单调区间.

【答案】略.

【解析】当-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为[-+,+](k∈Z).当+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[+,+](k∈Z).

解题技巧：（求单调区间的步骤）

(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或

y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：

第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间；

第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；

第三步：解关于x的不等式．

(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．

跟踪训练三

1．求函数y＝2sin的单调增区间．

【答案】略.

【解析】y＝2sin＝－2sin，令z＝x－，则y＝－2sin z，求y＝－2sin z的增区间，即求y＝sin z的减区间，所以＋2kπ≤z≤＋2kπ(k∈Z)，

即＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，

所以y＝2sin的单调增区间是(k∈Z)．

题型四    正弦函数、余弦函数单调性的应用

例4  比较下列各组中函数值的大小：

（1）cos与cos；

(2)sin 194°与cos 160°.

【答案】（1）cos＜cos；（2）sin 194°＞cos 160°.

【解析】（1）cos＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos，

∵π＜＜＜2π，且函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增，

∴cos＜cos，即cos＜cos.

(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，

cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.

∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin 14°＜sin 70°.

从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°.

解题方法（比较两个三角函数值的大小）

(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．

(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．

(3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．

跟踪训练四

1．下列结论正确的是         (　　)

A．sin 400°>sin 50°　　 B．sin 220°<sin 310°

C．cos 130°>cos 200°   D．cos(－40°)<cos 310°

【答案】C.

【解析】由cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°，因为当0°<x<90°时，函数y＝cos x是减函数，所以cos 50°<cos 20°，所以－cos 50°>－cos 20°，即cos 130°>cos 200°.

题型五   正、余弦函数的值域与最值问题

例5  求下列函数的值域:

(1)y=cos(x+),x∈[0,];

(2)y=cos2x-4cos x+5.

【答案】（1）[-,] ；（2）[2,10].

【解析】(1)由x∈[0,]可得

x+∈[,],

函数y=cos x在区间[,]上单调递减,所以函数的值域为[-,].

 (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,

则-1≤t≤1.

y=t2-4t+5=(,

当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;

t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].

解题方法（三角函数的值域问题解题思路）

三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin(ωx+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方

法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题.

跟踪训练五

1. 函数y=2cos2x+5sin x-4的值域为　　　　. 

【答案】[-9,1].

【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4

=-2sin2x+5sin x-2

=-2(sin x-)2+.

故当sin x=1时,ymax=1;

当sin x=-1时,ymin=-9,

故y=2cos2x+5sin x-4的值域为[-9,1].

2.设f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+)的最大值为　　　　. 

【答案】1.

【解析】由题意a≠0,当a>0时,所以

此时g(x)=-sin(2x+),其最大值为1.

当a<0时,所以

此时g(x)=-sin(-2x+),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本207页练习、213页习题5.4 2-6、10、11题.

本节课主要探究正弦函数、余弦函数的性质，从而用性质解决一些问题。但是本节课内容量比较多，一节课讲完有一定的难度，可根据学生的实际情况分两节课展开.