2021年辽宁省营口市中考数学真题试卷 含答案

这是一份2021年辽宁省营口市中考数学真题试卷 含答案，共33页。试卷主要包含了填空题〔每题3分，共18分〕，解答题〔此题总分值12分〕，解答题〔此题总分值14分，解答题〔此题总分值14分〕等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题〔以下各题的备选答案中，只有一个是正确的，每题3分，共30分〕
1．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．以下四个剪纸图案中，是中心对称图形的是〔　　〕
A． B．
C． D．
2．中央财政下达2021年支持学前教育开展资金预算为19840000000元．数据19840000000用科学记数法表示为〔　　〕
A．0.1984×1011 B．1.984×1010
C．1.984×109 D．19.84×109
3．估计的值在〔　　〕
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
4．某班15名男生引体向上成绩如表：
个数
17
12
10
7
2
人数
2
3
4
5
1
那么这组数据的众数和中位数分别是〔　　〕
A．10，7 B．10，10 C．7，10 D．7，12
5．以下计算正确的选项是〔　　〕
A．2a+3b＝5ab B．5a3b÷ab＝5a2b
C．〔2a+b〕2＝4a2+b2 D．〔﹣2a2b3〕3＝﹣8a6b9
6．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，假设∠1＝19°，那么∠2的度数为〔　　〕

A．41° B．51° C．42° D．49
7．如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，那么以下结论错误的选项是〔　　〕

A．AB∥CD B．∠3＝60° C．FG＝FC D．GF⊥CD
8．如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，那么∠ADB度数为〔　　〕

A．112° B．124° C．122° D．134°
9．一次函数y＝kx﹣k过点〔﹣1，4〕，那么以下结论正确的选项是〔　　〕
A．y随x增大而增大
B．k＝2
C．直线过点〔1，0〕
D．与坐标轴围成的三角形面积为2
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，假设菱形ABCD面积为8，那么k值为〔　　〕

A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
二、填空题〔每题3分，共18分〕
11．假设代数式有意义，那么x的取值范围是 　 　．
12．假设∠A＝34°，那么∠A的补角为　 　．
13．关于x的一元二次方程x2+2x﹣1+m＝0有两个实数根，那么实数m的取值范围是 　 　．
14．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，假设S△EFG＝1，那么S△ABC＝　 　．

15．如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，那么阴影局部周长的最小值为 　 　．

16．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，那么CF＝　 　．

三、解答题〔17小题10分，18小题10分，共20分〕
17．〔10分〕先化简，再求值：，其中x＝+|﹣2|﹣3tan60°．
18．〔10分〕为加强交通平安教育，某中学对全体学生进行“交通知识〞测试，学校随机抽取了局部学生的测试成绩，并根据测试成绩绘制两种统计图表〔不完整〕，请结合图中信息解答以下问题：
学生测试成绩频数分布表
组别
成绩x分
人数
A
60≤x＜70
8
B
70≤x＜80
m
C
80≤x＜90
24
D
90≤x≤100
n
〔1〕表中的m值为 　 　，n值为 　 　；
〔2〕求扇形统计图中C局部所在扇形的圆心角度数；
〔3〕假设测试成绩80分以上〔含80分〕为优秀，根据调查结果请估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数．

四、解答题〔19小题10分，20小题10分，共20分〕
19．〔10分〕李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同〔不透明〕的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
〔1〕假设小如随机取走一个锦囊，那么取走的是写有“自我暗示〞的概率是 　 　；
〔2〕假设小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊〔走后不放回〕，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄〞的概率．
20．〔10分〕为增加学生阅读量，某校购置了“科普类〞和“文学类〞两种书籍，购置“科普类〞图书花费了3600元，购置“文学类〞图书花费了2700元，其中“科普类〞图书的单价比“文学类〞图书的单价多20%，购置“科普类〞图书的数量比“文学类〞图书的数量多20本．
〔1〕求这两种图书的单价分别是多少元？
〔2〕学校决定再次购置这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购置“科普类〞图书多少本？
五、解答题〔21小题10分，22小题12分，共22分〕
21．〔10分〕小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．〔结果保存整数〕
〔参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4〕

22．〔12分〕如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
〔1〕求证：AF＝AE；
〔2〕假设AB＝8，BC＝2，求AF的长．

六、解答题〔此题总分值12分〕
23．〔12分〕某商家正在热销一种商品，其本钱为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y〔件〕与售价x〔元/件〕满足如下图的函数关系〔其中40≤x≤70，且x为整数〕．
〔1〕直接写出y与x的函数关系式；
〔2〕当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

七、解答题〔此题总分值14分
24．〔14分〕如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．
〔1〕求证：AF＝CE；
〔2〕猜测CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；
〔3〕假设CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．

八、解答题〔此题总分值14分〕
25．〔14分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A〔0，﹣2〕，B〔2，0〕，点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC＝2．
〔1〕求点C坐标；
〔2〕点P〔m，0〕为线段BE上一动点〔P不与B，E重合〕，过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；
〔3〕在〔2〕的条件下，假设S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．


2021年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔以下各题的备选答案中，只有一个是正确的，每题3分，共30分〕
1．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．以下四个剪纸图案中，是中心对称图形的是〔　　〕
A． B．
C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意；
应选：D．
2．中央财政下达2021年支持学前教育开展资金预算为19840000000元．数据19840000000用科学记数法表示为〔　　〕
A．0.1984×1011 B．1.984×1010
C．1.984×109 D．19.84×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：19840000000＝1.984×1010．
应选：B．
3．估计的值在〔　　〕
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【分析】先写出21的范围，再写出的范围．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴4＜＜5，
应选：B．
4．某班15名男生引体向上成绩如表：
个数
17
12
10
7
2
人数
2
3
4
5
1
那么这组数据的众数和中位数分别是〔　　〕
A．10，7 B．10，10 C．7，10 D．7，12
【分析】根据中位数与众数的定义，众数是出现次数最多的一个，从小到大排列后，中位数是第8个数，解答即可．
【解答】解：7出现的次数最多，出现了5次，所以众数为7；
第8个数是10，所以中位数为10．
应选：C．
5．以下计算正确的选项是〔　　〕
A．2a+3b＝5ab B．5a3b÷ab＝5a2b
C．〔2a+b〕2＝4a2+b2 D．〔﹣2a2b3〕3＝﹣8a6b9
【分析】A．直接利用合并同类项法那么计算判断即可；
B．直接利用单项式除以单项式计算得出答案；
C．直接利用完全平方公式计算得出答案；
D．直接利用积的乘方运算法那么计算得出答案．
【解答】解：A．2a和3b，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．5a3b÷ab＝5a2，故此选项不合题意；
C．〔2a+b〕2＝4a2+4ab+b2，故此选项不合题意；
D．〔﹣2a2b3〕3＝﹣8a6b9，故此选项符合题意；
应选：D．
6．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，假设∠1＝19°，那么∠2的度数为〔　　〕

A．41° B．51° C．42° D．49
【分析】过点C作MC∥AB，那么MC∥PH，由正六边形的内角和及三角形的内角和求得∠2＝41°，根据平行线的性质得到∠BCM＝41°，∠MCD＝79°，∠PHD＝79°，由四边形的内角和即可求解．
【解答】解：如图，过点C作MC∥AB，那么MC∥PH，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠D＝∠DEF＝＝120°，
∵∠1＝19°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠B＝41°，
∵MC∥AB，
∴∠BCM＝∠2＝41°，
∴∠MCD＝∠BCD﹣∠BCM＝79°，
∵MC∥PH，
∴∠PHD＝∠MCD＝79°，
四边形PHDE的内角和是360°，
∴∠2＝360°﹣∠PGD﹣∠D﹣∠DEF＝41°，
应选：A．
7．如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，那么以下结论错误的选项是〔　　〕

A．AB∥CD B．∠3＝60° C．FG＝FC D．GF⊥CD
【分析】先根据平行线的判定可得AB∥CD，根据直角三角形的性质可得∠3，根据含30°的直角三角形的性质可得FG＝GC，再由平行线的性质得到GF⊥CD，即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝30°，
∴AB∥CD，故A不符合题意；
∵EF⊥AB，
∴∠BEG＝90°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，故B不符合题意；
∵∠2＝30°，
∴FG＝GC，故C符合题意；
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴GF⊥CD，故D不符合题意．
应选：C．
8．如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，那么∠ADB度数为〔　　〕

A．112° B．124° C．122° D．134°
【分析】作所对的圆周角∠APB，如图，先利用等腰三角形的性质得到OC平分∠AOB，那么∠AOC＝∠BOC＝56°，再根据圆周角定理得到∠APB＝56°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ADB的度数．
【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝56°，
∴∠APB＝∠AOB＝56°，
∵∠APB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．
应选：B．

9．一次函数y＝kx﹣k过点〔﹣1，4〕，那么以下结论正确的选项是〔　　〕
A．y随x增大而增大
B．k＝2
C．直线过点〔1，0〕
D．与坐标轴围成的三角形面积为2
【分析】把点〔﹣1，4〕代入一次函数y＝kx﹣k，求得k的值，根据一次函数图象与性质的关系对A、B、C进行判断；根据题意求得直线与坐标轴的交点，然后算出三角形的面积，即可对D进行判断断．
【解答】解：把点〔﹣1，4〕代入一次函数y＝kx﹣k，得，
4＝﹣k﹣k，
解得k＝﹣2，
∴y＝﹣2x+2，
A、k＝﹣2＜0，y随x增大而增大，选项A不符合题意；
B、k＝﹣2，选项B不符合题意；
C、当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得：x＝1，
∴一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴的交点为〔1，0〕，选项C符合题意；
D、当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，与坐标轴围成的三角形面积为＝1，选项D不符合题意．
应选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，假设菱形ABCD面积为8，那么k值为〔　　〕

A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
【分析】根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积＝BC×〔yA﹣yB〕＝8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，
∴xB＝，xA＝，即A〔，4〕，B〔，2〕，
∴AB2＝〔﹣〕2+〔4﹣2〕2＝+4，
∴BC＝AB＝，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×〔yA﹣yB〕＝8，
即×〔4﹣2〕＝8，
整理得＝4，
解得k＝±8，
∵函数图象在第二象限，
∴k＜0，即k＝﹣8，
应选：A．
二、填空题〔每题3分，共18分〕
11．假设代数式有意义，那么x的取值范围是 　x≤　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
12．假设∠A＝34°，那么∠A的补角为　146°　．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣34°＝146°．
故答案为：146°．
13．关于x的一元二次方程x2+2x﹣1+m＝0有两个实数根，那么实数m的取值范围是 　m≤2　．
【分析】利用判别式的意义得到△＝22﹣4〔﹣1+m〕≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝22﹣4〔﹣1+m〕≥0，
解得m≤2．
故答案为m≤2．
14．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，假设S△EFG＝1，那么S△ABC＝　24　．

【分析】取AG的中点M，连接DM，根据ASA证△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝AM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S△ADM＝S△ABG，从而得出梯形DMBG的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同理可得S△BDE＝S△ABC，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM∥BC交AG于点M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF〔ASA〕，
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵点D为AB的中点，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝AM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM为△ABG的中位线，
∴＝，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
故答案为：24．

15．如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，那么阴影局部周长的最小值为 　4+π　．

【分析】利用作图得到OA＝OB＝OD＝4，∠BOD＝∠AOD＝20°，那么根据弧长公式可计算出的长度为π，过B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，证明△ODF为等边三角形得到DF＝4，接着利用两点之间线段最短可判断此时E′B+E′D的值最小，从而得到阴影局部周长的最小值．
【解答】解：由作法得OC平分∠MON，OA＝OB＝OD＝4，
∴∠BOD＝∠AOD＝∠MON＝×40°＝20°，
∴的长度为＝π，
过B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，
∴OF＝OB，∠FOA＝∠BOA＝40°，
∴OD＝OF，
∴△ODF为等边三角形，
∴DF＝OD＝4，
∵E′B＝E′F，
∴E′B+E′D＝E′F+E′D＝DF＝4，
∴此时E′B+E′D的值最小，
∴阴影局部周长的最小值为4+π．
故答案为4+π．

16．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，那么CF＝　6　．

【分析】如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．证明CE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可．
【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝6，
故答案为：6．
三、解答题〔17小题10分，18小题10分，共20分〕
17．〔10分〕先化简，再求值：，其中x＝+|﹣2|﹣3tan60°．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法那么化简原式，再由二次根式的性质、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值得出x的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝〔﹣〕•
＝•
＝，
当x＝+|﹣2|﹣3tan60°＝3+2﹣3＝2时，
原式＝＝．
18．〔10分〕为加强交通平安教育，某中学对全体学生进行“交通知识〞测试，学校随机抽取了局部学生的测试成绩，并根据测试成绩绘制两种统计图表〔不完整〕，请结合图中信息解答以下问题：
学生测试成绩频数分布表
组别
成绩x分
人数
A
60≤x＜70
8
B
70≤x＜80
m
C
80≤x＜90
24
D
90≤x≤100
n
〔1〕表中的m值为 　12　，n值为 　36　；
〔2〕求扇形统计图中C局部所在扇形的圆心角度数；
〔3〕假设测试成绩80分以上〔含80分〕为优秀，根据调查结果请估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数．

【分析】〔1〕用60≤x＜70的频数和百分比先求出总人数，再根据频数＝总数×百分比求出n的值，然后用总数减去A、C、D的人数即可求出m的值；
〔2〕先求得C局部所占的比例，然后乘以360度，即可求得C局部所对应的圆心角的度数；
〔3〕用全校的总人数乘以试成绩80分以上〔含80分〕的人数所占的比即可．
【解答】解：〔1〕根据题意得：抽取学生的总数：8÷10%＝80〔人〕，
n＝80×45%＝36〔人〕，
m＝80﹣8﹣24﹣36＝12〔人〕，
故答案为：12，36；

〔2〕扇形统计图中C局部所在扇形的圆心角度数是：360°×＝108°；

〔3〕2000×＝1500〔人〕．
答：估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数为1500人．
四、解答题〔19小题10分，20小题10分，共20分〕
19．〔10分〕李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同〔不透明〕的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
〔1〕假设小如随机取走一个锦囊，那么取走的是写有“自我暗示〞的概率是 　　；
〔2〕假设小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊〔走后不放回〕，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄〞的概率．
【分析】〔1〕直接由概率公式求解即可；
〔2〕画树状图，共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄〞的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：〔1〕假设小如随机取走一个锦囊，那么取走的是写有“自我暗示〞的概率是，
故答案为：；
〔2〕画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄〞的结果有6种，
∴小如和小意都没有取走“合理宣泄〞的概率为＝．
20．〔10分〕为增加学生阅读量，某校购置了“科普类〞和“文学类〞两种书籍，购置“科普类〞图书花费了3600元，购置“文学类〞图书花费了2700元，其中“科普类〞图书的单价比“文学类〞图书的单价多20%，购置“科普类〞图书的数量比“文学类〞图书的数量多20本．
〔1〕求这两种图书的单价分别是多少元？
〔2〕学校决定再次购置这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购置“科普类〞图书多少本？
【分析】〔1〕首先设“文学类〞图书的单价为x元/本，那么“科普类〞图书的单价为〔1+20%〕x元/本，根据题意可得等量关系：3600元购置的科普类图书的本数﹣20＝用2700元购置的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
〔2〕设“科普类〞书购a本，那么“文学类〞书购〔100﹣a〕本，根据“费用不超过1600元〞列出不等式并解答．
【解答】解：〔1〕设“文学类〞图书的单价为x元/本，那么“科普类〞图书的单价为〔1+20%〕x元/本，
依题意：﹣20＝，
解之得：x＝15．
经检验，x＝15是所列分程的根，且合实际，
所以〔1+20%〕x＝18．
答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；
〔2〕设“科普类〞书购a本，那么“文学类〞书购〔100﹣a〕本，
依题意：18a+15〔100﹣a〕≤1600，
解之得：a≤．
因为a是正整数，
所以a最大值＝33．
答：最多可购“科普类〞图书33本．
五、解答题〔21小题10分，22小题12分，共22分〕
21．〔10分〕小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．〔结果保存整数〕
〔参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4〕

【分析】过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AN于E，设MD＝x，在直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得MD的长，进一步求得AD的长，在直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与NE，即可求得DN，从而求得DE．
【解答】解：过D作DM⊥AC于M，
设MD＝x，
在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝MD＝x，
∴AD＝x，
在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，
∴MC≈2MD＝2x，
∵AC＝600+600＝1200，
∴x+2x＝1200，
解得：x＝400，
∴MD＝400m，
∴AD＝MD＝400，
过B作BN⊥AN于N，
∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，
∴∠E＝30°，
在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，
∴BN＝AN＝AB＝300，
∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，
在Rt△NBE中，∠E＝30°，
∴NE＝BN＝×300＝300，
∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580〔m〕，
即临D处学校和E处图书馆之间的距离是580m．

22．〔12分〕如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
〔1〕求证：AF＝AE；
〔2〕假设AB＝8，BC＝2，求AF的长．

【分析】〔1〕利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；
〔2〕利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到＝，求得CE＝AF＝AE，根据AE+CE＝AC即可求得AF．
【解答】〔1〕证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠F+∠DAF＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABF，
∵＝，
∴∠ABF＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE；
〔2〕解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∵AB＝8，BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴CE＝AF，
∵AF＝AE，
∴CE＝AE，
∵AE+CE＝AC＝2，
∴AE＝，
∴AF＝AE＝．

六、解答题〔此题总分值12分〕
23．〔12分〕某商家正在热销一种商品，其本钱为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y〔件〕与售价x〔元/件〕满足如下图的函数关系〔其中40≤x≤70，且x为整数〕．
〔1〕直接写出y与x的函数关系式；
〔2〕当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

【分析】〔1〕先设出一次函数关系式，分40≤x≤60和60＜x≤70两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；
〔2〕设获得的利润为w元，分①当40≤x≤60时和②当60＜x≤70时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．
【解答】解：〔1〕设线段AB的表达式为：y＝kx+b〔40≤x≤60〕，
将点〔40，300〕、〔60，100〕代入上式得：
，
解得：，
∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700〔40≤x≤60〕，
设线段BC的表达式为：y＝mx+n〔60＜x≤70〕，
将点〔60，100〕、〔70，150〕代入上式得：
，
解得：，
∴函数的表达式为：y＝5x﹣200〔60＜x≤70〕，
∴y与x的函数关系式为：y＝；
〔2〕设获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w＝〔x﹣30〕〔﹣10x+700〕＝﹣10〔x﹣50〕2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w有值最大，最大值为4000元；
②当60＜x≤70时，w＝〔x﹣30〕〔5x﹣200〕﹣150〔x﹣60〕＝5〔x﹣50〕2+2500，
∵5＞0，
∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5〔70﹣50〕2+2500＝4500〔元〕，
综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．
七、解答题〔此题总分值14分
24．〔14分〕如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．
〔1〕求证：AF＝CE；
〔2〕猜测CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；
〔3〕假设CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．

【分析】〔1〕连接AD，证明△ADF≌△CDE〔SAS〕，可得AF＝CE．
〔2〕结论：CE2+BF2＝BC2利用全等三角形的性质证明BF＝AE，再证明∠AEC＝90°，可得结论．
〔3〕设EH＝m．证明△ADH∽△CEH，可得＝＝＝＝2，推出DH＝2m，推出AD＝CD＝2m+2，EC＝m+1，在Rt△CEH中，根据CH2＝EH2+CE2，构建方程求出m即可解决问题．
【解答】〔1〕证明：连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥CB，
AD＝DB＝DC．
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∵DF＝DE，
∴△ADF≌△CDE〔SAS〕，
∴AF＝CE．

〔2〕结论：CE2+BF2＝BC2．
理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵△ADF≌△CDE〔SAS〕，
∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCB，
∵∠BAD＝∠ACD＝45°，
∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，
∴∠BAF＝∠ACE，
∵AB＝CA，AF＝CE，
∴△BAF≌△ACE〔SAS〕，
∴BF＝AE，
∵∠AEC＝∠DEC＝∠DEF＝135°﹣45°＝90°，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴BF2+CE2＝BC2．

〔3〕解：设EH＝m．
∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，
∴△ADH∽△CEH，
∴＝＝＝＝2，
∴DH＝2m，
∴AD＝CD＝2m+2，
∴EC＝m+1，
在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，
∴22＝m2+〔m+1〕2，
∴2m2+2m﹣3＝0，
∴m＝或〔舍弃〕，
∴AE＝AH+EH＝，
∴AD＝1+，
∴AC＝AD＝+．

八、解答题〔此题总分值14分〕
25．〔14分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A〔0，﹣2〕，B〔2，0〕，点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC＝2．
〔1〕求点C坐标；
〔2〕点P〔m，0〕为线段BE上一动点〔P不与B，E重合〕，过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；
〔3〕在〔2〕的条件下，假设S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．

【分析】〔1〕如图1中，设BC交y轴于D．利用待定系数法求出b，c，解直角三角形求出点D的坐标，求出直线BD的解析式，构建方程组确定点C的坐标即可．
〔2〕分两种情形：当0＜m＜2时，当﹣＜m≤0时，分别求出MN，根据S＝•BB′•MN，构建关系式即可．
〔3〕分两种情形：根据S＝3S△ACB′，构建方程求出m即可．
【解答】解：〔1〕∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A〔0，﹣2〕，B〔2，0〕，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣5x﹣2，
如图1中，设BC交y轴于D．
∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，
∴OD＝4，
∴D〔0，4〕，
设直线BD的解析式为y＝kx+b，那么有，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，
由，解得〔即点B〕或，
∴C〔﹣1，6〕．

〔2〕对于抛物线y＝3x2﹣5x﹣2，令y＝0，得到3x2﹣5x﹣2＝0，解得x＝2或﹣，
∴E〔﹣，0〕，
∵A〔0，﹣2〕，B〔2，0〕，C〔﹣1，6〕，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2，
当0＜m＜2时，∵P〔m，0〕，
∴M〔m，﹣2m+4〕，N〔m，m﹣2〕，
∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，
∴S＝•BB′•MN＝×2〔2﹣m〕×〔﹣3m+6〕＝3m2﹣12m+12．
当﹣＜m≤0时，如图2中，∵P〔m，0〕，
∴M〔m，﹣2m+4〕，N〔m，﹣8m﹣2〕，
∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，
∴S＝•BB′•MN＝×2〔2﹣m〕×〔6m+6〕＝﹣6m2+6m+12．
综上所述，S＝．

〔3〕∵直线AC交x轴于〔﹣，0〕，B′〔2m﹣2〕，
当﹣6m2+6m+12＝3××|2m﹣2+|×8，
解得m＝或〔都不符合题意舍弃〕，
当3m2﹣12m+12＝3××|2m﹣2+|×8，
解得m＝1或11〔舍弃〕或﹣2+或﹣2﹣〔舍弃〕，
综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2+．