第4章 4.1 4.1.2　第2课时　全概率公式、贝叶斯公式-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

这是一份第4章 4.1 4.1.2　第2课时　全概率公式、贝叶斯公式-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义，共3页。
有三个罐子，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．
问题：如何求取得红球的概率？
1．全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))；
(2)定理1 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBAi)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai).
思考：全概率公式体现了哪种数学思想？
[提示] 全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．
2．贝叶斯公式
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝eq \f(PAPB|A,PB)
＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\(A,\s\up6(－))PB|\(A,\s\up6(－))).
(2)定理2 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝eq \f(PAjPB|Aj,PB)＝eq \(\f(PAjPB|Aj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai)).
拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))之间的内在联系．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(eq \(B,\s\up6(－)))P(A|eq \(B,\s\up6(－)))．( )
(2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－))|A)．( )
(3)P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(PBPA|B,PAPB|A).( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知事件A，B，且P(A)＝eq \f(1,3)，P(B|A)＝eq \f(1,5)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(2,5)，则P(B)等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,15)
C [P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(2,5)＝eq \f(1,3).故选C.]
3．一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________．
eq \f(2,5) [设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P(A)＝eq \f(2,5)，P(B|A)＝eq \f(1,4)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2).
则P(B)＝P(AB)＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))
＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(1,2)
＝eq \f(2,5).]
4．对以往数据分析结果表明， 当机器调整得良好时， 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时， 其合格率为55%. 每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95%.则已知某日早上第一件产品是合格时， 机器调整得良好的概率约是________．
0.97 [设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”．
P(A|B)＝0.98，P(A|eq \(B,\s\up6(－)))＝0.55，
P(B)＝0.95，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.05，
所求的概率为
P(B|A)＝eq \f(PA|BPB,PA|BPB＋PA|\(B,\s\up6(－))P\(B,\s\up6(－)))≈0.97.]
【例1】 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
[解] (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为
Ceq \\al(2,8)＝eq \f(8×7,2)＝28，
这2个产品都是次品的事件数为Ceq \\al(2,3)＝3.
∴这2个产品都是次品的概率为eq \f(3,28).
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,8))＝eq \f(5,14)，P(B2)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,3),C\\al(2,8))＝eq \f(15,28)，
P(B3)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,8))＝eq \f(3,28)，
P(A|B1)＝eq \f(2,3)，P(A|B2)＝eq \f(5,9)，P(A|B3)＝eq \f(4,9)，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq \f(5,14)×eq \f(2,3)＋eq \f(15,28)×eq \f(5,9)＋eq \f(3,28)×eq \f(4,9)＝eq \f(7,12).
通过本例我们发现，当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.
eq \([跟进训练])
1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
[解] 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝eq \f(4,2＋4)＝eq \f(2,3)，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
(1)P(A|B)＝eq \f(3＋1,8＋1)＝eq \f(4,9).
(2)∵P(A|eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(3,8＋1)＝eq \f(1,3)，
∴P(A)＝P(AB)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(4,9)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(11,27).
【例2】 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？
[解] 设A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P(eq \(B,\s\up6(－)))·P(A|eq \(B,\s\up6(－)))＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.5%×95%,1.47%)＝32.3%.
利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求解．
eq \([跟进训练])
2．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？
[解] 设Ai＝第i条流水线生产的产品，i＝1,2,3,4；B＝抽到不合格品，
∴P(A1)＝0.15；P(A2)＝0.20；P(A3)＝0.30；P(A4)＝0.35.
∴P(B|A1)＝0.05；P(B|A2)＝0.04；P(B|A3)＝0.03；P(B|A4)＝0.02，
(1)P(B)＝eq \(∑,\s\up8(4),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝0.0315.
(2)P(A4|B)＝eq \f(PA4PB|A4,\(∑,\s\up8(4),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai)≈0.222 2.
[探究问题]
贝叶斯公式的实质是什么？
[提示] 贝叶斯公式实质上是条件概率公式P(Bi|A)＝eq \f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)的综合应用．
【例3】 假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
[解] 以A表示事件“患有出现S中的某些症状”，
D i表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知
P(D1)＝eq \f(7 750,20 000)＝0.387 5，P(D2)＝eq \f(5 250,20 000)＝0.262 5，
P(D3)＝eq \f(7 000,20 000)＝0.35，P(A|D1)＝eq \f(7 500,7 750)≈0.967 7，
P(A|D2)＝eq \f(4 200,5 250)＝0.8，P(A|D3)＝eq \f(3 500,7 000)＝0.5.
从而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式得
P(D1|A)＝eq \f(PA|D1PD1,PA)＝eq \f(0.387 5×0.967 7,0.76)≈0.493 4，
P(D2|A)＝eq \f(PA|D2PD2,PA)＝eq \f(0.262 5×0.8,0.76)≈0.276 3，
P(D3|A)＝eq \f(PA|D3PD3,PA)＝eq \f(0.35×0.5,0.76)≈0.230 3，
从而推测病人患有疾病d1较为合理．
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
eq \([跟进训练])
3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
[解] 设事件A表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
(1)由全概率公式得：
P(A)＝eq \(∑,\s\up8(3),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝eq \f(PB1PA|B1,PA)＝eq \f(0.2×0.95,0.86)≈0.220 9，
P(B2|A)＝eq \f(PB2PA|B2,PA)＝eq \f(0.3×0.9,0.86)≈0.314 0，
P(B3|A)＝eq \f(PB3PA|B3,PA)＝eq \f(0.5×0.8,0.86)≈0.465 1.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．
1．全概率公式P(B)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)在解题中体现了化整为零的转化化归思想．
2．贝叶斯概率公式反映了条件概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之间的关系．
即P(Bj|A)＝eq \f(PBjA,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBiPA|Bi).
1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为( )
A．0.65 B．0.075
C．0.145D．0
C [设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．
易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得
P(B)＝eq \(∑,\s\up8(4),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0
＝0.145.]
2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )
A．0.21B．0.06
C．0.94D．0.95
D [令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1,2.由全概率公式得：
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝eq \f(2,3)×0.96＋eq \f(1,3)×0.93＝0.95.故选D.]
3．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．
0.527 5 [设B＝{该小组在比赛中射中目标}，
Ai＝{选i级射手参加比赛}，(i＝1,2,3,4)．
由全概率公式，有P(B)＝eq \(∑,\s\up8(4),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)
＝eq \f(2,20)×0.85＋eq \f(6,20)×0.64＋eq \f(9,20)×0.45＋eq \f(3,20)×0.32＝0.527 5.]
4．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．
0.04835 [设B＝{取出的球全是白球}，
Ai＝{掷出i点}(i＝1,2，…，6)，则由贝叶斯公式，得
P(A3|B)＝eq \f(PA3PB|A3,\(∑,\s\up8(6),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai)＝eq \f(\f(1,6)×\f(C\\al(3,5),C\\al(3,15)),\(∑,\s\up8(5),\s\d6(i＝1)) \f(1,6)×\f(C\\al(i,5),C\\al(i,15)))＝0.048 35.]
5．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为eq \f(1,7)，eq \f(1,5)，eq \f(1,4).现从这三个地区任抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
[解] 设Ai＝第i个地区，i＝1,2,3；B＝感染此病
∴P(A1)＝eq \f(1,3)；P(A2)＝eq \f(1,3)；P(A3)＝eq \f(1,3).
∴P(B|A1)＝eq \f(1,7)；P(B|A2)＝eq \f(1,5)；P(B|A3)＝eq \f(1,4).
(1)P(B)＝eq \(∑,\s\up8(3),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝eq \f(83,420)≈0.198，
(2)P(A2|B)＝eq \f(PA2PB|A2,\(∑,\s\up8(3),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai)＝eq \f(28,83)≈0.337.学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解并掌握全概率公式．(重点)
2．了解贝叶斯公式．(难点)
3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．(易错点)
1．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养．
2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养.
全概率公式及其应用
贝叶斯公式及其应用
全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
疾病
人数
出现S症状人数
d1
7 750
7 500
d2
5 250
4 200
d3
7 000
3 500