人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角精练

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角精练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．(x－1)3 B．(x－2)3
C．x3D．(x＋1)3
C [S＝[(x－1)＋1]3＝x3.]
2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(7) 的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A.eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7)
C．7D．－7
B [T4＝Ceq \\al(3,7)x4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(3)＝5，则x＝－eq \f(1,7).]
3．(x－eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．－840B．840
C．210D．－210
B [在通项公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)(－eq \r(2)y)kx10－k中，令k＝4得x6y4的系数为Ceq \\al(4,10)(－eq \r(2))4＝840.]
4．使eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x\r(x))))eq \s\up12(n)(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5 C．6D．7
B [Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)(3x)n－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x\r(x))))eq \s\up12(r)＝Ceq \\al(r,n)3n－rxeq \s\up12(n－eq \f(5,2)r)，当Tr＋1是常数项时，n－eq \f(5,2)r＝0，当r＝2，n＝5时成立．]
5．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(24)的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
A．3项B．4项
C．5项D．6项
C [通项公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,24)(eq \r(x))24－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(k)＝Ceq \\al(k,24)xeq \s\up12(12－eq \f(5,6)k)，
故当k＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．]
二、填空题
6.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x2)))eq \s\up12(7)的展开式中倒数第三项为________．
eq \f(84,x8) [由于n＝7，可知，展开式共有8项，
∴倒数第三项即为第六项，
∴T6＝Ceq \\al(5,7)(2x)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))eq \s\up12(5)＝Ceq \\al(5,7)·22·eq \f(1,x8)＝eq \f(84,x8).]
7．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(n)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中eq \f(1,x2)的系数为________．
56 [由题意知，Ceq \\al(2,n)＝Ceq \\al(6,n)，∴n＝8.
∴Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)·x8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(r)＝Ceq \\al(r,8)·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴eq \f(1,x2)的系数为Ceq \\al(5,8)＝56.]
8．设二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,\r(x))))eq \s\up12(6)(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
2 [Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)x6－r(－axeq \s\up12(－eq \f(1,2)))r＝Ceq \\al(r,6)(－a)r·xeq \s\up12(6－eq \f(3,2)r)，B＝Ceq \\al(4,6)(－a)4，A＝Ceq \\al(2,6)(－a)2.∵B＝4A，a>0，
∴a＝2.]
三、解答题
9．化简：S＝1－2Ceq \\al(1,n)＋4Ceq \\al(2,n)－8Ceq \\al(3,n)＋…＋(－2)nCeq \\al(n,n)(n∈N＋)．
[解] 将S的表达式改写为：S＝Ceq \\al(0,n)＋(－2)Ceq \\al(1,n)＋(－2)2Ceq \\al(2,n)＋(－2)3Ceq \\al(3,n)＋…＋(－2)nCeq \\al(n,n)＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.∴S＝(－1)n＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n为偶数时，,－1，n为奇数时.))
10．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(6)的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
[解] (1)第3项的二项式系数为Ceq \\al(2,6)＝15，
又T3＝Ceq \\al(2,6)(2eq \r(x))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(2)＝24·Ceq \\al(2,6)x，
所以第3项的系数为24Ceq \\al(2,6)＝240.
(2)Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(2eq \r(x))6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(r)＝(－1)r26－rCeq \\al(r,6)x3－r，令3－r＝2，得r＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
11.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2x2－\f(1,x)))(3x－2)5的展开式中x2的系数为( )
A．296 B．－296
C．－1 864 D．－1 376
C [依题意，所求x2的系数为Ceq \\al(3,5)×32×(－2)3＋2×(－2)5－1×Ceq \\al(2,5)×33×(－2)2＝－720－64－1080＝－1 864，故选C.]
12．(多选题)对于二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3))eq \s\up12(n)(n∈N＋)，下列四种判断正确的有( )
A．存在n∈N＋，展开式中有常数项
B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
AD [二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3))eq \s\up12(n)的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)x4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N＋)和n＝4r－1(r∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]
13．(一题两空)已知Ceq \\al(0,n)＋2Ceq \\al(1,n)＋22Ceq \\al(2,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)＝729，则n＝________，Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＝________.
6 32 [Ceq \\al(0,n)＋2Ceq \\al(1,n)＋22Ceq \\al(2,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＝Ceq \\al(1,6)＋Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(5,6)＝32.]
14．已知正实数m，若x10＝a0＋a1(m－x)＋a2(m－x)2＋…＋a10(m－x)10，其中a8＝180，则m＝________.
2 [∵x10＝[m－(m－x)]10，∴a8＝Ceq \\al(8,10)m2(－1)8＝180，
解得m＝±2，又m＞0，∴m＝2.]
15．求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))eq \s\up12(5)的展开式的常数项．
[解] 法一：由二项式定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))eq \s\up12(5)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)))＋\r(2)))eq \s\up12(5)＝Ceq \\al(0,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)))eq \s\up12(5)＋Ceq \\al(1,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)))eq \s\up12(4)·eq \r(2)＋Ceq \\al(2,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)))eq \s\up12(3)·(eq \r(2))2＋Ceq \\al(3,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)·(eq \r(2))3＋Ceq \\al(4,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)))·(eq \r(2))4＋Ceq \\al(5,5)·(eq \r(2))5.
其中为常数项的有：
Ceq \\al(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)))eq \s\up12(4)·eq \r(2)中的第3项：Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)·eq \r(2)；
Ceq \\al(3,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)·(eq \r(2))3中的第2项：Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)·eq \f(1,2)·(eq \r(2))3；展开式的最后一项：Ceq \\al(5,5)·(eq \r(2))5.
综上可知，常数项为Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)·eq \r(2)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)·eq \f(1,2)·(eq \r(2))3＋Ceq \\al(5,5)·(eq \r(2))5＝eq \f(63\r(2),2).
法二：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋2\r(2)x＋2,2x)))eq \s\up12(5)
＝eq \f(1,32x5)·[(x＋eq \r(2))2]5＝eq \f(1,32x5)·(x＋eq \r(2))10.
求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋eq \r(2))10的展开式中含x5的项的系数，即Ceq \\al(5,10)·(eq \r(2))5，所以所求的常数项为eq \f(C\\al(5,10)·\r(2)5,32)＝eq \f(63\r(2),2).
法三：由二项式定理的原理可知，展开式的常数项为：
(eq \r(2))5＋Ceq \\al(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))(eq \r(2))3＋Ceq \\al(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(2)Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(2)(eq \r(2))＝24eq \r(2)＋eq \f(15\r(2),2)＝eq \f(63\r(2),2).