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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.1 一元线性回归模型教课课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.1 一元线性回归模型教课课件ppt，共51页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，回归直线方程，答案A，探究一，探究二，探究三，探究四，素养形成，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
“瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚,它的意思是适时的冬雪预示着来年是丰收之年,是来年庄稼获得丰收的预兆.由于冬季天气冷,雪往往不易融化,盖在土壤上的雪是比较松软的,里面藏了许多不流动的空气,空气是不传热的,这样就像给庄稼盖了一条棉被,外面天气再冷,下面的温度也不会降得很低.等到寒潮过去以后,天气渐渐回暖,雪慢慢融化,这样,不但让庄稼不受冻害,而且雪融化成的水留在土壤里,给庄稼积蓄了很多水,对春耕播种以及庄稼的生长都很有利.但是冬天下几场大雪,来年一定会获得丰收吗?
一、相关关系1.变量之间的常见关系
2.散点图(1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式,以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量.(2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图.
3.线性相关关系(1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称x与y线性相关.(2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则称这两个变量正相关.(3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上减少,则称这两个变量负相关.名师点析 两个随机变量x和y相关关系的判定方法(1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断.(2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断.(3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.
微拓展(1)散点图具有直观、简洁的特点,它形象地体现了各对数据的密切程度,我们可以根据散点图判断两个变量有没有相关关系.(2)通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的大小、高低、变动范围与趋势,还可以通过观察剔除异常数值,提高估计相关程度的准确性.(3)当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时,可在实际作图时,将横坐标与纵坐标取不同的单位长度,使画出的图像更形象、美观.
微练习5个学生的数学成绩和物理成绩如下表:则数学成绩与物理成绩之间( )A.是函数关系B.是相关关系,但相关性很弱C.具有较好的相关关系,且是正相关D.具有较好的相关关系,且是负相关解析:作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系,且是正相关.答案:C
名师点析 求回归直线方程的步骤第一步:列表;第四步:写出回归直线方程.
微练习1已知x,y的取值如下表所示:
微练习2设有一个线性回归方程为y=2-1.5x,则变量x每增加一个单位时( )A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位解析:由线性回归方程知,x每增加1个单位,y平均减少1.5个单位.答案:C
三、相关系数1.相关系数r的计算公式假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则变量间相关系数r的计算公式如下:
2.相关系数r的性质(1)|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是r>0,y与x负相关的充要条件是r<0.(2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值.(3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.
名师点析 (1)相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向的密切程度,不能揭示二者之间的本质联系.(2)判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图时,由于存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系,此时一般利用线性相关系数来判断.(3)相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确有无必要建立两变量间的线性回归方程.
微练习对于线性相关系数r,下面叙述正确的是( )A.|r|∈(0,+∞),|r|越大,相关程度越高,反之,相关程度越低B.r∈(-∞,+∞),r越大,相关程度越高,反之,相关程度越低C.|r|≤1,|r|越接近于1,相关程度越高;|r|越接近于0,相关程度越低D.以上说法都不对解析:由相关系数性质知,r∈[-1,1],排除A,B;又|r|越接近于1,相关程度越高,|r|越接近于0,相关程度越低,故选C.答案:C
四、非线性回归常见的非线性回归模型转化为线性回归模型
微拓展解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量:确定变量x,变量y.(2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型.(3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题.(4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果.(5)写出非线性回归方程.
相关关系的判断例1(1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系( )A.正方体的棱长和体积B.圆半径和圆的面积C.正n边形的边数和内角度数之和D.人的年龄和身高
(2)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断( )A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关
解析:(1)A,B,C都是函数关系,对于A,V=a3;对于B,S=πr2;对于C,g(n)=(n-2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高,故选D.(2)由图像知,变量x与y呈负相关关系;u与v呈正相关关系.答案:(1)D (2)C反思感悟 相关关系的判断方法判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.
变式训练1某公司2014—2019年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示:根据统计资料,则( )A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关系C.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系解析:由表知,利润中位数是 ×(16+18)=17,且y随x的增大而增大,故选C.答案:C
求回归直线方程例2一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下:(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求y关于x的回归直线方程.分析画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程
解:(1)画散点图如下:由上图可知y与x具有线性相关关系.
反思感悟 1.求回归直线方程的一般步骤(1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,…,n)(数据一般由题目给出).(2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系.
利用回归方程对总体进行估计例3下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归直线方程(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
反思感悟 回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图;(2)求线性回归直线方程,注意运算的正确性;(3)根据回归直线进行预测估计:估计值不是实际值,两者会有一定的误差.
变式训练2某种产品的广告费支出y(单位:百万元)与销售额x(单位:百万元)之间的关系如下表所示.(1)假定y与x之间存在线性相关关系,求其回归直线方程;(2)若广告费支出不少于60百万元,则实际销售额应不少于多少?(结果用整数作答)
非线性回归分析例4下表为收集到的一组数据:(1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系;(2)求y关于x的回归方程;(3)利用所得模型,预测x=40时y的值.分析画出散点图→确定是否线性相关→确定函数模型→转化为线性模型→求回归方程→进行拟合→进行预测
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后的样本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为:
反思感悟 非线性回归问题的处理方法1.指数函数型y=ebx+a(1)函数y=ebx+a的图像:(2)处理方法:两边取对数得ln y=ln ebx+a,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b.
2.对数函数型y=bln x+a(1)函数y=bln x+a的图像:(2)处理方法:设x'=ln x,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,+a型处理方法:设x'=x2,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.
变式训练3某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示:由经验知,年次x与利润总额y(单位:亿元)近似有如下关系:y=abxe0.其中a,b均为正数,求y关于x的回归方程.
解:对y=abxe0两边取自然对数,得ln y=ln ae0+xln b,令z=ln y,则z与x的数据如下表:由z=ln ae0+xln b及最小二乘法公式,得ln b≈0.047 7,ln ae0=2.378,
规范答题典例 已知某地平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)与平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)之间的关系如下表:(1)求y与x之间的相关系数,并判断它们是否线性相关;(2)若线性相关,求平均每单位面积蔬菜年产量y(t)与平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(kg)之间的线性回归方程,并估计平均每单位面积菜地年施氮肥150 kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量.
解:(1)根据题中数据,并用科学计算器进行有关计算,列表如下:
方法点睛 回归分析问题的答题模板第一步:由已知数据求出相关系数r.第二步:通过与r的临界值比较大小,判断y与x是否线性相关.第四步:利用回归方程进行预测.
1.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( )A.①②B.①③ C.②③D.③④解析:①③中的点分布在一条直线附近,适合线性回归模型.答案:B
2.(多选)有关线性回归的说法,正确的是( )A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直接反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任意一组数据都有回归方程解析:并不是每一组数据都有回归方程.故D不正确,其余均正确.答案:ABC
C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg解析:D选项中,若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重约为0.85×170-85.71=58.79(kg).故D选项不正确.答案:D
4.对具有线性相关关系的变量x和Y,测得一组数据如下表:若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5,则这条回归直线方程为 .
“瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚,它的意思是适时的冬雪预示着来年是丰收之年,是来年庄稼获得丰收的预兆.由于冬季天气冷,雪往往不易融化,盖在土壤上的雪是比较松软的,里面藏了许多不流动的空气,空气是不传热的,这样就像给庄稼盖了一条棉被,外面天气再冷,下面的温度也不会降得很低.等到寒潮过去以后,天气渐渐回暖,雪慢慢融化,这样,不但让庄稼不受冻害,而且雪融化成的水留在土壤里,给庄稼积蓄了很多水,对春耕播种以及庄稼的生长都很有利.但是冬天下几场大雪,来年一定会获得丰收吗?
一、相关关系1.变量之间的常见关系
2.散点图(1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式,以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量.(2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图.
3.线性相关关系(1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称x与y线性相关.(2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则称这两个变量正相关.(3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上减少,则称这两个变量负相关.名师点析 两个随机变量x和y相关关系的判定方法(1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断.(2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断.(3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.
微拓展(1)散点图具有直观、简洁的特点,它形象地体现了各对数据的密切程度,我们可以根据散点图判断两个变量有没有相关关系.(2)通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的大小、高低、变动范围与趋势,还可以通过观察剔除异常数值,提高估计相关程度的准确性.(3)当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时,可在实际作图时,将横坐标与纵坐标取不同的单位长度,使画出的图像更形象、美观.
微练习5个学生的数学成绩和物理成绩如下表:则数学成绩与物理成绩之间( )A.是函数关系B.是相关关系,但相关性很弱C.具有较好的相关关系,且是正相关D.具有较好的相关关系,且是负相关解析:作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系,且是正相关.答案:C
名师点析 求回归直线方程的步骤第一步:列表;第四步:写出回归直线方程.
微练习1已知x,y的取值如下表所示:
微练习2设有一个线性回归方程为y=2-1.5x,则变量x每增加一个单位时( )A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位解析:由线性回归方程知,x每增加1个单位,y平均减少1.5个单位.答案:C
三、相关系数1.相关系数r的计算公式假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则变量间相关系数r的计算公式如下:
2.相关系数r的性质(1)|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是r>0,y与x负相关的充要条件是r<0.(2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值.(3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.
名师点析 (1)相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向的密切程度,不能揭示二者之间的本质联系.(2)判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图时,由于存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系,此时一般利用线性相关系数来判断.(3)相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确有无必要建立两变量间的线性回归方程.
微练习对于线性相关系数r,下面叙述正确的是( )A.|r|∈(0,+∞),|r|越大,相关程度越高,反之,相关程度越低B.r∈(-∞,+∞),r越大,相关程度越高,反之,相关程度越低C.|r|≤1,|r|越接近于1,相关程度越高;|r|越接近于0,相关程度越低D.以上说法都不对解析:由相关系数性质知,r∈[-1,1],排除A,B;又|r|越接近于1,相关程度越高,|r|越接近于0,相关程度越低,故选C.答案:C
四、非线性回归常见的非线性回归模型转化为线性回归模型
微拓展解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量:确定变量x,变量y.(2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型.(3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题.(4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果.(5)写出非线性回归方程.
相关关系的判断例1(1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系( )A.正方体的棱长和体积B.圆半径和圆的面积C.正n边形的边数和内角度数之和D.人的年龄和身高
(2)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断( )A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关
解析:(1)A,B,C都是函数关系,对于A,V=a3;对于B,S=πr2;对于C,g(n)=(n-2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高,故选D.(2)由图像知,变量x与y呈负相关关系;u与v呈正相关关系.答案:(1)D (2)C反思感悟 相关关系的判断方法判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.
变式训练1某公司2014—2019年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示:根据统计资料,则( )A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关系C.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系解析:由表知,利润中位数是 ×(16+18)=17,且y随x的增大而增大,故选C.答案:C
求回归直线方程例2一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下:(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求y关于x的回归直线方程.分析画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程
解:(1)画散点图如下:由上图可知y与x具有线性相关关系.
反思感悟 1.求回归直线方程的一般步骤(1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,…,n)(数据一般由题目给出).(2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系.
利用回归方程对总体进行估计例3下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归直线方程(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
反思感悟 回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图;(2)求线性回归直线方程,注意运算的正确性;(3)根据回归直线进行预测估计:估计值不是实际值,两者会有一定的误差.
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非线性回归分析例4下表为收集到的一组数据:(1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系;(2)求y关于x的回归方程;(3)利用所得模型,预测x=40时y的值.分析画出散点图→确定是否线性相关→确定函数模型→转化为线性模型→求回归方程→进行拟合→进行预测
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后的样本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为:
反思感悟 非线性回归问题的处理方法1.指数函数型y=ebx+a(1)函数y=ebx+a的图像:(2)处理方法:两边取对数得ln y=ln ebx+a,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b.
2.对数函数型y=bln x+a(1)函数y=bln x+a的图像:(2)处理方法:设x'=ln x,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,+a型处理方法:设x'=x2,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.
变式训练3某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示:由经验知,年次x与利润总额y(单位:亿元)近似有如下关系:y=abxe0.其中a,b均为正数,求y关于x的回归方程.
解:对y=abxe0两边取自然对数,得ln y=ln ae0+xln b,令z=ln y,则z与x的数据如下表:由z=ln ae0+xln b及最小二乘法公式,得ln b≈0.047 7,ln ae0=2.378,
规范答题典例 已知某地平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)与平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)之间的关系如下表:(1)求y与x之间的相关系数,并判断它们是否线性相关;(2)若线性相关,求平均每单位面积蔬菜年产量y(t)与平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(kg)之间的线性回归方程,并估计平均每单位面积菜地年施氮肥150 kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量.
解:(1)根据题中数据,并用科学计算器进行有关计算,列表如下:
方法点睛 回归分析问题的答题模板第一步:由已知数据求出相关系数r.第二步:通过与r的临界值比较大小,判断y与x是否线性相关.第四步:利用回归方程进行预测.
1.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( )A.①②B.①③ C.②③D.③④解析:①③中的点分布在一条直线附近,适合线性回归模型.答案:B
2.(多选)有关线性回归的说法,正确的是( )A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直接反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任意一组数据都有回归方程解析:并不是每一组数据都有回归方程.故D不正确,其余均正确.答案:ABC
C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg解析:D选项中,若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重约为0.85×170-85.71=58.79(kg).故D选项不正确.答案:D
4.对具有线性相关关系的变量x和Y,测得一组数据如下表:若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5,则这条回归直线方程为 .
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