高中数学人教版新课标A选修4-5一 比较法练习题

 www.ks5u.com第二讲  证明不等式的基本方法

2.1  比较法

A级　基础巩固

一、选择题

1．若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)

A．p＜q　　　B．p≤q　　　C．p＞q　　　D．p≥q

解析：因为p－q＝＋－a－b＝≤0，所以p≤q.

答案：B

2．已知a，b都是正数，P＝， Q＝，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P＞Q   B．P＜Q

C．P≥Q   D．P≤Q

解析：因为a，b都是正数，

所以P＞0，Q＞0.

所以P2－Q2＝－()2＝≤0.

所以P2－Q2≤0.所以P≤Q.

答案：D

3．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列一定正确的是(　　)

A．ac≥b   B．ab≥c

C．bc≥a   D．ab≤c

解析：因为logac·logbc＝＝4，

所以lg2c＝4lg a·lg b≤(lg a＋lg b)2＝(lg ab)2.

又c＞1，a＞1，b＞1，

所以lg c≤lg ab，即c≤ab.

答案：B

4．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为(　　)

A．a5＞b5   B．a5＜b5

C．a5＝b5  D．不确定

解析：由等比数列的性质知a5＝，由等差数列的性质知b5＝2b3－b1.又a1≠a3，

故a5－b5＝－2b3＋b1＝＝＞0.

因此，a5＞b5.

答案：A

5．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P＞Q   B．P＜Q

C．P＝Q   D．大小不确定

解析：P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，0＜＜1，

所以loga＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，所以loga＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.故应选A.

答案：A

二、填空题

6．若－1＜a＜b＜0，则，， a2，b2中最小的是________．

解析：依题意，有＞，a2＞b2，故只需比较与b2的大小．

因为b2＞0，＜0，

所以＜b2.所以，，a2，b2中最小的是.

答案：

7．设x＝a2b2＋5， y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件是________．

解析：由x＞y得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，故a＝－2，b＝－不同时成立．

答案：a＝－2，b＝－不同时成立

8．若0＜a＜b＜1，P＝log，Q＝(loga＋logb)，M＝log (a＋b)，则P，Q，M的大小关系是________．

解析：因为0＜a＜b＜1，所以＞，

所以log＜log＝log (ab)＝

(loga＋logb)，即P＜Q，又＜a＋b，

所以log＞log (a＋b)，即P＞M，所以Q＞P＞M.

答案：Q＞P＞M

三、解答题

9．已知a∈R，求证：3(1＋a2＋a4)≥(1＋a＋a2)2.

证明：3(1＋a2＋a4)－(1＋a＋a2)2＝3(1＋a2＋a4)－(1＋a2＋a4＋2a＋2a3＋2a2)＝2－2a－2a3＋2a4＝2(1－a)2(1＋a＋a2)≥0，即3(1＋a2＋a4)≥(1＋a＋a2)2.

10．已知a，b，c∈R＋，求证：aabbcc≥(abc).

证明：因为a，b，c是正数，不妨设a≥b≥c＞0，

则≥1，≥1，≥1.

因为＝abc＝·≥1，

所以aabbcc≥(abc).

B级　能力提升

1．已知a＞b＞0， c＞d＞0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是(　　)

A．m＜n   B．m＞n

C．m≥n   D．m≤n

解析：因为a＞b＞0，c＞d＞0，

所以ac＞bd＞0，＞，

所以m＞0，n＞0.

又因为m2＝ac＋bd－2，n2＝ac＋bd－(ad＋bc)，

又由ad＋bc＞2，

所以－2＞－ad－bc，

所以m2＞n2，所以m＞n.

答案：B

2．已知a＞0，对于大于1的自然数n，总有＜，则a的取值范围是________．

解析：因为0＜a＜a，且＞，所以0＜a＜1.

答案：(0，1)

3．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；

(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.

证明：(1)由于x≥1，y≥1，

所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy) 2.

将上式中的右式减左式，得y＋x＋(xy)2]－xy(x＋y)＋1]＝(xy)2－1]－xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)·(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．

既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.

从而所要证明的不等式成立．

(2)设logab＝x，logbc＝y，

由换底公式得logca＝，logba＝，logab＝，logac＝xy.

于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.

故由(1)成立知所要证明的不等式成立．