数学人教版第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质教学设计

这是一份数学人教版第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质教学设计，共4页。
27.2.2 相似三角形的性质
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的20米缩短成12米．现在的问题是：被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
图27－2－159
[说明与建议] 说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的积极性，设置悬念，从而激发学生的求知欲．通过让学生思考时感到困难，解决不了这个问题，让学生带着问题进行新课的学习，同时教师引出新课．
建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．
归纳导入 (1)在如图27－2－160所示的方格纸(每个小方格的边长为1个单位)上，画出一个与已知△ABC相似，但相似比不为1的格点△A1B1C1(每小组至少画两种情况)．
(2)分别计算：△ABC与△A1B1C1的相似比、周长比及面积比，然后填表；
图27－2－160
从上表中可以看出，当相似比等于k时，周长比等于__k__，面积比等于__k2__．
由此可以猜想：相似三角形周长的比等于__相似比__，面积的比等于__相似比的平方__．
[说明与建议] 说明：学生经历动手试验－观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系．注重学生动手试验、探索的过程，并利用小组合作的方式，培养学生的合作意识．
建议：猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．通过比例的基本性质和相似三角形的性质进行证明．
素材二 考情考向分析
[命题角度1] 利用相似三角形对应线段的性质求线段长
相似三角形的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．把求线段长问题转化为三角形的相似来研究，要学会灵活地运用这种方法解决相关问题．
例 百色中考如图27－2－161，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD＝5，CD＝3，DE＝4，则BF的长为(B)
图27－2－161
A.eq \f(32,3) B.eq \f(16,3) C.eq \f(10,3) D.eq \f(8,3)
[命题角度2] 利用相似三角形的性质求周长比
相似三角形的对应中线之比、对应高线之比和对应角平分线之比都等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比，根据此性质可以求三角形的周长或边长、中线、高线长等．
例 湘西中考如图27－2－162，在▱ABCD中，E是AD边的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是(A)
图27－2－162
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
[命题角度3] 利用相似比求面积
由相似三角形的相似比、周长的比等求相似三角形的面积的比，就是把相似比或周长的比平方即可．
例 南京中考若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为(C)
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1
[命题角度4] 相似三角形性质与判定的综合应用
此类题目常需先判定三角形相似，再求得相似比，最后根据相似三角形的性质求解．做题时注意各性质之间的转化，同时注意常见几何图形的性质的应用．
例 在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图27－2－163所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为(D)
图27－2－163
A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5
素材三 图书增值练习
[当堂检测]
1. 如图，在正方形网格中，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（ ）
A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处
2. （2013柳州）小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），同时在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（ ）
A．10米 B．12米
C．15米 D．22.5米
3. （2013北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
4. 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/秒，点E运动的速度为2 cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是多长？
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．解：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，
①若△ADE∽△ABC，则，∴，解得x＝3；
②若△ADE∽△ACB，则，∴，解得x＝4.8．
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
素材四 数学素养提升
《生活中的“立体相似”》
生活中的“立体相似”有两种：一是立体图形相似，二是通过立体空间来寻找相似平面或线段，再利用相似的性质解决实际问题．
问题1：暑假，妈妈叫小颖到市场买一种“竹节鱼”，小颖发现，条条鱼都长得非常相似，但有两种不同的价格：鱼A长10cm的10元/条，鱼B长13cm的每条15元．你帮小颖算算，买哪种鱼合算？
分析：这里要用到“立体相似”的知识，但没有学过．我们只有用数学的类比方法，有面积比等于相似比的平方，可得到体积比是相似比的立方．
因此，B对A的相似比是13∶10，则体积比就是2197∶1000≈2.197
而B对A的价格比是15∶10=1.5﹤2.197，显然买鱼B合算．
把相似概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把他们叫做相似体．他们的一切性质可以类比．
问题2：某同学座位到黑板的距离是5米，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使该同学望去时，与他看课桌上相距30cm的课本（课本字高0.4cm，宽0.35cm）感觉相同（即视觉相同）？
分析：这个问题虽然不是相似体，但也可以看成生活中的“立体相似”，转化成平面图形的相似．
假设老师在黑板上写字x平方厘米，要使视觉相同，有
解得X≈39平方厘米
或者假设老师在黑板上写的字高a、宽b，
有，，解得a≈6.7cm ，b≈5.8cm
所以，老师应写高约7厘米、宽6厘米的字．相似比
周长比
面积比
△A1B1C1∽△ABC