初中数学华师大版九年级上册第23章 图形的相似23.3 相似三角形1. 相似三角形第3课时教案

这是一份初中数学华师大版九年级上册第23章 图形的相似23.3 相似三角形1. 相似三角形第3课时教案，共6页。

第3课时 相似三角形判定定理3
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
复习导入 (1)复习两个三角形相似的判定定理1，2与全等三角形的判定方法(SSS，SAS)的区别与联系；
(2)观察两副三角尺，其中同样角度(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的；
(3)如果两个三角形有两组角对应相等，那么它们一定相似吗？
[说明与建议] 说明：从复习两个三角形相似的判定1与全等三角形的判定定理(SSS)及两个三角形相似的判定定理2与全等三角形的判定定理(SAS)的区别与联系来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间由一般到特殊﹑由特殊到一般的关系．
建议：通过观察同样角度的两个三角尺，可以发现：两个三角尺大小可能不同，但它们的形状相同．学生从实物的比较中容易直观地得到：如果两个三角形有两组角对应相等，那么它们很可能相似．
悬念激趣 脑筋急转弯：用放大镜不能放大的东西是什么？(猜一数学图形)
提出问题：在放大镜下看到的三角形与原三角形相比，边长变化了吗？角度变化了吗？两个图形的形状相同吗？
图27－2－109
[说明与建议] 说明：通过脑筋急转弯的方式，吸引学生的注意力，让学生在课堂的一开始就充满兴趣．
建议：引导学生回答：(1)两个三角形的三个角相等吗？三条边对应成比例吗？(2)两个三角形相似吗？为本节课的学习做好铺垫．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第36页练习第2题
如图27－2－110，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：
(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC.
图27－2－110
【模型建立】
在直角三角形中，作斜边上的高，可以得到三对相似三角形．这是旧教材中的知识点“射影定理”的基本图形．
直角三角形射影定理(又叫欧几里德定理)：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)AD2＝BD·DC；(2)AB2＝BD·BC；(3)AC2＝CD·BC.
【变式变形】
1．教材P43习题27.2第7题如图27－2－111，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB＝4 cm，BC＝10 cm，求BD的长．[答案：BD＝1.6 cm]
图27－2－111
2．如图27－2－112，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC.
图27－2－112
(1)图中共有几对相似三角形？
(2)请选择其中的一对给予证明．
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°.
∵∠A是公共角，
∴△ADE∽△ABC.
同理：△BCD∽△BAC，△ACD∽△ABC，△CDE∽△CAD，
∴△ADE∽△DCE∽△CBD∽△ACD∽△ABC，
∴图中有10对相似三角形．
(2)选择△BCD∽△BAC.
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°.
∵∠B是公共角，
∴△BCD∽△BAC.
3．上海模拟如图27－2－113，在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，给出下列条件：
①∠ABD＝∠ACB；②AB2＝AD·AC；③AD·BC＝AB·BD；
④AB·BC＝AC·BD.
其中能够单独判定△ABD∽△ACB的有(B)
图27－2－113
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图27－2－114所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，过点D作DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点E，交AB于点F，试找出图中的相似三角形，并用相似符号表示．
图27－2－114
[答案：△ABC∽△DEC, △AEF∽△DEC, △DBF∽△AEF, △ABC∽△AEF, △ABC∽△DBF, △DBF∽△DEC]
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用判定定理证明两个三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似，根据此判定定理判定两三角形相似时，需注意公共角、对顶角这些明显相等的角，除此之外，还经常用到“三角形的内角和为180°”这个定理．例如本课素材二[教材母题挖掘]．
[命题角度2] 灵活运用相似三角形判定方法判定两三角形相似
识别两个三角形相似常有以下几种方法：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；②平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；④两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；⑤两角分别相等的两个三角形相似．
例 赵县期末如图27－2－115，在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D(不与点A，C重合)，过点D作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有__3__条．
图27－2－115
[命题角度3] 相似三角形的判定与其他知识的综合应用
此类题目常结合四边形、三角形或圆的一些知识综合应用，做题时需从复杂图形中抽离出简单图形，再根据相关图形的性质解决．
例 广东中考如图27－2－116，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.
图27－2－116
(1)求证：E是BC边的中点；
(2)求证：BC2＝BD·BA；
(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．
证明：(1)连接CD.∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∵ED切⊙O于点D，EC切⊙O于点C，∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD.∵∠ECD＋∠B＝∠EDC＋∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，∴BE＝ED，∴BE＝ED＝EC，即E是BC边的中点．
(2)在△BDC与△BCA中，∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，
∴△BDC∽△BCA，∴eq \f(BD,BC)＝eq \f(BC,BA)，即BC2＝BD·BA.
(3)∵以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，∴∠DEB＝90°.
∵ED＝BE，
∴∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．
素材四 图书增值练习
[当堂检测]
1．如图，△ABC内接于⊙O，AD是∠ABC的平分线，交BC于点M，交⊙O于点D．则图中相似三角形共有（ ）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对

2．如图所示，△ABC是直角三角形，∠C=90°，点D是直角边AC上一点，若过D点的直线交AB于点E，设得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3. 如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，交AD于F，则图中相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB．其中相似的为（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③
5. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，求树高AB．
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．D
5． 解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB．
∴BC:EF＝DC:DE.
∵DE＝40 cm＝0.4 m，EF＝20 cm＝0.2 m，CD＝8 m，
∴BC:0.2＝8:0.4，
∴BC＝4 m，∴树高AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)．
素材六 数学素养提升