高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试学案

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三角函数
【知识网络】
任意角的概念
弧长公式
角度制与
弧度制
同角三角函数的基本关系式
诱导
公式
计算与化简
证明恒等式
任意角的
三角函数
三角函数的
图像和性质
已知三角函数值求角
图像和性质
和角公式
倍角公式
差角公式
应用
应用
应用
应用
应用
应用
应用
一、任意角的概念与弧度制
1、将沿轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
轴上角：
轴上角：
3、第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
4、区分第一象限角、锐角以及小于的角
第一象限角：
锐角： 小于的角：
若为第二象限角，那么为第几象限角？


所以在第一、三象限
弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作.
7、角度与弧度的转化：
8、角度与弧度对应表：
9、弧长与面积计算公式
弧长：；面积：，注意：这里的均为弧度制.
二、任意角的三角函数
1、正弦：；余弦；正切
其中为角终边上任意点坐标，.
2、三角函数值对应表：
3、三角函数在各象限中的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）


第一象限： sin0,cs0,tan0,
第二象限： sin0,cs0,tan0,
第三象限： sin0,cs0,tan0,
第四象限： sin0,cs0,tan0,
三角函数线
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向
延长线交于点T.
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
5、同角三角函数基本关系式
(，，，三式之间可以互相表示)
诱导公式
口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是中整数的奇偶性，把看作锐角)
；.
①.公式（一）：与
；；
②.公式（二）：与
；；
③.公式（三）：与
；；
④.公式（四）：与
；；
⑤.公式（五）：与
；；
⑥.公式（六）：与
；；
⑦.公式（七）：与
；；
⑧.公式（八）：与
；；
三角函数的图像与性质
1、将函数的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象。
2、函数的性质：
= 1 \* GB3 ①振幅：； = 2 \* GB3 ②周期：； = 3 \* GB3 ③频率：； = 4 \* GB3 ④相位：； = 5 \* GB3 ⑤初相：。
周期函数：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期.
4、⑴ 对称轴：令，得
对称中心：，得，；
⑵ 对称轴：令，得；
对称中心：，得，；
⑶周期公式:
①函数及的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).
②函数的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).
5、三角函数的图像与性质表格
6. 五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。
7. 的的图像
8. 函数的变换：
（1）函数的平移变换
① 将图像沿轴向左（右）平移个单位
（左加右减）
② 将图像沿轴向上（下）平移个单位
（上加下减）
（2）函数的伸缩变换：
① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长）
② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短）
（3）函数的对称变换：
) 将图像绕轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
将图像绕轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
③ 将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动）
四、三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：



=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ，该法也叫合一变形).

二倍角公式

（2）
（3）
3. 降幂公式：
（2）
4. 升幂公式
（2）
（4）
5. 半角公式（符号的选择由所在的象限确定）
（1）， （2） ，
（3）
6. 万能公式:
（1）, （2）,
（3）
7.三角形中常用的关系：
， ， ，
，
8. 常见数据：，
, ,
章末测试
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列角中终边与330°相同的角是( )
A．30° B．－30°
C．630° D．－630°
2．如果cs(π＋A)＝－eq \f(1,2)，那么sin(eq \f(π,2)＋A)＝( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
3．半径为π cm，圆心角为60°所对的弧长是( )
A.eq \f(π,3) cm B.eq \f(π2,3) cm
C.eq \f(2π,3) cm D.eq \f(2π2,3) cm
4．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
A．(－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)) B．(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4))
C．(π，eq \f(3π,2)) D．(eq \f(3π,2)，2π)
5．函数y＝tan(eq \f(π,2)－x)(x∈[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]且x≠0)的值域为( )
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)
6．要得到函数y＝sin(2x－eq \f(π,4))的图象，可以把函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度
B．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
C．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
7．若函数f(x)＝sineq \f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(2π,3)
C.eq \f(3π,2) D.eq \f(5π,3)
8．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，所得图象经过点(eq \f(3π,4)，0)，则ω的最小值是( )
A.eq \f(1,3) B．1
C.eq \f(5,3) D．2
9．已知函数f(x)＝2sin(ωx－eq \f(π,6))－eq \f(1,2)(ω>0)和g(x)＝eq \f(1,2)cs(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，eq \f(π,2)]，则f(x)的取值范围是( )
A．[－eq \f(5,2)，eq \f(3,2)] B．[－eq \f(1,2)，eq \f(3,2)]
C．[－eq \f(3,2)，eq \f(3,2)] D．[－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)]
10.
函数y＝cs(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2eq \r(2)，则该函数图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝eq \f(2,π) B．x＝eq \f(π,2)
C．x＝1 D．x＝2
二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．化简：eq \f(1,tan450°－xtan810°－x)·eq \f(cs360°－x,sin－x)
＝________.
12．将函数f(x)＝2cs(eq \f(x,3)＋eq \f(π,6))的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为________．
]
13．函数y＝tan(eq \f(x,2)＋eq \f(π,4))的递增区间是________．
14．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，eq \f(π,3)]上的最大值为eq \r(2)，则ω＝________.
15．有下列说法：
①函数y＝－cs 2x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝eq \f(kπ,2)，k∈Z}；
③在同一直角坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋eq \f(π,3))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－eq \f(π,2))在[0，π]上是减函数．
其中，正确的说法是________．(填序号)
三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知角α的终边经过点P(－3,4)，求：
eq \f(2sinπ－α·cs2π－α＋1,cs2α＋sin\f(π,2)－α·cs\f(3π,2)＋α)的值．
17.已知tan α、eq \f(1,tan α)是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两实根，且3π<α18．已知函数f(x)＝3tan(2x－eq \f(π,3))．
(1)求f(x)的定义域；
(2)比较f(eq \f(π,2))与f(－eq \f(π,8))的大小．
19．已知函数f(x)＝eq \r(2)sin(2x－eq \f(π,4))．
(1)利用“五点法”，按照列表——描点——连线三步，画出函数f(x)在一个周期上的图象；
(2)当x∈[－eq \f(π,2)，eq \f(π,8)]时，f(x)－a＝0有解，求实数a的取值范围．
角度
弧度
度
弧度
无
无
函
数
性
质
图像
定义域
值域
最值
当时，；
当时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴