高中数学必修一期末复习试卷 精讲01 集合与常用逻辑（解析版）

这是一份高中数学必修一期末复习试卷 精讲01 集合与常用逻辑（解析版），共16页。
集合是刻画一类事物的语言和工具，使用集合语言可以简洁、准确地表述数学的研究对象，提升数学抽象素养.常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言，使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，可以提高交流的严谨性与准确性，提升逻辑推理素养.
《课程标准（2017年版）》将集合与常用逻辑用语作为高中数学课程的预备知识，要求学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的数学内容，实现从具体的初中数学知识向较为抽象的高中数学知识的过渡，为高中数学学习做好知识与技能、方法与习惯、能力与态度方面的准备.
【重要知识点与题型快速预览】
【知识点精解精析】
基础知识点一：集合元素的互异性
在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．
基础知识点二：集合与集合之间的关系
集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.
基础知识点三：集合与集合之间的运算
并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
基础知识点四：充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)分类：
①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；
②充分不必要条件：p⇒q，q p；
③必要不充分条件：q⇒p，p q；
④既不充分也不必要条件：p q且q p．
基础知识点五：全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题．
全称量词用符号“∀”表示．
全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题．
存在量词用符号“∃”表示．
特称命题用符号简记为∃x∈M，p(x)．
基础知识点六：含有一个量词的命题的否定
【必知必会题型深度讲解】
必知必会题型一：集合间关系的判断方法
判断集合间关系的方法有三种：
（1）观察法：把集合中的元素一一列举出来，通过直观观察进行判断.
（2）集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清元素的特征，再利用元素的特征判断关系.
（3）数形结合法：利用数轴或Venn图.
【典型例题1】已知集合，，判断这两个集合之间的关系.
【答案】
【解析】
因为，，所以.
因为，，所以.
故，，
所以.
【典型例题2】已知集合，集合，试判断与之间的关系，并说明理由．
【答案】A是B的真子集.，理由见解析
【解析】
因为，
则的几何意义是轴上的点到定点与点的距离之差．即．
∵三角形两边之差的绝对值小于第三边，
∴且，，三点不共线，即．
∴．即；
又，
∴A是B的真子集.
【典型例题3】设集合.
（1）若，判断集合与的关系；
（2）若，求实数组成的集合.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
集合.
（1）若则，于是
（2）若，则，分如下两种情形讨论
①当时，，符合题意；
②当时，由，得或.
故实数组成的集合.
必知必会题型二：根据两集合的关系求参数的范围（值）
（1）要明确集合中的元素，若出现包含关系，一般需对子集是不是空集进行分类讨论，做到不漏解.
（2）若集合中的元素是一一列举出来的，常依据集合间的关系转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式（组）的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.
【典型例题1】已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，，
∴；
（2）∵，∴，则有:
，解之得：.
∴实数的取值范围是
【典型例题2】全集，，且，且.
（1）求集合B，；
（2）若集合，则集合A、B、D的关系是什么？
【答案】（1）；；（2），，.
【解析】
解：（1），，且，且.
所以，
所以；
（2），，；
；
所以，，．
【典型例题3】已知集合， ．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
①函数的定义域为集合；②不等式的解集为．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析.
【解析】
解：选条件①：
可知函数的定义域为集合，
则，
（1）根据题意，当时，，，
则，
又或，则.
（2）根据题意，，，
若，则，分种情况讨论：
①当时，有，解得：；
②当时，若有，则有，解得：，
综上可得，的取值范围是．
选条件②：
可知不等式的解集为，则或，
（1）根据题意，当时，，或，
则或，
又或，则或.
（2）根据题意，，或，
若，则，分种情况讨论：
①当时，有，解得：；
②当时，若有，则或，
解得：或，
综上可得，的取值范围是．
必知必会题型三：数轴与Venn图的应用
进行集合的交、并、补综合运算时，通常需要借助Venn图或数轴，数形结合来分析得出结果.
一般来说，用列举法表示的数集，借助Venn图运算；用描述法表示的数集（以不等式（组）的解集为代表），借助数轴分析得出结果.另外，研究比较抽象的集合之间的关系时，也通常需要画出Venn图，将抽象问题直观化，即用重叠区域表达集合间的交集运算，用合并区域表达集合间的并集运算.
【典型例题1】已知集合，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为集合 或，.
所以；
（2）因为，且，如图所示：
所以，
故实数的取值范围.
【典型例题2】已知集合A＝{x|x4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，
（1）A∪B=R，求实数a的取值范围
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）a2.
【解析】
（1）由题意可得，解得且，
所以实数a的取值范围为
(2) ①当B＝时，只需2a>a＋3，即a>3；
②当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a0；
（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
（3）p：a能被6整除，q：a能被3整除；
（4）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．
【答案】（1）p是q的必要条件，q是p的充分条件；（2）p是q的必要条件，q是p的充分条件；（3）p是q的充分条件，q是p的必要条件；（4）p是q的必要条件，q是p的充分条件．
【解析】
解：（1）p：x2>0则x>0，或x0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
（3）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
（4）p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
必知必会题型六：利用充分、必要条件求参数的取值范围
利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解．
【典型例题1】已知，，，且“”是“”的充分不必要条件.
（1）求；
（2）求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1），，；
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，，
设，由题意可知，不等式在区间上恒成立，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
【典型例题2】已知，，.
（1）判断是p是q什么条件；
（2）如果q是r的充要条件，求a的值.
【答案】（1）p是q的充分不必要条件；（2）
【解析】
（1）因为，整理得，
解方程，得两根，
所以的解集为.
因为，
所以p是q的充分不必要条件.
（2）因为q是r的充要条件，
所以不等式的解集是.
因此，是方程的两根，
由方程根与系数的关系（即韦达定理）得：
，解得.
【典型例题3】已知集合，非空集合.
（1）若，则是的什么条件；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）必要不充分条件；（2）.
【解析】
（1）当时,集合，则.
∴是的必要不充分条件；
（2）因为是的必要条件，所以，
又，所以，解得，
所以的取值范围是.
必知必会题型七：与全称或特称命题有关的参数取值范围问题
（1）全称命题求参数范围的问题常以一次函数、二次函数、对数函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围．
（2）特称命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立．
【典型例题1】已知命题“”为假命题；命题“q：”为真命题，求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】
若为真命题时，有解，
因为函数的值域为，
∴，即；
故当为假命题时，；
q：为真命题，
∵函数为开口向上的二次函数，
故只需当，即；
∵假真，∴．
【典型例题2】已知集合，
（1）若命题是真命题，求m的取值范围；
（2）命题是真命题，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）因为命题是真命题，所以，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，m的取值范围为.
（2）因为是真命题，所以，
所以，即，所以，
所以只需满足即可，即.
故m的取值范围为.
【典型例题3】已知函数，．
（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）;（2）
【解析】
（1）由题设知：，
∵在上递减，在上递增，∴
又∵在上递减，∴
∴有，的范围为
（2）由题设知，
∴有，即，∴的范围为
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)