精讲04 指数函数与对数函数（解析版）试卷

这是一份精讲04 指数函数与对数函数（解析版）试卷，共26页。
专题04指数函数与对数函数 【专题综述与核心素养要求】指数函数与对数函数是一对密切配合的函数，它们互为反函数，是最基本、应用最广泛的两类函数，是进一步学习数学的基础.利用代数运算和函数图象数形结合地研究指数函数、对数函数的性质，不仅能使学生理解这两个函数所蕴含的运算规律，掌握通过图象直观（定性）和数学运算（定量）获得函数性质的方法，而且有助于学生进一步理解函数概念，感受函数所蕴含的数学基本思想和方法.通过利用指数函数和对数函数建立数学模型解决实际问题的训练，可以使学生进一步掌握用函数刻画运动变化现象的思想方法，理解函数模型是刻画客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，积累数学活动经验.在“预备知识”主题中，学生经历了梳理二次函数知识，学习用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建立二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，进而用二次函数的性质研究一元二次不等式的解的过程，从中感悟了数学知识之间的关联，认识了函数的重要性.在“函数概念与性质”一章的学习中，学生经历了分析具体实例、归纳共同特征、抽象概括函数的一般概念的过程，知道了函数不仅可以理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，更一般地，函数是两个实数集之间的对应关系，感悟了数学抽象的层次性；在已有的通过图象直观研究函数性质的经验基础上，进一步学习了用代数运算揭示函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等主要性质的方法；通过“幂函数”的学习，学生初步理解了研究一类函数的内容、过程（定义、表示—图象与性质—应用）和方法.本章将在这些学习的基础上展开.【重要知识点与题型快速预览】【知识点精解精析】基础知识点一：指数函数的定义函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.理解指数函数的定义需注意几个问题：①指数含（，且）解析式的结构特征：i.的系数为1；ii.底数是大于0且不等于1的常数.②规定底数大于零且不等于1的理由：如果，当如果，比如，这时对于，，，在实数范围内函数值不存在.如果，则是一个常量，对它就没有研究的必要了.为了避免上述各种情况，所以规定且.基础知识点二：指数函数的图象与性质 图象性质定义域值域过定点图象过定点，即当时，单调性在上减函数在上是增函数函数值的变化范围当时，当时，当时，当时，当时，当时， 基础知识点三：对数的定义、性质与对数恒等式定义一般地，如果（且）的次幂等于，即，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做对数的真数性质负数和0无对数1的对数等于0，即（，且）（，且）提醒（，且）.（1）对数恒等式（，且，）.证明：设（，且），根据对数与指数间的关系得，将其代入，得.温馨提示公式称为对数恒等式，在应用时，注意公式的结构特点及各字母的取值范围，即，且，.（2）指数与对数的关系根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当，且时，.用图表示为：基础知识点四：对数的运算法则如果，且，，，，那么我们有：运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数 基础知识点五：对数函数的定义、图象和性质一般地，函数（，且，）叫做对数函数，对数函数（，且，）的图象和性质如下表所示： 图象性质定义域值域过定点单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化范围当时，当时，当时，当时，当时，当时， 基础知识点六：底数对对数函数图象的影响（1）设，，其中，（或，），当时“底打图低”，即若，则；当时“底打图高”，即若，则.这一性质可通过下图帮助理解，其中，，，，分别是函数，，，的图象，则必有.（2）在同一坐标系中，（，）的图象与（，）的图象关于轴对称.基础知识点七：对数函数与指数函数的关系（1）函数（，且）与（，且）互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线对称.（2）函数（，且）与（，且）都是单调函数，都不具有奇偶性.当时，它们是增函数；当时，它们是减函数.（3）指数函数与对数函数的对比 指数函数（且）对数函数（且）定义域值域图象性质当时，当时，当时，函数单调递增.当时，；当时，当时，函数单调递增.当时，；当时，当时，函数单调递减.当时，；当时，当时，函数单调递减.当时，；当时， 【必知必会题型深度讲解】必知必会题型一：根式、指数和对数的运算根式、指数和对数的运算要注意几个方面：一是把根式化成指数幂的形式；二是借助公式把底数化成同底；三是注意指数与对数间的关系和转化；四是掌握指数和对数运算的公式.【典型例题1】化简下列各式：（1）；（2）【答案】（1）0；（2）1.【解析】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式.（2）由对数的运算性质，可得原式. 【典型例题2】求下列各式的值（1）；（2）.【答案】（1）2；（2）10.【解析】（1）原式；（2）原式【典型例题3】已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）-1（2）【解析】解：由得，.所以；由得，所以. 必知必会题型二：比较幂值大小的方法（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以用比商法或数形结合法或用幂函数的单调性来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较；（4）对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0，1的大小作比较）进行分组，再比较各组数的大小即可.【典型例题1】已知，，，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，而，所以，因此.故选：B 【典型例题2】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：由函数在上单调递增，所以，由于函数在上单调递减，所以，由于函数在上单调递增，所以，故.故选：A. 【典型例题3】已知，，则这三个数的大小关系是(   )A．m<n<p B．m<p<n C．p<m<n D．p<n<m【答案】C【解析】设函数f（x）=0.9x，g（x）=5.1x，h（x）=log0.9x则f（x）单调递减，g（x）单调递增，h（x）单调递减∴0＜f（5.1）=0.95.1＜0.90=1，即0＜m＜1g（0.9）=5.10.9＞5.10=1，即n＞1h（5.1）=log0.95.1＜log0.91=0，即p＜0∴p＜m＜n故选C． 必知必会题型三：有关指数函数图象问题的解题思路（1）利用指数函数图象可解决有关的比较大小、研究单调性、求方程解的个数、求值域或最值等问题.（2）对于指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到相应函数的图象.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.【典型例题1】已知函数（1）作出其图象；（2）由图象指出单调区间；（3）由图象指出当取何值时函数有最小值，最小值为多少？【答案】（1）见解析；（2）减区间为，增区间为；（3）当时，函数取得最小值.【解析】（1），该函数的图象如下图所示：（2）由（1）中的图象可知，函数的减区间为，增区间为；（3）由（1）中的图象可知，当时，函数取最小值. 【典型例题2】已知函数．（1）作出函数的图象；（2）若，且，求证：．【答案】（1）图象见解析；（2）证明见解析.【解析】（1），其图象如图所示． （2）由图知， 在上是减函数，在上是增函数，故结合条件知必有．若，则，，所以；若，则由，得，即，所以．综上知，总有． 【典型例题3】已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.（1）求实数的值；（2）解不等式；（3）有两个不等实根时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】解：（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2)又因为A点在上，则：（2）由题意知：而在定义域上单调递增，知，即∴不等式的解集为（3）由知：，方程有两个不等实根若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示由图像可知：，故b的取值范围为 必知必会题型四：指数型复合函数的性质的应用（1）与指数函数有关的复合函数基本上有两类：①（，且）；②（，且）.无论是哪一类，都要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间.具体问题中，的取值不定时，要对进行分类讨论.（2）对于形如（，且）一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与的定义域相同；②先确定函数的值域，再根据指数函数的单调性确定函数的值域；③当时，函数与函数的单调性相同；当时，函数与函数的单调性相反.【典型例题1】求下列函数的单调区间．（1）（2）y＝.【答案】（1）答案见解析（2）单调递增区间为和，无递减区间.【解析】（1）令，则，因为在上递减，在上递增，所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，得，令，则，因为，所以函数在和上都是减函数，因为在和上都是减函数，所以函数在和上都是增函数，故函数的单调递增区间为和，无递减区间. 【典型例题2】函数是奇函数．（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）函数是奇函数，，故，故；（2）当时，恒成立，即在恒成立，令，，显然在的最小值是，故，解得：． 【典型例题3】求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.（1）； （2）；（3）； （4）.【答案】（1）定义域：，值域：，减区间：；（2）定义域：，值域：，减区间：和；（3）定义域：R，值域：，增区间：，减区间：；（4）值域，减区间：，增区间：【解析】（1）由得，所以定义域为，又，所以，，所以值域中，在上是减函数，所以的减区间是；（2）由得，所以定义域是，又，所以值域是，在和上都是增函数，所以的减区间是和；（3）定义域是，又，所以值域中，在上递增，在上递减，所以的增区间，减区间是；（4）定义域是，令，由，所以，，所以，值域，又在上递减，在上递增，而是减函数，所以的减区间是，增区间． 必知必会题型五：指数方程与指数不等式的解法（1）指数方程：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程.（2）指数方程的常见类型和求解方法：①形如（，且）的方程，化为求解；②形如（，且）的方程，用换元法求解.（3）指数不等式的常见类型为（，且）.①当时，转化为求解；②当时，转化为求解.【典型例题1】解下列指数方程：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1），故，∴，∴，得.（2）可化为.方程两边同除以，得，∴（负舍去）.解方程得. 【典型例题2】解下列对数方程：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）或（4）或【解析】解（1）.解得.（2）.解得或.检验：∵且，∴是增根，舍去.所以方程的解为.（3）.设，原方程化为.解得，，.经检验：或都是原方程的根.（4），即.设，原方程化为.解得或.或.经检验：或都是原方程的根. 【典型例题3】已知指数函数，当时，有，解关于x的不等式【答案】【解析】因为指数函数，当时，有所以又则且解得： 必知必会题型六：对数型单调性的判定方法解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三是要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则.【典型例题1】求下列函数的单调区间：（1）；（2）.【答案】（1）增区间，减区间；（2）增区间，减区间【解析】（1）由题意知，依据二次函数的图象可得或.且在上单调递减，在上单调递增.又是上的减函数，∴所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）令，且在上单调递减. 又在上单调递增，在上单调递减，由，得，由，得.故所求函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【典型例题2】已知.（1）求的定义域;（2）讨论的单调性;（3）.求在区间上的值域.【答案】（1）；（2）在上增函数；（3）【解析】（1）由，得，解得.所以定义域为：；（2）由在上为增函数，且为增函数，所以在上为增函数；（3）由（2）知函数单调递增， ，.所以在区间上的值域为. 【典型例题3】对于．（1）的定义域为和值域为时的取值范围一样吗？若不一样，请分别求出的取值范围．（2）实数取何值时在上有意义？实数取何值时的定义域为？（3）实数取何值时的值域为？（4）实数取何值时在上是增函数？【答案】（1）不一样,详见解析；（2）；；（3）；（4）.【解析】设，则，．（1）不一样．的定义域为恒成立，，即，解得的取值范围为．的值域为，即的值域为至少取遍所有的正实数，，则，解得的取值范围为．（2）若在上有意义，则对于任意恒成立，则，或，解得实数的取值范围为．由的定义域为，可得二次不等式的解集为，所以，则．（3）易知的值域是，又的值域是，所以，所以．（4）命题等价于在上为减函数，且对任意的恒成立，则，解得，故的取值范围为． 必知必会题型七：函数零点存在性的判断解题时有的学生不理解函数图象与方程的根的联系，误认为是证明f（x）的图象与x轴相交于两个不同的点，从而着眼于证f（x1）f（x2）<0，导致证明错误.将问题转化为函数F（x）=f（x）-的图象与x轴相交于两个不同的点是解题的关键所在.【典型例题1】函数的零点一定位于区间（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数f（x）＝在其定义域上连续，f（2）＝2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；故函数的零点在区间（2，3）上，故选B． 【典型例题2】函数的零点所在的区间是（    ）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】B【解析】函数是上的增函数,是上的增函数,故函数是上的增函数.,,则时,;时,,因为,所以函数在区间上存在零点.故选:B. 【典型例题3】求下列函数的零点的个数：（1）；（2）.【答案】（1）1个；（2）1个【解析】解：方法一：（1）∵，，∴，∴在（0，1）内有零点.又∵在R上是单调增函数，∴在R上有且只有一个零点.（2）∵，，函数在区间内有零点，又∵在R上是单调增函数，∴在R上有且只有一个零点.方法二： （1）函数的零点，即方程的根，也即的根，令，，在同一坐标系中作出两个函数的大致图象，如图，由图知与的图象有且只有一个交点，即函数只有一个零点.（2）函数的零点，即方程的根，也即的根.令，，在同一坐标系中作出两个函数的大致图象，如图由图知与的图象有且只有一个交点，即函数只有一个零点. 必知必会题型八：建立拟合函数模型解决实际问题由于实际问题信息量大，有时还会出现一些陌生词，所以审题时要抓住主动、被动变量，围绕寻找主动、被动变量的关系去检索题目信息，搭建模型框架再逐步细化框架.当一组数据所对应的拟合函数关系不确定时，可根据题设条件，将这几个拟合函数求出来，再根据题中的其他条件，对这几个拟台函数的可靠性作出评估，选出拟合性更好的函数.【典型例题1】美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：；对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）9千万元.【解析】（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设，因为每投入千万元，公司获得毛收入千万元，故，所以，因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.对于芯片，由图像可知，，故.因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），假设利润为，则利润.令，则，当即（千万元）时，有最大利润为（千万元）.答：当对芯片投入亿，对芯片投入千万元时，有最大利润千万元. 【典型例题2】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得万元万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的．（即：设奖励方案函数模型为时，则公司对函数模型的基本要求是:当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立．）（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围．（参考结论：函数的增区间为、，减区间为、）【答案】（1）函数模型，不符合公司要求；详见解析；（2）.【解析】（1）对于函数模型，当时，函数是单调递增函数，则显然恒成立，若函数恒成立，即，解得，则不恒成立，综上所述，函数模型，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型，不符合公司要求；（2）当时，单调递增，函数的最大值为，由题意可得，解得.设恒成立，恒成立，即，对于函数，由题意可知，该函数在处取得最小值，即，，，.因此，实数的取值范围是. 【典型例题3】用清水洗一堆衣服上残留的污渍，用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，现作如下假定：用单位的水清洗次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数.（1）(ⅰ)试解释与的实际意义；(ⅱ)写出函数应该满足的条件或具有的性质；(写出至少条，不需要证明)（2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由.【答案】（1）(ⅰ)答案见解析；(ⅱ)答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）(ⅰ)，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变，表示用个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的(ⅱ)函数的定义域为，值域为，在上单调递减（2）设清洗前衣服上的污渍为，用单位量的水清洗次后，残留的污渍为则如果用单位的水清洗次，则残留的污渍为然后再用单位的水清洗次后，残留的污渍为.由于，所以，的符号由决定当时，，此时，把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少当时，，此时，两种清洗方法效果相同当时，，此时，用单位的水清洗一次，残留的污渍较少