2020-2021学年第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教案设计

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1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数
与 的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象
【例题1】已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值
为________.
【答案】c
【解析】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
知识点2：二次函数y=ax2+k的图象及平移
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减.
【例题2】二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
【答案】D
【解析】二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.
注意：1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
【例题3】如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的
坐标．
【答案】见解析。
【解析】抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得
此时P点坐标为
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得
此时P点坐标为
二次函数y=ax2+k的图象和性质 过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1．二次函数y＝x2-4图像的对称轴是（ ）
A．直线x=0B．直线x=2C．直线x=4D．直线x= −4
【答案】A
【解析】根据二次函数的图象和性质得出对称轴的结论．
根据函数解析式，得出对称轴为：直线．
2．抛物线y＝-3x2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）．
A．向下，（0，-4）B．向下，（0，4）
C．向上，（0，4）D．向上，（0，-4）
【答案】B
【解析】抛物线y＝-3x2＋4
∵
∴抛物线y＝-3x2＋4开口向下
当时，y＝-3x2＋4取最大值，即y＝4
∴顶点坐标为
3．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是
C．当时，函数的最大值是D．抛物线与轴有两个交点
【答案】C
【解析】 所以图像的开口向下，故A错误，
抛物线的对称轴是轴，故B错误，
当时，函数的最大值是，故C正确，
由图像可知：抛物线与轴没有交点，故D错误。
4．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线B．轴C．直线D．直线
【答案】B
【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．
∵抛物线的顶点坐标为（0，1），
∴对称轴是直线x＝0，即：y轴。
5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（ ）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6
C．x1，x2D．x1＝﹣4，x2＝0
【答案】A
【解析】二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1＝0，求得a，代入方程a（x﹣2）2+1＝0即可得到结论．
∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），
∴4a+1＝0，
∴a，
∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程（x﹣2）2+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
6.将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【解析】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x2﹣9，令x2﹣9=0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．
将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度，
其解析式变换为：y=x2﹣9
而抛物线y=x2﹣9与x轴的交点的纵坐标为0，
所以有：x2﹣9=0
解得：x1=﹣3，x2=3，
则抛物线y=x2﹣9与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0），
所以，抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6
7.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A B C D
【答案】C
【解析】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
8.已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（ ）
A．1，3B．3，﹣4C．1，﹣3D．3，﹣3
【答案】A
【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），则向左平移h个单位，再向下平移k个单位后的坐标为：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），
∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+2+h）2﹣k﹣1．
又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．
∴2+h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，
∴h＝1，k＝3
二、填空题（每空4分，共24分）
9．将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 ．
【答案】y＝x2+2．
【解析】
二次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y＝x2+2．
10．如果点和点是抛物线上的两点，那么______．（填“＞”、“=”、“＜”）．
【答案】＜
【解析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，再比较即可．
∵，
∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵−3＜−2＜0，∴y1＜y2，故答案为：＜．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．
11．在直角坐标平面内，抛物线在轴__________侧图像上升(填“左”或“右”) ．
【答案】左
【解析】先确定抛物线开口方向，再确定对称轴，利用抛物线的性质确定即可．
抛物线的对称轴为y轴，a=-1