高中数学专题复习：专题复习（三）——立体几何 Word版含解析学案

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专题复习（三）—— 立体几何
（一） 知识梳理
1.多面体的结构特征
(1)
(2)
(3)棱台：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．
2.旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
3.直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
4．三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l

6.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥体(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝S底h
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

7.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①正方体的外接球，则2R＝a；
②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
8．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
9．空间中两直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：
(3)平行公理和等角定理
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

10．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系

图形语言
符号语言
公共点
直线
与平面
相交

a∩α＝A
1个
平行

a∥α
0 个
在平面内

a⊂α
无数个
平面与平面
平行

α∥β
0个
相交

α∩β＝l
无数个
11．直线与平面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形




条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，
α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
12.面面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形




条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，
a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，
a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α

13．直线与平面垂直的判定与性质

图形
条件
结论
判定

a⊥b，b⊂α(b为α内的任意直线)
a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O
a⊥α

a∥b，a⊥α
b⊥α
性质

a⊥α，b⊂α
a⊥b

a⊥α，b⊥α
a∥b

14.平面与平面垂直的判定与性质

文字语言
图形语言
符号语言
判
定


如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β
性
质
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面


⇒ l⊥α
15.直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围：θ∈.
16．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：过二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.
17．空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
||＝0
单位向量
长度(模)为1的向量
||＝1
相等向量
方向相同且模相等的向量
＝
相反向量
方向相反且模相等的向量
的相反向量为－
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
∥
共面向量
平行于同一平面的向量
∥α，∥α
18.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量， (≠0)，∥存在唯一的实数λ，使得＝λ.
(2)共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面⇔存在惟一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得＝x＋y＋z，把{，， }叫做空间的一个基底．
19．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作〈，〉，其范围是0≤〈，〉≤π，若〈，〉＝，则称与互相垂直，记作⊥.
②两向量的数量积：已知空间两个非零向量，，则||||cos〈，〉叫做向量，的数量积，记作·，即·＝||||cos〈，〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λ)·＝λ(·)；
②交换律：·＝·；
③分配律：·(＋)＝·＋·.
20．空间向量的坐标表示及其应用
设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
·
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
＝λ(≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
·＝0
(≠0，≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
||

夹角
〈，〉(≠0，≠0)
cos〈，〉＝

21．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设，是平面α内两不共线向量，为平面α的法向量，则求法向量的方程组为.
22．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ ∥.
(2)设直线l的方向向量为，与平面α共面的两个不共线向量为和，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使＝x＋y.
(3)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥.
(4)设平面α和β的法向量分别为，，则α∥β⇔ ∥.
23．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1⊥l2⊥·＝0.
(2)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥.
(3)设平面α和β的法向量分别为和，则α⊥β⊥·＝0.

24．两条异面直线所成角的求法
设，分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

l1与l2所成的角θ
与的夹角β
范围
(0，]
0，π]
求法


25.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为θ，与的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝，θ∈0，]．
26．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小
θ＝〈，〉．θ∈0，π]．

(2)如图②③，，分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
|cos θ|＝|cos〈，〉|，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)．

27．利用空间向量求距离

(1)两点间的距离
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝.

(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，为平面α的法向量，
则B到平面α的距离为.

（二）考点剖析
考点一：线面平行、面面平行的判定与性质
例1：如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，
M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
(1)求证：BE∥平面DMF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.
解：（1）证明：如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线 BE∥MO
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF BE∥平面DMF.
（2）证明：N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG DE∥平面MNG
又M为AB的中点 MN为△ABD的中位线 BD∥MN
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG BD∥平面MNG
又 平面BDE∥平面MNG.
考点释疑：(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行．
(2)证明两个平面平行的方法有：①用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；③借助“传递性”来完成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
考点二：线面垂直、面面垂直的判定与性质
例 2：如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)平面BEF⊥平面PCD.
解： (1) 证明：平面PAD⊥底面ABCD，
, PA⊥底面ABCD.
(2) 证明：AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形 BE⊥CD，AD⊥CD
由(1)知PA⊥底面ABCD 又 PA⊥CD
又PA∩AD＝A， CD⊥平面PAD
又
又E，F分别是CD和PC的中点 为的中位线 PD∥EF CD⊥EF
又CD⊥BE，EF∩BE＝E， CD⊥平面BEF
又CD⊂平面PCD 平面BEF⊥平面PCD.
考点释疑：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
(3)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
考点三：异面直线所成的角
例3：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求直线BM与直线AN所成角的余弦值.
解：如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系C­xyz
设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，
＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，
设直线BM与直线AN所成角为θ.
则cos θ=|cos|=＝＝.
直线BM与直线AN所成角的余弦值为.
考点释疑：用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：
①选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
③利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
④两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．
考点四：直线与平面所成的角
例4：如图，已知在六面体ABCDEF中，四边形ABCD与DBFE均为菱形，且AB＝BD＝DF，AF＝CF. 求直线FA与平面FBC所成角的余弦值．
解：如图，连接AC交BD于点O，连接FO
四边形ABCD是菱形 AC⊥BD
AF＝CF，O为AC的中点 FO⊥AC
四边形DBFE是菱形，且BD＝DF △DBF为等边三角形
又O为BD的中点 FO⊥BD
又AC∩BD＝O， FO⊥平面ABCD OA，OB，OF两两垂直．
如图，以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系
设AB＝2，则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝
O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，D(0，－1,0) ＝(，1,0)，＝(0，－1，)，＝(，0，－)
设平面FBC的一个法向量为
则，取
设直线FA与平面FBC所成的角为θ.
则
又0°≤θ≤90° .
考点释疑：利用向量法求线面角的方法：
①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．　
考点五：二面角
例5：如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2， AB1＝，求二面角C-AB1-A1的余弦值．
解：连接AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．
取CC1的中点O，连接OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1
又，CC1⊥平面OAB1
又 CC1⊥AB1
又OA＝OB1＝=，且AB1＝
OA⊥OB1 两两垂直
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.
则C(0，－1,0)，B1(，0,0)，A(0,0，)，A1(0，2，)
＝(0，－1，－)，＝(，0，－)， ＝(0,2,0)
设平面CAB1的一个法向量为
则，取
设平面A1AB1的法向量为
则，取

由图可知，该二面角C-AB1-A1为钝角 二面角C-AB1-A1的余弦值为－.
考点释疑：二面角问题一般有两种方法，方法一：定义法——构造出二面角的平面角，通过解三角形计算；方法二：坐标法——建立恰当坐标系，求出两个平面的法向量n1，n2，利用 cos 〈n1，n2〉＝求出．(结合图形取“±”号)　　
考点六：点到平面的距离
例6：如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，
点D是AA1的中点，求点A1到平面 DBC1的距离．
解：过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∵正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝4，点D是AA1的中点
∴B(2，2,0)，C1(0,4,4)，D(0,0,2)，A1(0,0,4)，
∴＝(2，2，－2)，＝(0,4,2)，＝(0,0,2)，
设平面BDC1的一个法向量为
，取
∴点A1到平面DBC1的距离
即点A1到平面DBC1的距离为.
考点释疑：求点到平面的距离一般有以下三种方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．　

（三）历年高考真题训练
1、（2011年高考全国卷Ⅰ）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.









2、（2012年高考全国卷Ⅰ）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角 的大小.



















3、（2013年高考全国卷Ⅰ）如图，三棱柱中，，，.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，求直线与所成角的正弦值．










4、（2014年高考全国卷Ⅰ）如图三棱柱中，侧面为菱形，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.
















5、（2015年高考全国卷Ⅰ）如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，，，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值.














6、（2016年高考全国卷Ⅰ）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面都是．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．















7、（2017年高考全国卷Ⅰ）如图，在四棱锥中，，且.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值.

























历年高考真题训练参考答案
1、解：（Ⅰ）, 由余弦定理得

，从而，故
又，
又，
又
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又 两两垂直
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.
设，则,,,

设平面PAB的一个法向量为，
则，取
设平面PBC的一个法向量为
则，取
.
由图可知，该二面角为钝角.
二面角A-PB-C的余弦值为.
2、解：（Ⅰ）在中，
同理
又，，
又
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又，
又 两两垂直.
如图，以原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，
，，
设平面的一个法向量为
则，取
设平面的一个法向量为
则，取
.
由图可知，该二面角为锐角
二面角的大小为.
3、解：（Ⅰ）证明：取的中点，连结，，.

，
为等边三角形
又，

又
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，
又，，
两两垂直.
如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，
，，
设的一个法向量为
则，取
设直线与所成角为
则.
直线与所成角的正弦值为.
4、（Ⅰ）证明： 侧面为菱形，令
又, ，
又
又为的中点
（Ⅱ），且为的中点
又
即 两两垂直
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，
，，
设的一个法向量为
则，取
设的一个法向量为
则，取

由图可知，该二面角为锐角.
二面角的余弦值为.
5、解：（Ⅰ）连接交于点，连接，，
在菱形中，不妨设，由，可得.
，
又，
，
在中，可得
.
在中，可得.
在直角梯形中，由，，可得

又，
又
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系
由（Ⅰ）可得，，，
，
设直线与直线所成角为
则
直线与直线所成角的余弦值为.
6、解：（Ⅰ）为正方形

又，

又

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，，

又，

四边形为等腰梯形.
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系
设，则，，，
则，，
设平面的一个法向量为
则，取
设平面的一个法向量为
则，取

由图可知，该二面角为钝角.
二面角的余弦值为.
7、解：（Ⅰ） ，
又
又，
又
（Ⅱ）如图，取的中点，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，
，，
设平面的一个法向量为
，取
设平面的一个法向量为
，取

由图可知，该二面角为钝角.
二面角的余弦值为.