初中数学第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教案及反思

教学目的

会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质.

教学重点

会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质.

教学内容

知识要点

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的画法

方　　法：描点法．

步　　骤：(1)把y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；

(2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)在对称轴的两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图．

2．顶点坐标公式

抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是     ，对称轴是直线        　.

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大(小)值

规　　律：(1)自变量x的取值范围是全体实数，当x＝－时，y最值＝，当a>0时，在x＝－处取得最小值，当a<0时，在x＝－处取得最大值；

(2)自变量x的取值范围是x1≤x≤x2.

①x1≤－≤x2，则当x＝－时，y最值＝；

②当－>x2或－<x1时，函数的最值即为函数在x＝x1，x＝x2时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存在的．

对应练习

1．二次函数y＝﹣3x2+6x变形为y＝a（x+m）2+n形式，正确的是（　　）

A. y＝﹣3（x+1）2﹣3

B. y＝﹣3（x﹣1）2﹣3

C. y＝﹣3（x+1）2+3

D. y＝﹣3（x﹣1）2+3

2．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是（　　）

•                             A. x＝1
•                             B. x＝﹣1
•                             C. x＝2
•                             D. x＝﹣2

3．抛物线y＝x2+2x-3的最小值是(　　)

•                             A. 3
•                             B. -3
•                             C. 4
•                             D. -4

4．点P1（-1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（ ）

•                             A. y3＞y2＞y1
•                             B. y3＞y1=y2
•                             C. y1＞y2＞y3
•                             D. y1=y2＞y3

5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（　　）

•                             A. B. C. D.

6．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（　　）

•                             A. （2，﹣1）
•                             B. （﹣2，1）
•                             C. （﹣2，﹣1）
•                             D. （2，1）

7点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1    y2．

8．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是    ．

8．如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝     ．

9．若二次函数 的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是     ．

10．已知二次函数y＝x2﹣4x+5．
（1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？

11．已知二次函数y＝x2﹣4x+3.
①求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
②求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
③直接写出y＞0时x的范围

12．已知二次函数y＝-2x2+8x-6，完成下列各题：
(1)将函数关系式用配方法化为y＝a(x+h)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；
(2)它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求S△ABC．

课后作业

1．将二次函数y＝x2+2x+2化成顶点式，变形正确的是（　　）

•                             A. y＝x（x+2）+2
•                             B. y＝（x﹣1）2+3
•                             C. y＝（x+1）2﹣1
•                             D. y＝（x+1）2+1

2．抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是(　　)

•                             A. 直线x=2
•                             B. 直线x=-2
•                             C. 直线x=1
•                             D. 直线x=-1

3．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的最小值为（　　）

•                             A. 5
•                             B. 0
•                             C. ﹣3
•                             D. ﹣4

4．若二次函数y＝x2﹣6x+9的图象，经过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，y1，y2，y3大小关系正确的是（　　） A. y1＞y2＞y3

•                             B. y1＞y3＞y2
•                             C. y2＞y1＞y3
•                             D. y3＞y1＞y2

5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（　　）

•                             A. B. C. D.

6.点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1    y2．

7．若抛物线y＝x2-kx+k-1的顶点在x轴上，则k＝    ．

8．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3.
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y＜0.

9．已知抛物线y＝﹣x2+4x+5.
（1）用配方法将y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）若抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1＞x2＞2，试比较y1与y2的大小.

练习参考答案

1. D
2. A
3. D
4. D
5. A
6. B
7. ＜
8. x＝3
9.  
10.  解：（1）y＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1，即y＝（x﹣2）2+1；
    （2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）；
    （3）根据（1）、（2）的结论画出二次函数的大致图象（如图所示），从图象中可知，当x≥2时，y随x的增大而增大．
     
11.  解：①∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
    ∴该函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）；
    ②当x＝0时，y＝3，
    当y＝0时，0＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1），得x1＝3，x2＝1，
    即该函数图象与坐标轴的交点为（0，3），（1，0），（3，0）；
    ③∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象开口向上，与x轴的交点为（1，0），（3，0），
    ∴y＞0时x的取值范围是x＜1或x＞3.
12.  解：(1)y＝-2x2+8x-6
    ＝-2(x2-4x+3)
    ＝-2(x2-4x+4-4+3．
    ＝-2(x-2)2+2，
    ∴顶点坐标为(2，2)，对称轴为直线x＝2．
    (2)令-2(x-2)2+2＝0
    解得：x1＝3，x2＝1．
    ∴A(3，0)，B(1，0)
    ∴AB＝3-1＝2．
    ∴C(2，2)，
    ∴S△ABC＝×2×2＝2．

作业参考答案

1. D
2. C
3. D
4. A
5. C
6. ＜
7. 2
8. 解：（1）y＝x2﹣4x+4﹣4+3，
   ＝（x﹣2）2﹣1；
   （2）对称轴为直线x＝2，
   顶点坐标为（2，﹣1）；
   （3）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
   解得x1＝1，x2＝3，
   ∵二次项系数1＞0，
   ∴当1＜x＜3时，y＜0.
9. 解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣x2+4x﹣4+4+5＝﹣（x﹣2）2+9，
   即y＝﹣（x﹣2）2+9；
   （2）∵a＝﹣1＜0，
   ∴抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为（2，9），对称轴为直线x＝2；
   （3）∵抛物线的对称轴方程为x＝2，
   ∵x1＞x2＞2，
   ∴A，B在对称轴的右侧，
   ∵a＝﹣1＜0，
   ∴抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
   ∵x1＞x2＞2，
   ∴y1＜y2