2021届新高考地区（广东）模拟试题分类精编09 不等式

这是一份2021届新高考地区（广东）模拟试题分类精编09 不等式，共22页。试卷主要包含了多选题，单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、多选题
1．（2021·广东模拟）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·珠海市第二中学模拟）若，则（ ）
A．B．的最小值为10
C．D．的最小值为9
3．（2021·广东模拟）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·广东梅州市·二模）若，下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·广东二模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·广东专题练习）已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·广东韶关市·一模）设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·广东揭阳市·一模）已知等比数列的公比为，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021·广东广州市·月考）已知实数，，，则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．存在a，b，使得直线与圆相切
10．（2021·广东）下列命题为真命题的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
11．（2021·广东佛山市·石门中学）设为正实数，下列命题正确的有（ ）
A．若，则；
B．若，则；
C．若，则；
D．若，则.
12．（2021·广东深圳市·深圳外国语学校月考）已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·广东）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设，则（ ）
A．函数为减函数B．
C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h
二、单选题
14．（2021·广东珠海市·二模）已知，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·广东珠海市·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·广东惠州市·二模）已知正数，，满足，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．以上均不对
17．（2021·广东茂名市·二模）已知、、是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数、满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
18．（2021·广东茂名市·二模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
19．（2021·广东广州市·二模）已知双曲线的左､右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
20．（2021·广东揭阳市·一模）在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A．48B．49C．50D．51
21．（2021·普宁市华侨中学二模）已知，，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
22．（2021·广东专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
23．（2021·广东汕头市·一模）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．D．
三、填空题
24．（2021·广东汕头市·三模）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.
25．（2021·广东揭阳市·一模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，，则的面积的最大值为_______________.
26．（2021·广东专题练习）已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．
2021届新高考地区（广东）模拟试题分类精编
09 不等式（答案解析）
1．ACD
【分析】
由，得到，根据不等式的性质，可判定A正确；根据的单调性，可判定B错误；根据对数的运算性质，可判定C项正确；结合基本不等式，可判定D正确.
【解析】
因为，可得，所以，所以A正确；
又由函数为单调递减函数，所以，所以B错误；
由，，所以，所以C项正确；
由，所以，
当且仅当，时等号成立，所以D项正确.
故选：ACD.
2．AB
【分析】
根据不等式的基本性质和基本不等式进行求解判断即可.
【解析】
因为，所以，，故A正确，C错误；
因为，
当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为10，因此B正确；
因为，当且仅当时，等号成立，但，取不到2，所以的最小值不是9，因此D不正确，
故选：AB
3．BCD
【分析】
根据特殊值法，可排除A；利用基本不等式，可判断BC正确；由作差法，可判断D正确.
【解析】
对于A，令，则，故A不正确；
对于B，，当且仅当，即时，等号成立；故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，由，所以，，则，故D正确.
故选：BCD.
【小结】
4．AC
【分析】
根据题中条件，先得到；由特殊值，，可排除BD；
利用作差法比较与，可判断A正确；作差比较与，可判断C正确.
【解析】
因为，所以；
A选项，，即A正确；
B选项，若，，则，故B错；
C选项，因为，，，
所以，即C正确；
D选，若，，则，故D错.
故选：AC.
5．ABD
【分析】
利用将化为关于的二次函数形式，结合的范围可求得A正确；
由，利用基本不等式可知B正确；
由可知C错误；
利用基本不等式可求得，结合对数函数单调性可求得D正确.
【解析】
对于A，，，，，解得：，
，
当时，，，A正确；
对于B，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，，，，，C错误；
对于D，（当且仅当时取等号），，
，D正确.
故选：ABD.
6．BC
【分析】
构造函数，利用单调性得出，再由不等式的性质逐一判断即可.
【解析】
由，可得，设，可知该函数为增函数，所以，因而，A错误；，B正确；又，所以，C正确；由可得，与已知矛盾，D错误.
故选：BC．
【小结】
关键小结：解决本题的关键在于构造函数，由其单调性得出的大小关系.
7．BCD
【分析】
根据直线与圆的位置关系可得排除A，再由均值不等式判断CD即可.
【解析】
由可得，
故圆的直径是4，
所以直线过圆心，即，故B正确；
又，均为正数，所以由均值不等式，当且仅当时等号成立；故C正确；
又，
当且仅当，即，即时，等号成立，故D正确.
故选：BCD
8．AC
【分析】
由等比数列的通项公式可得，，，，再代入四个选项，结合基本不等式和一元二次不等式的性质得到答案.
【解析】
因为等比数列的公比为，且
所以，，，，
因为，故A正确；
因为，当时式子为负数，故B错误；
因为，故C正确；
因为，存在使得，故D错误.
故选：AC
9．BC
【分析】
分别利用基本不等式可化简判断.
【解析】
实数，，，
对A，，当且仅当，即时等号成立，故A错误；
对B，，当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，可得，则，
，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对D，圆心到直线的距离，（），故直线与圆相交，故D错误.
故选：BC.
10．AC
【分析】
根据不等式的性质，指数函数的性质，以及基本不等式，逐项判定，即可求解.
【解析】
对于A，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，取，，此时，所以B不正确；
对于C，因为，，所以，所以，故C正确；
对于D，当时，，所以D不正确.
故选：AC．
11．AD
【分析】
将，分解变形为，即可证明，即；
可通过举反例的方法证明其错误性；
若，去掉绝对值，将分解变形为，即可证明，同理当时也可证明，从而命题④正确．
【解析】
若，则，即，
，，即，该选项正确；
若，可取，，则，该选项错误；
若，则可取，，而，该选项错误；
由，
若，则，即，即，
，，即
若，则，即，即，
，，即
该选项正确；
故选：AD
【小结】
方法小结：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.要根据已知灵活选择.
12．ABD
【分析】
对于，证明成立，故正确；
对于，证明，故正确．
对于，证明，故不正确；故错误；
对于,证明，故正确．
【解析】
对于，，，成立，故正确；
对于，，，，解得，， ，故正确．
对于，，故不正确；故错误；
对于，，，故正确．
故选：ABD
【小结】
本题主要考查不等式的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．AC
【分析】
先求出的关系，得，判断单调性；
列出时间关于的函数，再转化为的式子，可判断B；
利用与的关系，把表示为的函数，可求最小值；
作差可心比较与3的大小．
【解析】
A.∵，∴，
由题意，在上是减函数，A正确．
B.，整理得，B错误；
C.由A、B得，即时取等号，
由，解得，C正确；
D.时，，，，D错．
故选：AC.
【小结】
本题考查函数模型的应用，解题时通过引入参数使问题得到了简化，便于求最小值．
14．C
【分析】
由给定条件分析出a>0，b<0及a与b间的关系，针对各选项逐一讨论即可得解.
【解析】
因，，则a>0，b<0，，A不正确；，则，B不正确；
又，即，则，，C正确；由得，D不正确.
故选：C
15．B
【分析】
通过解不等式分别求出集合、，进而可求得.
【解析】
由得，所以；
由得，所以.
所以，.
故选：B.
16．A
【分析】
将看成常数，然后根据题意表示出，再作差比较出大小即可
【解析】
解：由，得，则，得，
所以，所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，即
所以，
所以，
综上，
故选：A
17．B
【分析】
由题知，再结合向量三点共线得，再结合基本不等式求解即可得答案.
【解析】
∵，∴，
由于、、是直线上三个相异的点，
所以，又，，
由基本不等式得，
当且仅当时取等号．
故选：B．
【小结】
结论小结：设是平面内不共线的斜率，若存在实数使得，则当时，三点共线，反之，当三点共线时，.
易错小结：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
18．D
【分析】
先由分式不等式的解法求得集合A，再根据指数函数的值域求得集合B，利用集合的交集运算可得选项．
【解析】
∵集合，∴集合，
∴，∴．
故选：D．
19．C
【分析】
设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【解析】
根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，
， ，
，
当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入，可得 ，即，即 ．
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选：C
【小结】
方法小结：本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题
20．B
【分析】
建立平面直角坐标系，假设点坐标，然后得到，然后代入并结合基本不等式进行计算即可.
【解析】
如图，建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，，因为，
所以，，.
因为，所以，，
所以.
当且仅当，即，时取等号.
故选: B.
21．A
【分析】
首先根据两直线垂直，得，再利用基本不等式求的最小值.
【解析】
，，，

，
当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A
【小结】
关键点小结：本题的关键是利用“1”的变换，即构造，变形展开后能利用基本不等式求最值.
22．D
【分析】
先求两个集合，再根据并集的定义求.
【解析】
由指数函数的值域可知，
，解得：，
即，则.
故选：D
23．B
【分析】
由，得到，则，再利用基本不等式求解.
【解析】
因为
所以
所以
，
当且仅当，即取等号
所以的最小值为8
故选：B
【小结】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
24．
【分析】
根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.
【解析】
解：函数（且）的图象恒过定点A，
，
点A在直线上，
，
又，，
，
，当且仅当，即时等号成立，
所以mn的最大值为，
故答案为：.
25．
【分析】
利用余弦定理可得，然后可得，最后计算三角形面积并使用不等式进行计算可得结果.
【解析】
由余弦定理可得，
化简得，则，
则的面积.
故答案为：
26．
【分析】
由题意可知直线过圆心，即，，利用基本不等式求最值.
【解析】
由题意可知直线过圆心，即

当且仅当时，又
即时等号成立，
故的最小值为9.
故答案为：9
【小结】
本题考查圆的性质和基本不等式求最值，意在考查基本计算能力，属于基础题型.