江苏省盱眙县都梁中学2020-2021学年高二下学期期末名师备考卷数学（理）试卷+答案

这是一份江苏省盱眙县都梁中学2020-2021学年高二下学期期末名师备考卷数学（理）试卷+答案，共20页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，设，，，则，，的大小关系为，已知，将图象向左平移个单位，函数及，则及的图象可能为，数列满足且对任意，，，则等内容，欢迎下载使用。

理 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
，
所以，故选C．
2．已知，则“”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；
z为纯虚数，故必要性成立，
故答案选B．
3．某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈情况，随机抽取了这8类商品，收集了这几类商品分别在新规实施前后的消费者评价得分，绘制成如图所示的雷达图．根据统计图判断，下面的叙述一定不正确的是（ ）
A．新规实施后，类商品的评价得分提升幅度最大
B．新规实施后，类商品的评价得分低于新规实施前
C．这类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分
D．有类商品的评价得分高于新规实施前
【答案】D
【解析】对于A，由雷达图知，类商品在新规实施前后的评价得分差最大，A正确；
对于B，由雷达图知，新规实施后，类商品的评价得分均低于新规实施前，B正确；
对于C，新规实施后，除类商品外，其余类商品的评价得分均高于新规实施前，且增长幅度超过评价得分下降幅度，则类商品评价得分的平均分高于新规实施前，C正确；
对于D，两类商品评价得分低于新规实施前，其余类商品评价得分高于新规实施前，D错误，
故选D．
4．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【解析】由已知，到直线的距离为，
所以当或时，即或时，满足条件的三角形有且只有一个．
所以对于A，符合，故三角形有一解；
对于B：当时，符合，故三角形有两解；
对于C：符合，故三角形有一解；
对于D：符合，故三角形有一解，
故选B．
5．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】指数函数分别是R上的增函数和减函数，，
则，
对数函数在上单调递增，，则，
所以有，即，故选D．
6．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．36B．48C．72D．120
【答案】B
【解析】先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法；
②若高一学生中间无高三学生，有种排法，
所以共有种排法，故选B．
7．已知，将图象向左平移个单位（）得到函数的图象，函数的一个对称轴为，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．为奇函数
C．D．
【答案】D
【解析】，
将图象向左平移个单位（）得到函数，
函数的一个对称轴为，
，即，，
，时，，
，
，，为偶函数，，
综上可知ABC错误，D正确，故选D．
8．函数及，则及的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，单调递减，单调递减，
所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C；
当时，单调递减，单调递增，
所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上，
∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求，
故选B．
9．已知，，，设函数，当时，取得最小值，
则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
由题意，，解得，
所以在方向上的投影为，故选D．
10．数列满足且对任意，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为数列满足且对任意，，，
所以，，
所以，
所以是以2为公比的等比数列，
所以，则，
当时，，解得，
所以，故选B．
11．已知双曲线的上焦点为，过作一条直线与直线垂直，
若与双曲线的上､下支均有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，直线的斜率为，则的方程为．
设与双曲线上､下支的交点分别为，，
联立直线与双曲线方程，消去得，
由与双曲线上､下支均有交点，得，且，
由韦达定理得，则，
即，则，
可得且，解得，
所以离心率的取值范围是，故选B．
12．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，
则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】构造函数，，
当时，，故，在上单调递增，
又为偶函数，为偶函数，
所以为偶函数，在单调递减．
，则，；，
当时，即，，所以；
当时，即，，所以，
综上所述，，故选A．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_________．
【答案】180
【解析】，
由题意，此不等式组只有一解，因此（）．
，，
所以常数项为，故答案为180．
14．正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______．
【答案】
【解析】如下图，正三棱台，将其补全为三棱锥，为其高，
∴正三棱台的体积，
由题设易知，
∴设，则，即三棱锥的高，
故的高为1，
∴，
故答案为．
15．已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，
则的最小值为__________．
【答案】3
【解析】作出点A关于直线的对称点，如图：
设点，则有，解得，即，
而C(2，0)，
由圆的性质知：圆外点P与圆C上点Q距离满足(当且仅当Q是线段PC与圆C的交点时取“=”)，
连接交直线于点O，P为直线上任意一点，连接(线段PC交圆C于点Q)，
则，
当且仅当点P在线段上，即与点O重合时取“=”，
所以的最小值为3，故答案为3．
16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．
1




【答案】
【解析】不妨令，，，
，
，
，
将以上各式相加得，
所以，
所以第20行的第2个数是，故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求最大值．
【答案】（1）；（2）4．
【解析】（1）由，
根据正弦定理有，
所以，
所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以．
（2）由（1）知，所以，则，
由正弦定理，得，
所以，．
所以
．
因为，所以，
所以当时，的最大值为4．
18．（12分）如图，在四棱锥，底面，，，，为棱上一点．
（1）确定点E的位置，使得直线平面；
（2）若二面角的正弦值为，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）为的中点；（2）．
【解析】（1）为的中点．
取PA的中点F，连接EF､FD，E为PB的中点，即，，
又，，则四边形CDFE为平行四边形，故，
，，故面．
（2）以为坐标原点，以，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设，则，，
在棱上，可设()，
故，解得，即．
设平面的法向量为，，，
，即，取，则；
设平面的法向量，，，
，即，取，则，
二面角的正弦值为，则余弦值为，
，即，即．
又，解得，
即，，
轴平面，平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，则，
故与平面所成角的余弦值为．
19．（12分）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2020年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数；（结果四舍五入精确到个位）
（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望．
（参考数据：；若，则，，．）
【答案】（1）；（2）人；（3）分布列见解析，期望值为．
【解析】（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共30人，其中成绩优秀10人，
∴．
（2）由表格数据知，，
又，即，
∴，
由此可估计该市全体考生笔试成绩不低于85.9分的人数为人．
（3）考生甲的总得分的所有可能取值为0，3，4，6，7，10．
；；
；；
；，
的分布列为：
．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，直线l与椭圆相交于M、N两点，过点的直线、分别与椭圆相交于另外两点A、B，且直线的斜率为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线l恒过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知得，解得，
所以椭圆方程为．
（2）设M、N两点的坐标分别为，，A、B的坐标分别为，，
直线l的方程为，
则直线的方程分别为，直线的方程分别为，
由消去，整理得①
由题意可知，方程①有两个不同的解，且，则，
代入，得，
即A点坐标为；
同理可得到B点坐标为，
因为直线的斜率为2，所以，
即，
则，整理得，
则，
所以，则直线恒过点．
21．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，且．
①当时，，
若，则；若，则，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
②当时，，令，可得（舍）或．
若，则；若，则，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
③当时，．
（i）若，即当时，对任意的，，
此时，函数在上为增函数；
（ii）若，即当时，由，可得或，且．
由，可得或；
由，可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，函数在上为增函数．
（2）由，可得，即对任意的恒成立，
令，其中，，
令，其中，
则，．
所以，函数在上单调递减，则，
所以，函数在上单调递减，故，
所以，当时，，此时函数在上单调递增；
当时，，此时函数在上单调递减，
所以，，，
因此，实数的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数)､在以为极点轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，弦的中点为是曲线上异于的点，求面积的最大值．
【答案】（1），；（2）最大值是．
【解析】（1）直线的参数标方程是，
消参，可得直线的普通方程为，
由可得，
将代入得，
即曲线的直角坐标方程为．
（2）点恰好在直线上，将代入中，
化简整理得，
设两点对应的参数分别为，则，，
所以点对应的参数为，即，
又曲线的圆心为，半径为3的圆，
所以圆心为到直线的距离，所以动点到直线最大距离为5，
则面积的最大值是．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数的最大值为．
（1）求；
（2）若均为正数，且满足，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，函数的最大值为．
（2）由（1）知，．
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
所以．
笔试成绩
人数
5
10
25
30
20
10
0
3
4
6
7
10