江苏省盱眙县都梁中学2020-2021学年高二下学期期末名师备考卷数学（理）试卷（含答案）

2020-2021学年下学期高二期末名师备考卷

理 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

，

所以，故选C．

2．已知，则“”是“z为纯虚数”的（    ）

A．充分非必要条件  B．必要非充分条件

C．充要条件  D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；

z为纯虚数，故必要性成立，

故答案选B．

3．某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈情况，随机抽取了这8类商品，收集了这几类商品分别在新规实施前后的消费者评价得分，绘制成如图所示的雷达图．根据统计图判断，下面的叙述一定不正确的是（    ）

A．新规实施后，类商品的评价得分提升幅度最大

B．新规实施后，类商品的评价得分低于新规实施前

C．这类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分

D．有类商品的评价得分高于新规实施前

【答案】D

【解析】对于A，由雷达图知，类商品在新规实施前后的评价得分差最大，A正确；

对于B，由雷达图知，新规实施后，类商品的评价得分均低于新规实施前，B正确；

对于C，新规实施后，除类商品外，其余类商品的评价得分均高于新规实施前，且增长幅度超过评价得分下降幅度，则类商品评价得分的平均分高于新规实施前，C正确；

对于D，两类商品评价得分低于新规实施前，其余类商品评价得分高于新规实施前，D错误，

故选D．

4．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（    ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】B

【解析】由已知，到直线的距离为，

所以当或时，即或时，满足条件的三角形有且只有一个．

所以对于A，符合，故三角形有一解；

对于B：当时，符合，故三角形有两解；

对于C：符合，故三角形有一解；

对于D：符合，故三角形有一解，

故选B．

5．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】指数函数分别是R上的增函数和减函数，，

则，

对数函数在上单调递增，，则，

所以有，即，故选D．

6．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（    ）种．

A．36 B．48 C．72 D．120

【答案】B

【解析】先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法；

②若高一学生中间无高三学生，有种排法，

所以共有种排法，故选B．

7．已知，将图象向左平移个单位（）得到函数的图象，函数的一个对称轴为，则下列说法正确的是（    ）

A．最小正周期为 B．为奇函数

C．  D．

【答案】D

【解析】，

将图象向左平移个单位（）得到函数，

函数的一个对称轴为，

，即，，

，时，，

，

，，为偶函数，，

综上可知ABC错误，D正确，故选D．

8．函数及，则及的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当时，单调递减，单调递减，

所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C；

当时，单调递减，单调递增，

所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上，

∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求，

故选B．

9．已知，，，设函数，当时，取得最小值，

则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

由题意，，解得，

所以在方向上的投影为，故选D．

10．数列满足且对任意，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为数列满足且对任意，，，

所以，，

所以，

所以是以2为公比的等比数列，

所以，则，

当时，，解得，

所以，故选B．

11．已知双曲线的上焦点为，过作一条直线与直线垂直，

若与双曲线的上､下支均有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，直线的斜率为，则的方程为．

设与双曲线上､下支的交点分别为，，

联立直线与双曲线方程，消去得，

由与双曲线上､下支均有交点，得，且，

由韦达定理得，则，

即，则，

可得且，解得，

所以离心率的取值范围是，故选B．

12．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，

则不等式的解集是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】构造函数，，

当时，，故，在上单调递增，

又为偶函数，为偶函数，

所以为偶函数，在单调递减．

，则，；，

当时，即，，所以；

当时，即，，所以，

综上所述，，故选A．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_________．

【答案】180

【解析】，

由题意，此不等式组只有一解，因此（）．

，，

所以常数项为，故答案为180．

14．正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______．

【答案】

【解析】如下图，正三棱台，将其补全为三棱锥，为其高，

∴正三棱台的体积，

由题设易知，

∴设，则，即三棱锥的高，

故的高为1，

∴，

故答案为．

15．已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，

则的最小值为__________．

【答案】3

【解析】作出点A关于直线的对称点，如图：

设点，则有，解得，即，

而C(2，0)，

由圆的性质知：圆外点P与圆C上点Q距离满足(当且仅当Q是线段PC与圆C的交点时取“=”)，

连接交直线于点O，P为直线上任意一点，连接(线段PC交圆C于点Q)，

则，

当且仅当点P在线段上，即与点O重合时取“=”，

所以的最小值为3，故答案为3．

16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．

1

【答案】

【解析】不妨令，，，

，

，

，

将以上各式相加得，

所以，

所以第20行的第2个数是，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求最大值．

【答案】（1）；（2）4．

【解析】（1）由，

根据正弦定理有，

所以，

所以，即，

因为，所以，所以，

因为，所以．

（2）由（1）知，所以，则，

由正弦定理，得，

所以，．

所以

．

因为，所以，

所以当时，的最大值为4．

18．（12分）如图，在四棱锥，底面，，，，为棱上一点．

（1）确定点E的位置，使得直线平面；

（2）若二面角的正弦值为，求直线与平面所成角的余弦值．

【答案】（1）为的中点；（2）．

【解析】（1）为的中点．

取PA的中点F，连接EF､FD，E为PB的中点，即，，

又，，则四边形CDFE为平行四边形，故，

，，故面．

（2）以为坐标原点，以，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

设，则，，

在棱上，可设()，

故，解得，即．

设平面的法向量为，，，

，即，取，则；

设平面的法向量，，，

，即，取，则，

二面角的正弦值为，则余弦值为，

，即，即．

又，解得，

即，，

轴平面，平面的一个法向量为，

设与平面所成角为，则，

故与平面所成角的余弦值为．

19．（12分）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2020年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：

（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；

（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数；（结果四舍五入精确到个位）

（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望．

（参考数据：；若，则，，．）

【答案】（1）；（2）人；（3）分布列见解析，期望值为．

【解析】（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共30人，其中成绩优秀10人，

∴．

（2）由表格数据知，，

又，即，

∴，

由此可估计该市全体考生笔试成绩不低于85.9分的人数为人．

（3）考生甲的总得分的所有可能取值为0，3，4，6，7，10．

；；

；；

；，

的分布列为：

．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，直线l与椭圆相交于M、N两点，过点的直线、分别与椭圆相交于另外两点A、B，且直线的斜率为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：直线l恒过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由已知得，解得，

所以椭圆方程为．

（2）设M、N两点的坐标分别为，，A、B的坐标分别为，，

直线l的方程为，

则直线的方程分别为，直线的方程分别为，

由消去，整理得①

由题意可知，方程①有两个不同的解，且，则，

代入，得，

即A点坐标为；

同理可得到B点坐标为，

因为直线的斜率为2，所以，

即，

则，整理得，

则，

所以，则直线恒过点．

21．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，且．

①当时，，

若，则；若，则，

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

②当时，，令，可得（舍）或．

若，则；若，则，

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

③当时，．

（i）若，即当时，对任意的，，

此时，函数在上为增函数；

（ii）若，即当时，由，可得或，且．

由，可得或；

由，可得，

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；

当时，函数在上为增函数．

（2）由，可得，即对任意的恒成立，

令，其中，，

令，其中，

则，．

所以，函数在上单调递减，则，

所以，函数在上单调递减，故，

所以，当时，，此时函数在上单调递增；

当时，，此时函数在上单调递减，

所以，，，

因此，实数的取值范围是．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数)､在以为极点轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，弦的中点为是曲线上异于的点，求面积的最大值．

【答案】（1），；（2）最大值是．

【解析】（1）直线的参数标方程是，

消参，可得直线的普通方程为，

由可得，

将代入得，

即曲线的直角坐标方程为．

（2）点恰好在直线上，将代入中，

化简整理得，

设两点对应的参数分别为，则，，

所以点对应的参数为，即，

又曲线的圆心为，半径为3的圆，

所以圆心为到直线的距离，所以动点到直线最大距离为5，

则面积的最大值是．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数的最大值为．

（1）求；

（2）若均为正数，且满足，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）当时，；

当时，；

当时，，

综上所述，函数的最大值为．

（2）由（1）知，．

由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，

所以．