专题65 阅读理解类问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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阅读理解类问题，就是在阅读所给材料的基础上，理解并运用之解决有关问题。所给材料一般是学生没有学过的新东西，能真正考查学生的能力。材料涉及的内容多以科技或生活问题为情景或信息，与学生生活贴近，符合学生的认知规律，易于激活学生的学习兴趣、提高分析能力。这类题目主要考查学生的阅读理解、捕捉信息、分析推理、观察判断、归纳概括和探究等多种能力。解答这类问题，首先应仔细审题，要逐字逐句的仔细研读，对题目中的关键字词、语句应反复推敲，对题中的示意图、表格数据和公式，要细微观察，从而迅速、准确地捕捉到有用的信息，再筛选所学的相关知识，用之解决问题。
【典例分析】
例1．（2020·浙江台州市·八年级期末）在平面直角坐标系中，定义：已知图形W和直线，如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线的距离小于或等于k，则称图形W与直线“k关联”．已知线段AB，其中点，．若线段AB与直线“关联”，则b的取值范围是( )
A．-1≤b≤B．0≤b≤4C．0≤b≤6D．≤b≤6
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先画出图形，再根据定义求出两个临界位置时b的值，由此即可得．
【详解】
如图，过点B作直线的垂线，垂足为点D，连接OA，延长AB交直线于点C
由题意，有以下两个临界位置：
①点A到直线的距离等于
，
当直线经过原点O时，，
即为点A到直线的距离，此时
②点B到直线的距离等于，即
轴
，且点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，即为1
是等腰直角三角形
点C的横坐标为
将点代入直线得：
解得
则b的取值范围是
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的几何应用等知识点，理解新定义，求出两个临界位置时b的值是解题关键．
例2．（2020·重庆西南大学附中九年级月考）山间白云缭绕，似雾非雾，似烟非烟，磅礴郁积，气象万千，古人称“赤多白少”为“缙”，故名缙云山．正是这特殊的地理环境，独特的气候，赋予了缙云山甜茶汤色碧绿清爽，气味芳鲜醇和．甜茶还富含人体所需的8钟氨基酸，大量维生素及微量元素，健康养生，独具风味．故来此游玩的人们，临走时都会带一些回家送亲朋好友．商家为了促销，采取以套盒包装的方式进行销售，套盒A：买三大袋和一中袋送一中袋；套盒B：买两大袋和两中袋送一小袋．套盒A和套盒B的售价之比为37∶34．小华计划购买一定数量的套盒A与套盒B，由于资金不够，他思考了一下，决定将原本计划买套盒A和套盒B的数量进行调换，同时商店老板决定将套盒A打8折卖给他，套盒B价格不变，这样原计划所用花费与实际所用花费之差恰好可以购买7袋中袋的甜茶，则小华一共购买了___________个套盒．
【答案】14
【分析】
设一大袋的售价为x元，一中袋的售价为y元，原计划买套盒A的数量为a个，买套盒B的数量为b个，先根据套盒A和套盒B的售价之比可得，再根据“原计划所用花费与实际所用花费之差恰好可以购买7袋中袋的甜茶”建立方程，化简得，然后根据为正整数求解即可得．
【详解】
设一大袋的售价为x元，一中袋的售价为y元，原计划买套盒A的数量为a个，买套盒B的数量为b个，
由套盒A和套盒B的售价之比得：，解得，
由题意得：原计划所用花费为，
实际所用花费为，
则，
整理得：，
将代入得：，
都是正整数，
，
则小华一共购买套盒的数量为（个），
故答案为：14．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的实际应用，依据题意，正确找出等量关系是解题关键．
例3．（2020·东北师大附中明珠学校八年级期中）好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？
根据尝试和总结她发现：一次项就是：x×5×（﹣6）+2x×4×（﹣6）+3x×4×5＝﹣3x．
请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为 ，一次项为 ；
（2）若计算（x+1）（﹣3x+m）（2x﹣1）（m为常数）所得的多项式不含一次项，求m的值；
（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝ ．
【答案】（1）15x3，﹣11x；（2）m＝－3；（3）2021
【分析】
（1）求多项式的最高次项，把每个因式的多项式最高次项相乘即可；求一次项，含有一次项的有x，3x，5x，这三个中依次选出其中一个再与另外两项中的常数相乘最终积相加，或者展开所有的式子得出一次项即可．
（2）先根据（1）所求方法求出一次项系数，最后用m表示，列出等式，求出m；
（3）根据前两问的规律可以计算出第（3）问的值．
【详解】
（1）由题意得：
（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为x×3x×5x＝15x3，
一次项为：1×1×（﹣3）x+2×3×（﹣3）x+2×1×5x＝﹣11x，
故答案为：15x3，﹣11x；
（2）依题意有：1×m×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×m×2＝0，
解得m＝﹣3；
（3）根据题意可知即为所得多项式的一次项系数，
∵展开之后x的一次项共有2021个，且每一项的系数都为，
∴
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．
【好题演练】
一、单选题
1．（2021·全国九年级专题练习）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
【点睛】
本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
2．（2019·福建省漳州第一中学九年级）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意推断方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程的实根x所在范围．
【详解】
解：的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当时，，无意义，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
故选D．
【点睛】
此题考查了函数与方程关系，类比学习能力，从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
二、填空题
3．（2020·诸暨市浣江初级中学七年级期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简， ________．
【答案】 ．
【分析】
先具体计算出 得出面积规律，表示，再设①，两边都乘以，得到 ②，利用①②，求解，从而可得答案．
【详解】
解：



设①
②
①②得：

故答案为：
【点睛】
本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2020·北京中学明德分校九年级期中）如图，如果两个圆只有一个公共点，那么我们称这两个圆相切，这个公共点就叫做切点，当两圆相切时，如果其中一个圆（除切点外）在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切；其中一个圆（除切点外）在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．如图所示：两圆的半径分别为R，r（R＞r），两圆的圆心之间的距离为d，若两个圆外切则d=R+r，若两个圆内切则d=R﹣r，已知两圆的半径分别为方程x2+mx+3=0的两个根，当两圆相切时，已知这两个圆的圆心之间的距离为4，则m的值为________．
【答案】-4或-2
【分析】
分两圆内切和两圆外切两种情况分类讨论即可确定正确的答案．
【详解】
解：当两圆外切时，d=r+R=-m=4，
解得：m=-4；
当两圆内切时，d=R-r=4，
则R=r+4，
∵Rr=3，
∴（r+4）r=3，
解得：r=-2或r=+2（舍去）
∴R=r+4=+2，
∴R+r=-m，
即：-2++2=-m，
解得：m=-2，
故答案为：-4或-2．
【点睛】
本题考查了两圆的位置关系的知识，解题的关键是能够分类讨论确定不同的答案，难度不大．
三、解答题
5．（2020·广东深圳市·龙岭初级中学八年级期中）阅读理解，在平面直角坐标系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1P2的距离．
如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我们得到平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为＝．
根据上面得到的公式，解决下列问题：
（1）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；
（2）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；
（3）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1，)，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．
【答案】（1）10；（2）直角三角形，理由见解析；（3）最小值为BD=．
【分析】
(1)直接代入两点间的距离公式计算即可；
（2）利用公式计算三角形三边的长，根据边长的关系判定三角形的形状；
（3）根据正方形的性质,知点A关于直线OC的对称点是B,因此EA+ED的最小值为BD,求得点B的坐标,利用距离公式即可求得.
【详解】
(1) ∵点A(－3，4)，B(5，10)，
∴AB= =10;
(2) △ABC是直角三角形;理由如下:
∵A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，
∴= =65,
= =52,
= =13,
∴+=,
故△ABC是直角三角形；
(3)过点A,B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵∠AOM+∠NOB=90°，∠AOM+∠MAO=90°，
∴∠MAO=∠NOB，
∴△MAO≌△NOB，
∴AM=ON，MO=BN，
∵A(-4,3)，
∴OM=4，AM=3,
∴ON=3,BN=4，
∴B（3,4），
∵点A关于直线OC的对称点是B,
∴EA+ED的最小值为BD,
∵D(－1，)，
∴BD= =,
故DE＋EA的最小值为.
【点睛】
这是一道阅读理解型考题，主要考查了坐标系中任意两点之间距离的计算，正方形的性质，互余原理，三角形的全等，线段和最小值，坐标与线段的关系，理解两点间距离公式，活用将军饮马河原理是解题的关键.
6．（2020·湖北武汉市·前川三中七年级月考）课本P130页这道题“已知A、B、C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，求AC的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二．
（1）请认真阅读下列解法，并填空：
解法一：根据题意可分如下两种情形：
①C点在线段AB上；②C点在线段AB延长线上
AC= =3－1=2（cm），AC= =3+1=4（cm）
所以线段AC的长为2cm或4cm．
解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴．
则A：表示的数为0，B：表示的数为3；∵BC=1，∴点C表示的数为 ；所以线段AC的长为2cm或4cm．
（2）丙同学学习了以上两种解法后若有所悟，觉得解法二很好，在解决线段的计算问题时，利用数形结合法比较简单．于是给同学们出了这样一道题：已知A、B、C、D在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，AD=1.5cm，求CD的长．请利用数形结合法解答丙同学的试题．
（3）丁同学做完了丙同学的试题后，深受启发，觉得数形结合法太妙了，可以妙解点或线段的动态问题，于是编了以下试题：已知线段AB=3，线段CD在直线AB上运动，且CD=5，在运动的过程中，若点M、N分别为线段AC、BD的中点，求线段MN的长度．请用数形结合法解答丁同学的试题．
【答案】（1）解法一：AB－BC，AB+BC；解法二：2或4；（2）CD=0.5或2.5或3.5或5.5；（3）4或1．
【分析】
（1）解法一：根据线段的和差即可求出， 解法二利用数轴上点的位置和两点间的距离即可求出；
（2）建立如图所示的数轴，点 A表示：0，点B表示：3，由BC=1，求出点C表示：2或4，由AD=1.5，求出点D表示：±1.5，分类计算两点距离即可；
（3）建立如图所示的数轴，点 A表示：0，点B表示：3，由线段CD在直线AB上运动，且CD=5，令点C表示：a，则点D表示：a+5或a－5；由点M为AC的中点，求出点M表示：．由点N为BD的中点，点N表示：或，分类计算两点距离即可．
【详解】
（1）解法一：根据线段的和差，左图AC=AB-CB，右图AC=AB+BC，
故答案为：AB－BC，AB+BC；
解法二：设点C表示的数为x，
当点C在AB上，则3-x=1，x=2，
当点C在AB延长线上，x-3=1，x=4，
∴点C表示的数为：2或4
故答案为：2或4；
（2）在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A：0，B：3，
∵BC=1，
∴点C表示的数为：2或4，
∵AD=1.5，
∴点D表示的数为：±1.5，
∴①当点D表示1.5，点C表示2时，
则CD=2－1.5=0.5，
②当点D表示-1.5，点C表示2时，
则CD=2－（－1.5）=3.5，
③当点D表示1,5，点C表示4时，
则CD=4－1.5=2.5，
④当点D表示-1.5，点C表示4时，
则CD=4－（－1.5）=5.5，
∴CD=0.5或2.5或3.5或5.5；
（3）在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A：0，B：3
∵线段CD在直线AB上运动，且CD=5，
令点C表示：a，则点D表示：a+5或a－5；
∵点M为AC的中点，
∴点M表示：．
∵点N为BD的中点，
∴点N表示：或，
当点N表示：
NM=
当点N表示： ，
MN=．
∴线段MN的长度为4或1．
【点睛】
本题考查数形结合的应用以及数轴和两点间的距离等知识，掌握线段和差是求两点之间线段长度的方法，两点间的距离可以利用数轴上表示的数的差的绝对值计算，注意讨论是解题关键．