专题67 开放探究类问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题67  开放探究类问题（1）

【规律总结】

这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程。尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.

开放题常见的题型：

开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索．

【典例分析】

例1．（2021·山东省济南兴济中学九年级期末）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（    ）

A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6

【答案】A

【分析】

以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，在求出点D到BC的最大距离，即可求出面积最大值．

【详解】

解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，

∵，

∴，即

在和中，

，

∴，

∴，

∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，

要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，

∵是边长为4的等边三角形，

∴点M到BC的距离是，

∴点D到BC的最大距离是，

∴的面积最大值是．

故选：A．

【点睛】

本题考查动点轨迹是圆的问题，解题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．

例2．（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是________．

【答案】

【分析】

如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题．

【详解】

如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．

与x轴交于点C，与y轴变于点A，

令x=0，y=，令y=0,得x=

∴A（0，），C（，0），

∴OA＝，OC＝，

∴AC==2OA，

∴∠ACO＝30°，

∵EH⊥OC，

∴EH＝EC，

∵BB′＝DE，BB′∥DE，

∴四边形DBB′E是平行四边形，

∴BD＝B′E，

∵BM∥AC，

∴∠BMC＝∠ACO＝30°，

∵∠BCM＝90°，BC＝，

∴BM＝2BC＝3，

∴B′M＝1＋3，

∵∠MFB′＝90°，

∴B′F＝MB′＝，

∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，

∴BD＋EC≥，

∴BD＋EC的最小值为，

故答案为．

【点睛】

本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

例3．（2020·江苏泰州市·昭阳湖初中八年级期中）如图，在中，，于点点E为AD上一点，点F为BE延长线上一点，且．

（1）如图1，若．

①判断的形状，并证明；

②若，则______直接写出结果

（2）如图2，若，作于G，求证：．

【答案】（1）①等腰直角三角形，证明见解析，②；（2）证明见解析

【分析】

（1）①由等腰三角形的性质求出，，求出，则可得出结论；

②过点A作于点M，设，则，由直角三角形的性质求出，，则可求出答案；

（2）过点A作，交BC于点H，证明≌，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出答案.

【详解】

解：为等腰直角三角形．

证明：，，，

，，

，

，

∴，

∴，

为等腰直角三角形；

如图1，过点A作于点M，

设，则，

，

，，

，

∴，

为等腰直角三角形，，

，

，

，

．

故答案为：；

证明：如图2，过点A作，交BC于点H，

，，

，

，，

，

，

，，

在和中，

，

≌，

，

∵，

，

.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，30度直角三角形的性质等知识点的综合应用，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解本题的关键.

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·民勤县第六中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（     ）

A．2s B．3s C．4s D．6s

2．（2020·河南驻马店市·七年级期中）已知关于、的二元一次方程组给出下列结论：①当时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程的解，则；③无论整数取何值，此方程组一定无整数解、均为整数)，其中正确的是　　

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②

二、填空题

3．（2020·四川省成都七中育才学校学道分校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是_____．

4．（2020·蒙阴县高都镇中心学校八年级月考）（1）如图①，五角形的顶点分别为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________

（2）如图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_________

（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________

（4）如图④，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝_________

三、解答题

5．（2020·湖北武汉市·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，BP平分∠ABO．

（1）如图1，点T在BA延长线上，若AP平分∠TAO，求∠P的度数；

（2）如图2，点C为x轴正半轴上一点，∠ABC＝2∠ACB，且P在AC的垂直平分线上．

①求证：APBC；

②D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连接AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么数量关系时，DP＝AE．给出结论并说明理由．

6．（2019·淮安外国语学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（2，0），点C是y轴上的动点，当点C在y轴上移动时，始终保持是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到O点时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．

〖初步探究〗

（1）点B的坐标为      ；

（2）点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第二象限时，连接BP，求证：；

〖深入探究〗

（3）当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论，并求出这个图形所对应的函数表达式；

〖拓展应用〗

（4）点C在y轴上移动过程中，当OP=OB时，点C的坐标为      ．