专题61 猜想证明类问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题61  猜想证明类问题（1）

【规律总结】

此类试题能比较系统地考查学生的逻辑推理能力、合情推理能力、发现规律和关系的能力，以及运用所学知识和方法分析、解决数学问题的能力，对于猜想证明类试题，由于题目新颖、综合性强、结构独特，具有较好的区分度，因此。该类试题已逐步成为中考的一大热点题型。猜想证明类试题的考查范围有猜想命题的规律或结论（不要求证明）与猜想命题的结论（要求证明）两种。单纯猜想规律或结论的问题经常以填空、选择题的形式作为压轴题，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找存在于个例中的共性，也就是规律。相对而言，猜想命题的结论（要求证明）的试题难度较大，解答具体题目时往往是直观猜想与科学论证、具体应用相结合。

【典例分析】

例1．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作线段EF，使点E点F分别在边AD，BC上（不与四边形ABCD顶点重合），连结EB，EC设ED＝kAE，下列结论：①若k＝1，则BE＝CE；②若k＝2，则△EFC与△OBE面积相等：③若△ABE≌△FEC，则EF⊥BD．其中正确的是（    ）

A．① B．② C．③ D．②③

【答案】B

【分析】

根据题意，不能证明△BAE≌△CDE，则①错误；根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，得到BF=2CF，结合面积的计算方法，即可判断②；连接DF，不能证明四边形DEBF是菱形，则③错误；然后得到答案．

【详解】

解：当k＝1时，DE=AE，

不能证明△BAE≌△CDE，

∴BE≠CE；故①错误；

当k＝2时，DE=2AE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EDO=∠FBO，

∵点O是BO的中点，

∴OB=OD，

∵∠EOD=∠FOB，

∴△EOD≌△FOB，

∴DE=BF，

∴ADDE=BCBF，

∴AE=CF，

∴BF=2CF，

∴，

∵，

∴，

∴，故②正确；

连接DF，如图：

∵△ABE≌△FEC，

∴AE=FC，

∴DE=BF，

∵DE∥BF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

不能证明DEBF是菱形，

∴EF与BD无法证明互相垂直，故③错误；

∴正确的选项只有②；

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而分别进行判断．

例2．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学八年级开学考试）如图，在中，平分，，，与的延长线交于，连接．过作于，交于．下列结论：①；②；③；④中，其中正确的有______（填序号）．

【答案】①②③④

【分析】

①由，利用角平分线的性质可得，可得，，，四点共圆，由圆周角定理可得结论；②证明，利用全等三角形的性质可得结论；③由，易得，由等腰三角形的性质易得，得的面积；④由为等腰三角形易得，可得结论．

【详解】

解：①平分，

，

，

，

，，，四点共圆，

，

故此选项正确；

②在与中，

，

，

，

故此选项正确；

③，

，

，

，

，

故此选项正确；

④为等腰三角形，

，

，

故此选项正确；

正确的有①②③④．

故答案为：①②③④．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质等，综合运用各性质定理是解答此题的关键．

例3．（2021·江苏南京市·九年级期末）数学概念

经过初中的数学学习，我们知道图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离．一般地，P为图形A上任意一点，Q为图形B上任意一点，则称PQ长的最小值叫做图形A与图形B的距离，记作d（A，B）．

概念理解

（1）如图①，在四边形ABCD中，，，垂足分别为E、F，则d（AD，BC）是（ ）．

A．AB的长    B．AE的长    C．DF的长    D．DC的长

知识运用

（2）如图②，在中，，，P是平面内的一点，．

①直接写出d（P，BC）的取值范围；

②以P为圆心，1为半径作圆，当⊙P在的内部，且与其一边相切时，求⊙P与另两边的距离．

问题解决

（3）如图③，某广场有一个边长为12m的菱形花坛，现准备绕着花坛铺设一条封闭的健身跑道，使靠近花坛的跑道内沿与花坛的距离为2m，则所铺设的健身跑道内沿的长度的最小值为________m．

【答案】（1）B；（2）①；②当⊙与AB相切时，⊙到BC的距离为，⊙到AC的距离为；当⊙与AC相切时，⊙到BC的距离为，⊙到AB的距离为；当⊙与AC相切时，⊙到AB、AC的距离为；（3）．

【分析】

（1）是AD与BC的距离；

（2）分三种情况，情况一：当⊙与AB相切时；当⊙与AC相切时；当⊙与AC相切时，分别进行求解；

（3）将跑道分为两个部分，分别表示出来即可求解．

【详解】

（1）是AD与BC的距离，

∵，A点到BC上B点的长度最小，

故答案为：B．

（2）①如图，过点A作于点E，

∵，，

∴，

∴，

∴，

当P在外部，

，

当P在外内部，

，

∴；

②情况一：当⊙与AB相切时，过作交AB于、过作交AC于M，过作交BC于、交AB于，连接，如图1：

在中，

∴

∵是等腰直角三角形，∴

∵

∴是等腰直角三角形，∴

∵

∴是等腰直角三角形

∴，∴

∴，∴

∵四边形是矩形

∴

∴⊙到BC的距离为，⊙到AC的距离为

情况二：当⊙与AC相切时，过作交AC于、过作交AB于N，过作交BC于，如图2：

同理可得：到BC的距离为，

⊙到AB的距离为

情况三：当⊙与AC相切时，过作交AB于，过作交AC于，过作交BC于，如图3：

⊙到AB、AC的距离为

（3）由图可知，菱形的长度为：，

四个角的跑道恰为一个半径为2的圆，周长为，

故健身跑道内沿的长度的最小值为．

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离，属于综合题目，读懂题意是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2018·江苏南通市·八年级期中）已知的三条边长分别为6，8，12，过任一顶点画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ）

A．6条 B．7条 C．8条 D．9条

2．（2020·浙江湖州市·八年级月考）对于一元二次方程，有下列说法：

①若，则方程必有一个根为1；

②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

③若是方程的一个根，则一定有成立；

④若是一元二次方程的根，则．

其中正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

3．（2020·辽宁鞍山市·九年级一模）如图，在菱形中，，点E，F分别在，上，且，与相交于点G，与相交于点H．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有_______．（只填序号即可）

4．（2020·湖南株洲市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是__．

三、解答题

5．（2020·浙江省临海市临海中学八年级期中）（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

①如果∠A=80°，求∠BPC的度数；

②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为       ；

③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为       ；

（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系．

（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．

6．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知正方形的边长为4，E是上一个动点，以点E为直角顶点，在正方形外侧等腰直角三角形，连结、、．

（1）与的位置关系是__________．

（2）①如图1，当（即点E与点D重合）时，的面积为_________．

②如图2，当（即点E为的中点）时，的面积为________．

③如图3，当时，的面积为_______．

（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是上任意一点时，请提出你对面积与正方形的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．