2022版高考数学大一轮复习课时作业67《几何概型》(含答案详解)

2022版高考数学大一轮复习课时作业

67《几何概型》

一、选择题

1.某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是(　 　)

A.         B.            C.         D.

2.如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在弧AB上任取一点C作射线OC，

则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　A　)

A.          B.        C.          D.

3.已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为(　 　)

A.　　　　B.1－       C.　　　　D.1－

4.中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8 g圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积是(　 　)

A. mm2      B. mm2          C. mm2       D. mm2

5.已知正棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP­ABC<VS­ABC的概率是(　 　)

A.          B.         C.          D.

6.如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是(　 　)

A.          B.          C.          D.

7.

中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.

如图所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若cos2∠BAE=，则在正方形ABCD内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH内的概率为(　 　)

A.         B.         C.         D.

8.在区间上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，]的概率是(　 　)

A.        B.          C.           D.

9.若a∈[1,6]，则函数y=在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是(　 　)

A.         B.         C.           D.

10.老师计划在晚自习19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为(　 　)

A.           B.           C.               D.

11.已知函数f(x)=x2＋tx＋t，∀x∈R，f(x)>0，函数g(x)=3x2－2(t＋1)x＋t，则“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)=g(b)=0”为真命题的概率是(　 　)

A.         B.            C.          D.

二、填空题

12.已知函数y=cosx，x∈[－，]，则cosx≤的概率是      .

13.已知圆C：(x－2)2＋y2=2，直线l：y=kx，其中k为[－，]上的任意一个数，

则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为       .

14.平面区域A1={(x，y)|x2＋y2<4，x，y∈R}，A2={(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}.

在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为       .

15.如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，

则这点取自正四棱锥内的概率为       .

16.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=        .

0.答案详解

1.答案为：D.

解析：由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5=240分钟，

即4个小时，所以所求的概率为=，故选D.

2.答案为：A.

解析：记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，

如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON=∠BOM=∠MON=30°，

则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)===，故选A.

3.答案为：D.

解析：P==1－.

4.答案为：B.

解析：设军旗的面积为a mm2，则有=，解得a=，故选B.

5.答案为：B.

解析：如图，由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，

满足VP­ABC<VS­ABC，

故使得VP­ABC<VS­ABC的概率P==1－3=.

6.答案为：C.

解析：设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC=1，则BG=CG，∠BGC=120°，

在△BCG中，由余弦定理得1=BG2＋BG2－2BG2cos120°，得BG=，

所以S△BCG=×BG×BG×sin120°=×××=，

因为S六边形ABCDEF=S△BOC×6=×1×1×sin60°×6=，

所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－=.

7.答案为：D.

解析：如题图所示，正方形EFGH的边长为AE－AH=a－b，正方形ABCD的边长为.

由题意知cos2∠BAE=2cos2∠BAE－1=2×－1=，解得9a2=16b2，即a=b，

则该点恰好在正方形EFGH内的概率为==.故选D.

8.答案为：B.

解析：因为x∈，所以x＋∈，

由sinx＋cosx=sinx＋∈[1，]，

得≤sin≤1，所以x∈，故要求的概率为=.

9.答案为：C.

解析：∵函数y==x＋在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，

而1≤a≤6，∴1≤≤.要使函数y=在区间[2，＋∞)上单调递增，

则≤2，得1≤a≤4，∴P(1≤a≤4)==，故选C.

10.答案为：B.

解析：设甲、乙两人分别在晚上19：00过x，y分钟后去问问题，则依题意知，x，y应满足作出该不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

则所求概率P==.故选B.

11.答案为：C.

解析：∵函数f(x)=x2＋tx＋t，∀x∈R，f(x)>0，∴对于x2＋tx＋t=0，

Δ=t2－4t<0，∴0<t<4.

由“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)=g(b)=0”为真命题，

则解得0<t<1，

∴“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)=g(b)=0”为真命题的概率是=.

12.答案为：.

解析：由cosx≤得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，又x∈[－，]，

所以满足条件的x∈[－，－]∪[，]，故所求概率P==.

13.答案为：1－.

解析：当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d=>，解得k>1或k<－1，又k∈[－，]，所以－≤k<－1或1<k≤，

故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P==.

14.答案为：1－.

解析：分别画出区域A1，A2，如图中圆内部分和正方形及其内部所示，

根据几何概型可知，所求概率为=1－.

15.答案为：.

解析：设球的半径为R，则所求的概率为P===.

16.答案为：.

解析：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，

试验的全部结果构成线段CD，由对称性，可取CD的中点为E，研究PB与AB长度关系.

记PB=AB时，P点位置为P0，

因为“△APB的最大边是AB”发生的概率为，所以=，

设AD=y，AB=x，则DE=x，P0E=DE=x，P0C=x＋x=x，

因为P0C2＋BC2=P0B2=AB2，所以(x)2＋y2=x2，即x2＋y2=x2，

所以y2=x2，y=x，所以=，即=.