高考数学一轮复习 第二章 第一节 函数的概念及表示方法 试卷

这是一份高考数学一轮复习 第二章 第一节 函数的概念及表示方法，主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1．函数与映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
【常用结论】
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)指数函数的底数大于0且不等于1.
(6)正切函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
考点一.函数的概念
例1 (1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；
(2)(多选）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有
A．与B．与
C．与D．与
变式1.下列各组函数中，表示同一函数的是________.
①f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)；
②f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝(eq \r(x))2；
③f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1；
④f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)，g(x)＝eq \r(x2－1).
变式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x).
考点二. 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
（1）f(x)=（x-1）0+

（2）(2016·江苏卷)函数y＝eq \r(3－2x－x2)的定义域是______．
已知函数的定义域为，求的定义域.
(4)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．

变式2 （1）
（2）函数y=的定义域为 .
（3）已知函数的定义域为，求的定义域.
（4）f(x+1)的定义域，f(x-1)的定义域为
例3.(1)已知函数的定义域为R，求实数的取值范围.
(2). 若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围.
变式3 (1)若函数f(x)=的定义域为R，则实数m的取值范围是 .
(2).已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为[-2，1]，求实数a的值.
考点三． 求函数的值域
例4. 直接观察法
（1）求函数的值域.

求函数的值域.

例5. 配方法
（1）求函数的值域

求函数的值域
求函数的值域

例6. 换元法
（1）求函数的值域.
求函数的值域.

求函数的值域
(2015·扬州调研)求函数y=x-的值域
例7. 判别式法
（1）求函数的值域.
求函数的值域.
求函数的值域

例8. 分离常数法
（1）求函数的值域.
求函数的值域.
求函数的值域
例9. 数形结合法
（1）求函数的值域.
求函数的值域.
求函数y=|x2-4|x|-5|的值域.
例10.不等式法
（1）求函数的值域
例11 含根式平方法
（1）
考点四 求函数的解析式
例12.代入法
（1）已知，求的解析式.
已知，求的解析式.
例13.配凑法
（1）已知f=x2+，那么f(3)= . =
（2）已知f=x3+，求f(x).
（3）已知求
（4）已知，求．
（5）已知 f(x-1)＝x2＋2x-5，求
例14.换元法
（1）已知，求．
已知f =lg x，求f(x)；
若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，求f(x)

（4）已知的解析式为________.
(5)f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)；

例14.待定系数法
（1）如果f[f(x)]＝4x-1，那么一次函数=____________.
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
变式4、（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝________
已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝________
已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)；

已知是二次函数，且满足，求.
例15.方程组法(消去法)
（1）已知满足，求．

（2）已知，求的解析式.
（3）已知函数，其中，求函数的解析式
已知f (x)＋2f (－x)＝eq \f (1,x)，求f (x)

（5）已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f(eq \f(1,x))eq \r(x)－1，求f(x)

(6)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
变式5、（1）若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（ ）
A．x+1B．x﹣1C．2x+1D．3x+3

已知f(x)满足2f(x)＋f(eq \f(1,x))＝3x，求f(x)．
考点五.分段函数
例16. (1)(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，x≤0，,lg3x，x>0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))))＝________.
(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3，x≥9，,ffx＋4，x＜9，))则f(7)＝_________________.
变式6.(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.
（3）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≥4，,fx＋1，x＜4，))则f(1＋lg25)＝________.
（4）．(2018·衡阳模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·2x，x≥0，,2－x，x＜0))(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝________.
课后复习题
一．单选
1、设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是__ _．
A BC D
2、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)>eq \f(1,2)，则实数a的取值范围是__________．
3、.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
4、(2017·山东卷)设，若f(a)＝f(a＋1)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
5．若函数y＝f(x＋1)的值域为[－1,1]，则函数y＝f(3x＋2)的值域为( )
A．[－1,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[2,8]
6．(2018·山西名校联考)设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为( )
A．(－9，＋∞) B．(－9,1)
C．[－9，＋∞) D．[－9,1)
7．(2018·安阳三校联考)若函数f(x)＝eq \r(mx2＋mx＋1)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是( )
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
8．(2019·珠海质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋3a，x＜1，,ln x，x≥1))
的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
9．[排除法]设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
10．[特殊值法]函数y＝eq \r(a－ax)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则lgaeq \f(5,6)＋lgaeq \f(48,5)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
11．[排除法]设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
12．[逻辑推理]具有性质feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－eq \f(1,x)；②f(x)＝x＋eq \f(1,x)；③f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，0＜x＜1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①③ B．②③
C．①②③ D．①②
二． 多选
13、德国数学家狄里克雷，，在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是
A．
B．的值域为，
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于直线对称
三．填空
14、(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs\f(πx,2)，0＜x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，－2＜x≤0，))则f(f(15))的值为__________．
15、 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(1)＝____．
16．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln－x，x＜0，,－ln x，x>0，))若f(m)>f(－m)，则实数m的取值范围是________．

17．(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝eq \r(mx2＋m－3x＋1)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．
18．[数学运算]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≤0，,x－1，x>0，))g(x)＝2x－1，则f(g(2))＝__________，f(g(x))的值域为________．
19．[数学抽象]设函数f：R→R，满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 018)＝________.
20．[数形结合法]设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋f(x－1)>1的x的取值范围是________．
四．解答
21、 根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)；
(2)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
(3)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
函数
映射
两集合A，B
设A，B是非空的数集
设A，B是非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应fA→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射