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2021年甘肃省武威市、定西市、平凉市、酒泉市、庆阳市中考数学真题（word版 含答案）
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这是一份2021年甘肃省武威市、定西市、平凉市、酒泉市、庆阳市中考数学真题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年甘肃省定西市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1．3的倒数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝4
4．中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5×108 B．5×109 C．5×1010 D．50×108
5．将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）
6．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（ ）
A．70° B．60° C．75° D．80°
7．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
8．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
10．如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．因式分解：4m﹣2m2＝ ．
12．关于x的不等式x﹣1＞的解集是 ．
13．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 。
14．开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：
体温（℃）
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数（天）
2
3
3
4
1
1
这14天中，小芸体温的众数是 ℃。
15．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝ cm．
16．若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
17．如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 dm2．
18．一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（4分）计算：（2021﹣π）0+（）﹣1﹣2cos45°．
20．（4分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝4．
21．（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
22．（6分）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．
问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
23．（6分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
24．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
等级
成绩x
A
50≤x＜60
B
60≤x＜70
C
70≤x＜80
D
80≤x＜90
E
90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
25．（7分）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示．
（1）小刚家与学校的距离为 m，小刚骑自行车的速度为 m/min；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？
26．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
27．（8分）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．
2021年甘肃省定西市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1．3的倒数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义进行答题．
【解答】解：设3的倒数是a，则3a＝1，
解得，a＝．
故选：D．
2．2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝4
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项的计算错误；
B、原式＝3，所以B选项的计算错误；
C、原式＝＝，所以C选项的计算正确；
D、原式＝＝＝2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
4．中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5×108 B．5×109 C．5×1010 D．50×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将50亿用科学记数法表示为5×109．
故选：B．
5．将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【解答】解：将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y＝5x﹣2．
故选：A．
6．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（ ）
A．70° B．60° C．75° D．80°
【分析】根据角的和差得到∠ABF＝70°,再根据两直线平行，同位角相等即可得解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°,∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝70°,
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝70°,
故选：A．
7．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝∠COD＝21°．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED＝∠COD＝21°．
故选：D．
8．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设共有x人，y辆车，
依题意得：．
故选：C．
9．对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【分析】根据（m，n）是“相随数对”得出9m+4n＝0，再将原式化成9m+4n﹣2，最后整体代入求值即可．
【解答】解：∵（m，n）是“相随数对”，
∴+＝，
∴＝，
即9m+4n＝0，
∴3m+2[3m+（2n﹣1）]
＝3m+2[3m+2n﹣1]
＝3m+6m+4n﹣2
＝9m+4n﹣2
＝0﹣2
＝﹣2，
故选：A．
10．如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【分析】先根据AB＝BC结合图2得出AB＝，进而利用勾股定理得，AD²+BD²＝13，再由运动结合△ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值为3，即AD•BD＝3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，
∵AB＝BC，
∴AB＝，
∵AB＝BC，BD⊥BC，
∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，
设点M到AC的距离为h，
∴S△ADM＝AD•h，
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，
由图2知，△ADM的面积最大为3，
∴AD•BC＝3，
∴AD•BD＝6②，
①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，
∴(AD+BD)²＝25，
∴AD+BD＝5（负值舍去），
∴BD＝5﹣AD③，
将③代入②得，AD(5﹣AD)＝6，
∴AD＝3或AD＝2，
∵AD＞BD，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
故选：B．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．因式分解：4m﹣2m2＝ 2m（2﹣m） ．
【分析】提取公因式进行因式分解．
【解答】解：4m﹣2m2＝2m(2﹣m)，
故答案为：2m(2﹣m)．
12．关于x的不等式x﹣1＞的解集是 x＞ ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得：x＞1+，
合并同类项，得：x＞，
系数化为1，得：x＞，
故答案为：x＞．
13．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 1 。
【分析】根据根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(﹣2)2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
14．开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：
体温（℃）
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数（天）
2
3
3
4
1
1
这14天中，小芸体温的众数是 36.6 ℃。
【分析】根据众数的定义就可解决问题．
【解答】解：36.6出现的次数最多有4次，所以众数是36.6．
故答案为：36.6．
15．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝ 6 cm．
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD长，再根据矩形的性质得出AD∥BC,∠B＝90°,然后解直角三角形ABE即可．
【解答】解：∵∠AED＝90°F是AD边的中点，EF＝4，
∴AD＝2EF＝8,
∵∠EAD＝30°,
∴AE＝AD•cos∠30°＝8×＝4,
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC,∠B＝90°,
∴∠BEA＝∠AED＝30°,
在Rt△ABE中，
BE＝AE•cos∠BEA＝4×cos30°＝4×＝6(cm),
故答案为：6．
16．若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】反比例函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．
【解答】解：∵k＝a2+1＞0，
∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为＜．
17．如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 2π dm2．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
【解答】解：连接AC,
∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝22，
∴AB＝BC＝2dm，
∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．
故答案为：2π．
18．一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是 an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1 ．
【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号：第奇数项是正号，第偶数项是负号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，据此即可写出．
【解答】解:观察代数式,得到第n个式子是:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．
故答案为:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．
三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（4分）计算：（2021﹣π）0+（）﹣1﹣2cos45°．
【分析】根据零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解:原式＝1+2﹣2×
＝3﹣．
20．（4分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝4．
【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案．
【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝﹣,
当x＝4时，原式＝﹣＝﹣．
21．（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．
②根据要求作出图形即可．
（2）证明△DFB≌△DCB可得结论．
【解答】解：（1）①如图，直线DE，线段AD,线段CD即为所求．
②如图，点F，线段CD,BD,BF即为所求作．
(2)结论：BF＝BC．
理由：∵DE垂直平分线段AC,
∴DA＝DC,
∴∠DAC＝∠DCA,
∵AD＝DF,
∴DF＝DC,＝,
∴∠DBC＝∠DBF,
∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°,
∴∠DFB＝∠DCB,
在△DFB和△DCB中，
,
∴△DFB≌△DCB(AAS),
∴BF＝BC．
22．（6分）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．
问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【分析】设设CD＝xcm，在Rt△ACD中，可得出AD＝，在Rt△ACD中,BD＝，再由AD+BD＝AB,列式计算即可得出答案．
【解答】解：设CD＝xcm，
在Rt△ACD中，AD＝,
在Rt△ACD中,BD＝,
∵AD+BD＝AB,
∴,
解得，x≈33.4．
答：宝塔的高度约为33.4m．
23．（6分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【分析】（1）设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸到红球的概率为0.75，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，
根据题意，得：＝0.75，
解得x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
∴估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为＝．
四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
24．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
等级
成绩x
A
50≤x＜60
B
60≤x＜70
C
70≤x＜80
D
80≤x＜90
E
90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了 200 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 16 ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在 C 等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以A等级对应百分比可得m的值；
（2）总人数乘以C等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）总人数乘以样本中D、E等级人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）一共调查学生人数为40÷20%＝200，A等级人数m＝200×8%＝16，
故答案为：200，16；
（2）∵C等级人数为200×25%＝50，
补全频数分布直方图如下：
（3）由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据都落在C等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级；
故答案为：C．
（4）估计成绩优秀的学生有2000×＝940（人）．
25．（7分）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示．
（1）小刚家与学校的距离为 3000 m，小刚骑自行车的速度为 200 m/min；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？
【分析】（1）根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车的速度为200m/min；
（2）先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（3）把x＝35代入（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，小刚家与学校的距离为3000m，
小刚骑自行车的速度为：（5000﹣3000）÷10＝200（m/min），
故答案为：3000；200；
（2）小刚从图书馆返回家的时间：5000÷200＝25（min），
总时间：25+20＝45（min），
设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为y＝kx+b，
把（20，5000），（45，0）代入得：
，解得,
∴y＝﹣200x+9000（20≤x≤45）；
（3）小刚出发35分钟时，即当x＝35时，
y＝﹣200×35+9000＝2000．
答：此时他离家2000m．
26．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出,∠OCA＝∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，进而得到∠OCD＝90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到＝＝,设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x＝1,即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB＝∠EOC,在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC＝2,即tan∠OCB＝2．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC,
∴∠OAC＝∠OCA,
∵∠DCB＝∠OAC,
∴∠OCA＝∠DCB,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠OCA+∠OCB＝90°,
∴∠DCB+∠OCB＝90°,
即∠OCD＝90°,
∴OC⊥DC,
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OE∥AC，
∴＝,
∵CD＝4，CE＝6，
∴＝＝,
设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,
∵OC⊥DC,
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2,
∴(3x)2+42＝(5x)2,
解得，x＝1,
∴OC＝3x＝3,即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE,
∴∠OCB＝∠EOC,
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2,
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
27．（8分）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形；
（2）根据矩形的性质得∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，利用SAS可得△DAB≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，由已知DE＝AF可得AH＝AF，即可得△AHF是等腰三角形；
（3）延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等边三角形，则AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代换可得DE＝AH＝8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，
∵BH＝AE，
∴△DAB≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形；
（3）解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,AB＝AD,
∴∠ABH＝∠BAD,
∵BH＝AE,
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF,
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出点D的坐标，可得结论．
（3）①过点H作HM⊥EF于M,证明△EMH≌△FGB(AAS),推出MH＝GB,EM＝FG,由HM＝OG,可得OG＝GB＝OB＝2,由题意直线AB的解析式为y＝x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),根据MH＝BG,构建方程求解，可得结论．
②因为△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7,所以要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，因为PC+PB≥BC,所以当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过A（0，﹣2），B（4，0）两点，
∴,
解得,
∴y＝x2﹣x﹣2．
（2）∵B(4,0),A(0,﹣2),
∴OB＝4,OA＝2,
∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，
在Rt△BOA和Rt△BGF中，tan∠ABO＝＝,
即＝,
∴GB＝1,
∴OG＝OB﹣GB＝4﹣1＝3,
当x＝3时，yD＝×9﹣×3﹣2＝﹣2,
∴D(3,﹣2),即GD＝2,
∴FD＝GD﹣GF＝2﹣＝,
∴S△BDF＝•DF•BG＝××1＝．
(3)①如图1中，过点H作HM⊥EF于M,
∵四边形BEHF是矩形，
∴EH∥BF,EH＝BF,
∴∠HEF＝∠BFE,
∵∠EMH＝∠FGB＝90°,
∴△EMH≌△FGB(AAS),
∴MH＝GB,EM＝FG,
∵HM＝OG,
∴OG＝GB＝OB＝2,
∵A(0,﹣2),B(4,0),
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2,
设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),
由MH＝BG得到，a﹣0＝4﹣a,
∴a＝2,
∴E(2,4),F(2,﹣1),
∴FG＝1,
∵EM＝FG,
∴4﹣yH＝1,
∴yH＝1,
∴H(0,3)．
②如图2中，
BH＝＝＝5,
∵PH＝PC+2,
∴△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7,
要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，
∵PC+PB≥BC,
∴当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，
∵BC＝＝＝4,
∴△PHB的周长的最小值为4+7．
2021年甘肃省定西市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1．3的倒数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝4
4．中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5×108 B．5×109 C．5×1010 D．50×108
5．将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）
6．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（ ）
A．70° B．60° C．75° D．80°
7．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
8．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
10．如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．因式分解：4m﹣2m2＝ ．
12．关于x的不等式x﹣1＞的解集是 ．
13．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 。
14．开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：
体温（℃）
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数（天）
2
3
3
4
1
1
这14天中，小芸体温的众数是 ℃。
15．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝ cm．
16．若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
17．如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 dm2．
18．一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（4分）计算：（2021﹣π）0+（）﹣1﹣2cos45°．
20．（4分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝4．
21．（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
22．（6分）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．
问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
23．（6分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
24．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
等级
成绩x
A
50≤x＜60
B
60≤x＜70
C
70≤x＜80
D
80≤x＜90
E
90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
25．（7分）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示．
（1）小刚家与学校的距离为 m，小刚骑自行车的速度为 m/min；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？
26．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
27．（8分）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．
2021年甘肃省定西市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1．3的倒数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义进行答题．
【解答】解：设3的倒数是a，则3a＝1，
解得，a＝．
故选：D．
2．2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝4
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项的计算错误；
B、原式＝3，所以B选项的计算错误；
C、原式＝＝，所以C选项的计算正确；
D、原式＝＝＝2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
4．中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5×108 B．5×109 C．5×1010 D．50×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将50亿用科学记数法表示为5×109．
故选：B．
5．将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【解答】解：将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y＝5x﹣2．
故选：A．
6．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（ ）
A．70° B．60° C．75° D．80°
【分析】根据角的和差得到∠ABF＝70°,再根据两直线平行，同位角相等即可得解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°,∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝70°,
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝70°,
故选：A．
7．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝∠COD＝21°．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED＝∠COD＝21°．
故选：D．
8．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设共有x人，y辆车，
依题意得：．
故选：C．
9．对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【分析】根据（m，n）是“相随数对”得出9m+4n＝0，再将原式化成9m+4n﹣2，最后整体代入求值即可．
【解答】解：∵（m，n）是“相随数对”，
∴+＝，
∴＝，
即9m+4n＝0，
∴3m+2[3m+（2n﹣1）]
＝3m+2[3m+2n﹣1]
＝3m+6m+4n﹣2
＝9m+4n﹣2
＝0﹣2
＝﹣2，
故选：A．
10．如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【分析】先根据AB＝BC结合图2得出AB＝，进而利用勾股定理得，AD²+BD²＝13，再由运动结合△ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值为3，即AD•BD＝3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，
∵AB＝BC，
∴AB＝，
∵AB＝BC，BD⊥BC，
∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，
设点M到AC的距离为h，
∴S△ADM＝AD•h，
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，
由图2知，△ADM的面积最大为3，
∴AD•BC＝3，
∴AD•BD＝6②，
①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，
∴(AD+BD)²＝25，
∴AD+BD＝5（负值舍去），
∴BD＝5﹣AD③，
将③代入②得，AD(5﹣AD)＝6，
∴AD＝3或AD＝2，
∵AD＞BD，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
故选：B．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．因式分解：4m﹣2m2＝ 2m（2﹣m） ．
【分析】提取公因式进行因式分解．
【解答】解：4m﹣2m2＝2m(2﹣m)，
故答案为：2m(2﹣m)．
12．关于x的不等式x﹣1＞的解集是 x＞ ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得：x＞1+，
合并同类项，得：x＞，
系数化为1，得：x＞，
故答案为：x＞．
13．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 1 。
【分析】根据根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(﹣2)2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
14．开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：
体温（℃）
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数（天）
2
3
3
4
1
1
这14天中，小芸体温的众数是 36.6 ℃。
【分析】根据众数的定义就可解决问题．
【解答】解：36.6出现的次数最多有4次，所以众数是36.6．
故答案为：36.6．
15．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝ 6 cm．
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD长，再根据矩形的性质得出AD∥BC,∠B＝90°,然后解直角三角形ABE即可．
【解答】解：∵∠AED＝90°F是AD边的中点，EF＝4，
∴AD＝2EF＝8,
∵∠EAD＝30°,
∴AE＝AD•cos∠30°＝8×＝4,
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC,∠B＝90°,
∴∠BEA＝∠AED＝30°,
在Rt△ABE中，
BE＝AE•cos∠BEA＝4×cos30°＝4×＝6(cm),
故答案为：6．
16．若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】反比例函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．
【解答】解：∵k＝a2+1＞0，
∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为＜．
17．如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 2π dm2．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
【解答】解：连接AC,
∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝22，
∴AB＝BC＝2dm，
∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．
故答案为：2π．
18．一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是 an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1 ．
【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号：第奇数项是正号，第偶数项是负号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，据此即可写出．
【解答】解:观察代数式,得到第n个式子是:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．
故答案为:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．
三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（4分）计算：（2021﹣π）0+（）﹣1﹣2cos45°．
【分析】根据零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解:原式＝1+2﹣2×
＝3﹣．
20．（4分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝4．
【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案．
【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝﹣,
当x＝4时，原式＝﹣＝﹣．
21．（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．
②根据要求作出图形即可．
（2）证明△DFB≌△DCB可得结论．
【解答】解：（1）①如图，直线DE，线段AD,线段CD即为所求．
②如图，点F，线段CD,BD,BF即为所求作．
(2)结论：BF＝BC．
理由：∵DE垂直平分线段AC,
∴DA＝DC,
∴∠DAC＝∠DCA,
∵AD＝DF,
∴DF＝DC,＝,
∴∠DBC＝∠DBF,
∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°,
∴∠DFB＝∠DCB,
在△DFB和△DCB中，
,
∴△DFB≌△DCB(AAS),
∴BF＝BC．
22．（6分）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．
问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【分析】设设CD＝xcm，在Rt△ACD中，可得出AD＝，在Rt△ACD中,BD＝，再由AD+BD＝AB,列式计算即可得出答案．
【解答】解：设CD＝xcm，
在Rt△ACD中，AD＝,
在Rt△ACD中,BD＝,
∵AD+BD＝AB,
∴,
解得，x≈33.4．
答：宝塔的高度约为33.4m．
23．（6分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【分析】（1）设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸到红球的概率为0.75，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，
根据题意，得：＝0.75，
解得x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
∴估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为＝．
四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
24．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
等级
成绩x
A
50≤x＜60
B
60≤x＜70
C
70≤x＜80
D
80≤x＜90
E
90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了 200 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 16 ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在 C 等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以A等级对应百分比可得m的值；
（2）总人数乘以C等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）总人数乘以样本中D、E等级人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）一共调查学生人数为40÷20%＝200，A等级人数m＝200×8%＝16，
故答案为：200，16；
（2）∵C等级人数为200×25%＝50，
补全频数分布直方图如下：
（3）由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据都落在C等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级；
故答案为：C．
（4）估计成绩优秀的学生有2000×＝940（人）．
25．（7分）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示．
（1）小刚家与学校的距离为 3000 m，小刚骑自行车的速度为 200 m/min；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？
【分析】（1）根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车的速度为200m/min；
（2）先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（3）把x＝35代入（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，小刚家与学校的距离为3000m，
小刚骑自行车的速度为：（5000﹣3000）÷10＝200（m/min），
故答案为：3000；200；
（2）小刚从图书馆返回家的时间：5000÷200＝25（min），
总时间：25+20＝45（min），
设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为y＝kx+b，
把（20，5000），（45，0）代入得：
，解得,
∴y＝﹣200x+9000（20≤x≤45）；
（3）小刚出发35分钟时，即当x＝35时，
y＝﹣200×35+9000＝2000．
答：此时他离家2000m．
26．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出,∠OCA＝∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，进而得到∠OCD＝90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到＝＝,设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x＝1,即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB＝∠EOC,在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC＝2,即tan∠OCB＝2．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC,
∴∠OAC＝∠OCA,
∵∠DCB＝∠OAC,
∴∠OCA＝∠DCB,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠OCA+∠OCB＝90°,
∴∠DCB+∠OCB＝90°,
即∠OCD＝90°,
∴OC⊥DC,
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OE∥AC，
∴＝,
∵CD＝4，CE＝6，
∴＝＝,
设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,
∵OC⊥DC,
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2,
∴(3x)2+42＝(5x)2,
解得，x＝1,
∴OC＝3x＝3,即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE,
∴∠OCB＝∠EOC,
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2,
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
27．（8分）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形；
（2）根据矩形的性质得∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，利用SAS可得△DAB≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，由已知DE＝AF可得AH＝AF，即可得△AHF是等腰三角形；
（3）延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等边三角形，则AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代换可得DE＝AH＝8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，
∵BH＝AE，
∴△DAB≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形；
（3）解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,AB＝AD,
∴∠ABH＝∠BAD,
∵BH＝AE,
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF,
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出点D的坐标，可得结论．
（3）①过点H作HM⊥EF于M,证明△EMH≌△FGB(AAS),推出MH＝GB,EM＝FG,由HM＝OG,可得OG＝GB＝OB＝2,由题意直线AB的解析式为y＝x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),根据MH＝BG,构建方程求解，可得结论．
②因为△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7,所以要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，因为PC+PB≥BC,所以当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过A（0，﹣2），B（4，0）两点，
∴,
解得,
∴y＝x2﹣x﹣2．
（2）∵B(4,0),A(0,﹣2),
∴OB＝4,OA＝2,
∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，
在Rt△BOA和Rt△BGF中，tan∠ABO＝＝,
即＝,
∴GB＝1,
∴OG＝OB﹣GB＝4﹣1＝3,
当x＝3时，yD＝×9﹣×3﹣2＝﹣2,
∴D(3,﹣2),即GD＝2,
∴FD＝GD﹣GF＝2﹣＝,
∴S△BDF＝•DF•BG＝××1＝．
(3)①如图1中，过点H作HM⊥EF于M,
∵四边形BEHF是矩形，
∴EH∥BF,EH＝BF,
∴∠HEF＝∠BFE,
∵∠EMH＝∠FGB＝90°,
∴△EMH≌△FGB(AAS),
∴MH＝GB,EM＝FG,
∵HM＝OG,
∴OG＝GB＝OB＝2,
∵A(0,﹣2),B(4,0),
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2,
设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),
由MH＝BG得到，a﹣0＝4﹣a,
∴a＝2,
∴E(2,4),F(2,﹣1),
∴FG＝1,
∵EM＝FG,
∴4﹣yH＝1,
∴yH＝1,
∴H(0,3)．
②如图2中，
BH＝＝＝5,
∵PH＝PC+2,
∴△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7,
要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，
∵PC+PB≥BC,
∴当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，
∵BC＝＝＝4,
∴△PHB的周长的最小值为4+7．
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