数学北师大版第一章 直角三角形的边角关系综合与测试教案及反思

这是一份数学北师大版第一章 直角三角形的边角关系综合与测试教案及反思，共27页。
第1课时 正切 教学设计
[来源:学*科*网]
1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(重点)
2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.
阅读教材P2～4，完成预习内容.
(一)知识探究
1.在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝eq \f(∠A的对边,∠A的邻边).
2.tanA的值越大，梯子越陡.
3.坡面的竖直高度与水平距离的比称为坡度(或坡比).
(二)自学反馈
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么tanA等于(C)
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(12,5)
2.如图，有一个山坡在水平方向上前进100 m，在竖直方向上就升高60 m，那么山坡的坡度i＝tanα＝eq \f(3,5).
活动1 小组讨论
例 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
解：甲梯中，tanα＝eq \f(5,\r(132－52))＝eq \f(5,12).乙梯中，tanβ＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4).
因为tanβ>tanα，所以乙梯更陡.
求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边.
活动2 跟踪训练
1.如图，下面四个梯子最陡的是(B)
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、O为格点，则tan∠AOB＝(A)
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(5),3)

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝24，c＝25，则tanA＝eq \f(24,7)、tanB＝eq \f(7,24).
4.如图，某人从山脚下的点A走了300 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为70 m，求山的坡度0.24.(结果精确到0.01)
活动3 课堂小结
1.正切的定义.
2.梯子的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系).
3.数形结合的方法，构造直角三角形的意识.
第2课时 锐角三角函数
1.理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法.(重点)
2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，则其对边、邻边、斜边三边比值也一定.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
阅读教材P5～6，完成预习内容.
(一)知识探究
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c；∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，即sinA＝eq \f(a,c).∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即csA＝eq \f(b,c).
2.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的三角函数.
3.sinA的值越大，梯子越陡；csA的值越小，梯子越陡.
锐角三角函数是在直角三角形的前提下.
(二)自学反馈
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是(A)
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(13,5)
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，csB＝eq \f(2,3)，则BC的长为(A)
A.4 B.2eq \r(5) C.eq \f(18\r(13),13) D.eq \f(12\r(13),13)
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3、b＝4，则sinB＝eq \f(4,5)，csB＝eq \f(3,5)，tanB＝eq \f(4,3).
活动1 小组讨论
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，求BC的长.
解：在Rt△ABC中，
∵sinA＝eq \f(BC,AC)，即eq \f(BC,200)＝0.6，
∴BC＝200×0.6＝120.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，csA＝eq \f(12,13)，求AB的长及sinB.
解：在Rt△ABC中，
∵csA＝eq \f(AC,AB)，
即eq \f(10,AB)＝eq \f(12,13)，∴AB＝eq \f(65,6).
∴sinB＝eq \f(AC,AB)＝csA＝eq \f(12,13).
这里需要注意csA＝sinB.
活动2 跟踪训练
1.如图，某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，已知AC＝8，DB＝4eq \r(3)，CD⊥AB于点D，求sinB的值.
解：∵△ABC是等腰三角形，∴BC＝AC＝8.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴CD＝eq \r(BC2－BD2)＝eq \r(82－（4\r(3)）2)＝4，
∴sinB＝eq \f(CD,BC)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).
2.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝eq \f(3,2)，求sinB＋csB的值.
解：在Rt△ACD中，∵CD＝6，tanA＝eq \f(3,2)，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8.
在Rt△BCD中，BC＝eq \r(82＋62)＝10，∴sinB＝eq \f(CD,BC)＝eq \f(3,5)，csB＝eq \f(BD,BC)＝eq \f(4,5)，∴sinB＋csB＝eq \f(7,5).
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算，能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(重点)
阅读教材P8～9，完成预习内容.
自学反馈
完成下面的表格：
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)sin30°＋cs45°；
(2)sin260°＋cs260°－tan45°.
解：(1)原式＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1＋\r(2),2).
(2)原式＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)－1＝0.
sin230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.
例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
解：根据题意可知，∠AOD＝eq \f(1,2)∠AOB＝30°，AO＝2.5 m.
∴OD＝OAcs30°＝2.5×eq \f(\r(3),2)＝2.165(m).
∴CD＝2.5－2.165≈0.34(m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.
活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)2sin30°＋3tan30°＋tan45°；
(2)cs245°＋tan60°cs30°.
解：(1)原式＝2＋eq \r(3).
(2)原式＝2.
2.如图，某同学用一个有60°的直角三角板估测学校旗杆AB的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5 m高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D，B的距离为5 m，则旗杆AB的高度大约是多少米？(精确到1 m，eq \r(3)取1.73)
解：由已知可得四边形CDBE是矩形，
∴CE＝DB＝5 m，BE＝CD＝1.5 m.
在Rt△ACE中，∵tan∠ACE＝eq \f(AE,CE)，
∴AE＝CE·tan∠ACE＝5·tan60°＝5eq \r(3)，
∴AB＝5eq \r(3)＋1.5＝8.65＋1.5＝10.15≈10 (m)，
即旗杆AB的高度大约是10 m.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
1.3 三角函数的计算
1.能利用计算器求锐角三角函数值.
2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.
阅读教材P12～14，完成预习内容.
自学反馈
1.已知tanα＝0.324 9，则α约为(B)
A.17° B.18° C.19° D.20°
2.已知tanβ＝22.3，则β＝87°25′56″.(精确到1″)
活动1 小组讨论
例1 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01 m)
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴BC＝ABsinα＝200×sin16°≈55.13(m).
例2 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜到.这条斜道的倾斜角是多少？
解：在Rt△ABC中，sinA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(10,40)＝eq \f(1,4).
∴∠A≈14°28′.
答：这条斜道的坡角α是14°28′.
在直角三角形ABC中，直接用正弦函数描述∠CBA的关系式，再用计算器求出它的度数.
活动2 跟踪训练
1.用计算器计算：(结果精确到0.000 1)
(1)sin36°； (2)cs30.7°；
(3)tan20°30′； (4)sin25°＋2cs61°－tan71°.
解：(1)0.587 8；(2)0.859 9；(3)0.373 9；(4)－1.512 0.
2.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°).
解：∵∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，
∴tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(12.5,20)＝0.625，
用计算器计算，得∠B≈32°，
∴∠A＝90°－32°＝58°.
活动3 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.
2.本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面.
3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，故数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序.
1.4 解直角三角形
1.了解什么叫解直角三角形.
2.掌握解直角三角形的根据，能由已知条件解直角三角形.(重点)
阅读教材P16～17，完成预习内容.
(一)知识探究
1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系：
三边之间的关系a2＋b2＝c2；
两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°；
边与角之间的关系：sinA＝eq \f(a,c)，csA＝eq \f(b,c)，tanA＝eq \f(a,b)，sinB＝eq \f(b,c)，csB＝eq \f(a,c)，tanB＝eq \f(b,a).
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A与斜边c，用关系式∠B＝90°－∠A，求出∠B，用关系式sinA＝eq \f(a,c)求出a.
(二)自学反馈
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(3,5)，则BC∶AC＝(A)
A.3∶4 B.4∶3 C.3∶5 D.4∶5
2.如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为(B)
A.5csα B.eq \f(5,csα) C.5sinα D.eq \f(5,sinα)
活动1 小组讨论
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝eq \r(15)，b＝eq \r(5)，求这个三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝eq \r(15)，b＝eq \r(5)，
∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(（\r(15)）2＋（\r(5)）2)＝2eq \r(5).
在Rt△ABC中，sinB＝eq \f(b,c)＝eq \f(\r(5),2\r(5))＝eq \f(1,2).
∴∠B＝30°.∴∠A＝60°.
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b＝30，∠B＝25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°.
∵sinB＝eq \f(b,c)，b＝30，∴c＝eq \f(b,sinB)≈71.
∵tanB＝eq \f(b,a)，b＝30，∴a＝eq \f(b,tanB)＝eq \f(30,tan25°)≈64.
活动2 跟踪训练
1.根据下列条件解直角三角形.
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4eq \r(3)，∠A＝60°.
解：∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°.
∵sinA＝eq \f(a,c)，∴a＝c·sinA＝4eq \r(3)·sin60°＝4eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6，
∴b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(（4\r(3)）2－62)＝2eq \r(3).
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝2eq \r(3).
解：∵∠C＝90°，a＝6，b＝2eq \r(3)，
∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(62＋（2\r(3)）2)＝4eq \r(3).
∵tanA＝eq \f(a,b)＝eq \f(6,2\r(3))＝eq \r(3)，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长.
解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，
∴AD＝eq \f(1,2)AB＝4，BD＝eq \r(3)AD＝4eq \r(3).
在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4eq \r(3)＋4.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
1.5 三角函数的应用
第1课时 方位角问题
能运用解直角三角形解决航行问题.
阅读教材P19有关方位角问题，完成预习内容.
自学反馈
1.如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向.
2.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是250米.
活动1 小组讨论
例 如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)，
∴BD＝AD·tan55°.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)，
∴CD＝AD·tan25°.
∵BD＝BC＋CD，
∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.
∴AD＝eq \f(20,tan55°－tan25°)≈20.79>10.
∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险.
应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.
活动2 跟踪训练
1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为(A)
A.40eq \r(2)海里
B.40eq \r(3)海里
C.80海里
D.40eq \r(6)海里
2.如图所示，A、B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：eq \r(3)≈1.732，eq \r(2)≈1.414)
解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.理由如下：
过点P作PC⊥AB，C是垂足.
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝100，
即eq \f(\r(3),3)PC＋PC＝100，(eq \f(\r(3),3)＋1)PC＝100，
∴PC＝eq \f(3,3＋\r(3))×100
＝50×(3－1.732)≈63.40>50.
∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
第2课时 仰角、俯角问题
1.理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.
2.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.
阅读教材P19想一想，完成预习内容.
(一)知识探究
1.仰角、俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.
2.解决实际应用问题时，常作的辅助线：构造直角三角形，解直角三角形.
(二)自学反馈
1.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为(D)
A.1 200 m B.1 200eq \r(2) m
C.1 200eq \r(3) m D.2 400 m
2.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是(D)
A.200米 B.200eq \r(3)米
C.220eq \r(3)米 D.100(eq \r(3)＋1)米
活动1 小组讨论
例 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)
解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，
∴BD＝AB＝50 m.∴DC＝BD·sin60°＝50×eq \f(\r(3),2)＝25eq \r(3)≈43(m).
答：该塔高约为43 m.
活动2 跟踪训练
1.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB水平距离60米(BD＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD高15米，在该住宅楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)
解：没有危险，理由如下：
在△AEC中，∵∠AEC＝90°，
∴tan∠ACE＝eq \f(AE,CE).
∵∠ACE＝30°，CE＝BD＝60，
∴AE＝20eq \r( ,3)≈34.64(米).
又∵AB＝AE＋BE，BE＝CD＝15，
∴AB≈49.64(米).
∵60>49.64，即BD>AB，
∴在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼没有危险.
2.如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)
解：作CF⊥AB于点F，设AF＝x米，
在Rt△ACF中，tan∠ACF＝eq \f(AF,CF)，
则CF＝eq \f(AF,tan∠ACF)＝eq \f(x,tanα)＝eq \f(x,tan30°)＝eq \r(3)x，
在直角△ABE中，AB＝x＋BF＝4＋x(米)，
在直角△ABE中，tan∠AEB＝eq \f(AB,BE)，则BE＝eq \f(AB,tan∠AEB)＝eq \f(x＋4,tan60°)＝eq \f(\r(3),3)(x＋4)米.
∵CF－BE＝DE，即eq \r(3)x－eq \f(\r(3),3)(x＋4)＝3.
解得x＝eq \f(3\r(3)＋4,2).
则AB＝eq \f(3\r(3)＋4,2)＋4＝eq \f(3\r(3)＋12,2)(米).
答：树高AB是eq \f(3\r(3)＋12,2)米.
活动3 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.
2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.
第3课时 坡度问题
1.能运用解直角三角形解决斜坡问题.
2.理解坡度i＝eq \f(坡面的铅直高度,坡面的水平宽度)＝tan坡角.
阅读教材P19做一做，完成预习内容.
自学反馈
1.如图所示，斜坡AB和水平面的夹角为α.下列命题中，不正确的是(B)
A.斜坡AB的坡角为α B.斜坡AB的坡度为eq \f(BC,AB)
C.斜坡AB的坡度为tanα D.斜坡AB的坡度为eq \f(BC,AC)
2.如图，一人乘雪橇沿30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s＝10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为(C)
A.72 m B.36eq \r(3) m C.36 m D.18eq \r(3) m
活动1 小组讨论
例 某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)

解：根据题意可得图形，如图所示：
在Rt△ABD中，sin40°＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(AD,4)，
∴AD＝4sin40°＝4×0.64＝2.56，
在Rt△ACD中，tan35°＝eq \f(AD,CD)＝eq \f(2.56,CD)，
CD＝eq \f(2.56,tan35°)＝3.66，
tan40°＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(2.56,BD)，
BD＝eq \f(2.56,tan40°)≈3.055 m.
∴CB＝CD－BD＝3.66－3.055≈0.61(m).
∴楼梯多占了0.61 m长一段地面.
AC＝eq \f(AD,sin35°)≈4.46 m.
∴AC－AB＝4.46－4＝0.46(m).
∴调整后的楼梯会加长0.46 m.
活动2 跟踪训练
1.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是210cm.
2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1 m)
解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq \f(BE,AE)＝eq \f(1,3)，eq \f(CF,FD)＝eq \f(1,2.5)，
∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m).
∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).
∵斜坡的坡度i＝eq \f(1,3)≈0.333 3，
∴eq \f(BE,AE)＝0.333 3，即tanα＝0.333 3.∴α≈18°26′.
∵eq \f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq \f(BE,sinα)≈eq \f(23,0.316 2)≈72.7(m).
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.
这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
1.6 利用三角函数测高
会利用直角三角形的边角关系测物体的高度.(重点)
阅读教材P22～23，完成预习内容.
自学反馈
1.测量倾斜角可用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.
活动1 小组讨论
例1 测量底部可以到达的物体的高度
下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.
计算，旗杆高AB(精确到0.1 m)
AB＝AE＋BE＝CEtan31°＋CD
＝24.08×tan31°＋1.21＝15.7(m)
例2 测量底部不可以到达的物体的高度.
如图，小山上有一座铁塔AB，在D处测得点A的仰角为∠ADC＝60°，点B的仰角为∠BDC＝45°；在E处测得A的仰角为∠E＝30°，并测得DE＝90米，求小山高BC和铁塔高AB(精确到0.1米).
解：在△ADE中，∠E＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠E＝∠DAE＝30°.
∴AD＝DE＝90米.
在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，则CD＝eq \f(1,2)AD＝45米，AC＝AD·sin∠ADC＝AD·sin60°＝45eq \r(3)米.
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，则△BCD是等腰直角三角形.
BC＝CD＝45米，
∴AB＝AC－BC＝45eq \r(3)－45≈32.9米.
答：小山高BC为45米，铁塔高AB约为32.9米.
活动2 跟踪训练
为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1)的测量方案：
把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7米，观察者目高CD＝1.6米，请你计算树AB的高度(精确到0.1米)
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是①④.
(2)在图(2)中画出你的测量方案示意图；
(3)你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a，b，c，α，β等表示测得的数据a·tanα＋1.5.
(4)写出求树高的算式：AB＝AB＝a·tanα＋1.5.
解：实践一：∵∠CED＝∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，
∴△CED∽△AEB，
∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(DE,BE).
∵CD＝1.6米，DE＝2.7米，BE＝8.7米，
∴AB＝eq \f(1.6×8.7,2.7)≈5.2(m).
实践二：(1)在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.
再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，求得树高出测角仪的高度AE，则树高为AE＋BE.
(2)如图.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？sinα
csα
tanα
30°
eq \f(1,2)
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(3),3)
45°
eq \f(\r(2),2)
eq \f(\r(2),2)
1
60°
eq \f(\r(3),2)
eq \f(1,2)
eq \r(3)
课题
测量旗杆高
测量示
意图
测得
数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
BD的长
24.19 m
23.97 m
24.08 m
测倾器的高
CD＝1.23 m
CD＝1.19 m
1.21 m
倾斜角
α＝31°15′
α＝30°45′
α＝31°