高考数学一轮复习试题　抛物线定义、最值、标准方程

抛物线定义、最值、标准方程

题型一、抛物线定义及应用

1．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

2．已知为抛物线：()上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为4，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

3．已知为抛物线：上一点，且点在第四象限，点到的焦点的距离为3，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

4．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．抛物线的焦点为.对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

6．已知点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若．则p的值为（    ）

A．1或 B．或3 C．3或 D．1或

题型二、抛物线最值

7．已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是（    ）

A．3 B．9 C．12 D．6

8．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C． D．

9．已知点是抛物线上一动点，则的最小值为

A．4 B．5 C． D．6

10．在抛物线上有一动点，，记到轴的距离为，则（    ）

A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值

C．既有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值

11．如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且满足，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

题型三、抛物线的标准方程及轨迹方程

13．准线为的抛物线标准方程是（　　）

A． B． C． D．

14．已知抛物线(为常数)过点，则抛物线的焦点到它的准线的距离是（    ）

A． B．

C． D．

15．点到点 的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

16．动圆M与定圆相外切，且与直线相切，则动圆的圆心满足的方程为（   ）

A． B． C． D．

17．已知抛物线的焦点是，、、是抛物线上的点.若的重心是点，且，则（    ）

A． B． C． D．

18．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，抛物线的焦点为，若点的纵坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

19．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，且.若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

20．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列说法正确的是（    ）

①△ABF是等边三角形；②|BF|＝3；③点F到准线的距离为3；④抛物线C的方程为y2＝6x.

A．①②③ B．②④

C．①③④ D．②③④

21．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆过点，则的方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

22．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则（    ）．

A． B． C．1 D．2

23．已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（    ）

A． B． C． D．

24．已知抛物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，若、的中点在轴上的射影分别为，，且，则抛物线的准线方程为（   ）

A． B． C． D．

25．抛物线0）的焦点为F，0为坐标原点，M为抛物线上一点，且的面积为，则抛物线的方程为

A． B． C． D．

参考答案

1．C【详解】因为抛物线，所以因为点在抛物线上，

故故选：C

2．C设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，所以，解得.故选：C.

3．C

【详解】

解：抛物线，，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，

，，

即或，又在第四象限，所以

故选：．

4．A

【分析】

分别过，，作准线的垂线，垂足分别为，，，再由抛物线的定义结合梯形的性质得出到抛物线的准线的距离.

【详解】

分别过，，作准线的垂线，垂足分别为，，

则

故选：A

5．D

【分析】

由抛物线的定义可得准线垂直时，为等腰三角形，线段的垂直平分线交准线于点此时为等腰三角形，所以点与重合，即可得为等边三角形，利用即可求解.

【详解】

所以准线垂直时，由抛物线的定义可得，此时为等腰三角形，

作线段的垂直平分线交准线于点，则，

此时为等腰三角形，

因为若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，

所以与重合，所以，所以，

所以为等边三角形，

，，

所以，整理可得：，

解得：或（舍）

所以则点的横坐标为，

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是紧扣准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，可得准线垂直时的点应该是线段的垂直平分线与准线的交点，可得为等边三角形.

6．C

【分析】

根据抛物线的定义，表示出，再根据平面直角坐标系上任意两点的距离公式表示出，即可得到方程，解得即可；

【详解】

解：因为点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，所以，，又，所以，即解得或

故选：C

7．B

【分析】

根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得，故为所求

【详解】

解：由题意得，焦点，准线方程为，

设到准线的距离为，（即垂直于准线，为垂足），

则，（当且仅当共线时取等号），

所以的最小值是9，

故选：B

【点睛】

关键点点睛：此题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，解题的关键是由题意结合抛物线定义得，从而可得结果

8．B

【分析】

利用抛物线的定义，将的取值转化为求点到直线的距离即可求得答案.

【详解】

因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离

所以过焦点作直线的垂线

则到直线的距离为的最小值，如图所示：

所以

故选：B

【点睛】

本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.

9．D

【分析】

先把抛物线化为标准方程，求出焦点F(0,-1),运用抛物线的定义，找到的几何意义，数形结合求最值.

【详解】

由，得．

则的焦点为．准线为．

几何意义是

点到与点的距离之和，如图示：

根据抛物线的定义点到的距离等于点到l的距离，

的几何意义为|PF|+|PA|=|PP1|+|PA|,

所以当P运动到Q时，能够取得最小值.

最小值为：|AQ1|=．

故选：D.

【点睛】

解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．

10．C

【分析】

由得，故当三点共线时取最值.

【详解】

依题意知点在抛物线上方，抛物线的焦点为，准线为，所以，则

则又因为

当三点共线时等号成立，所以

故既有最大值也有最小值

故选：C

【点睛】

本题的关键是由抛物线定义将到轴的距离转化为来计算.

11．D

【分析】

过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围.

【详解】

过点作准线的垂线，垂足为，

则的周长为，

由可得，

故，故的周长的取值范围为，

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：与抛物线焦点有关的距离问题可以转化为与准线有关的距离计算问题.

12．B

【分析】

由抛物线的对称性可不妨设在第一象限或为原点，过作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义可得，求出的最小值后可得的最大值.

【详解】

由抛物线可得准线方程为：，故.

如图，由抛物线的对称性可不妨设在第一象限或为原点，

过作准线的垂线，垂足为，则，

故，

当直线与抛物线相切时，最小，

而当变化时，，故当直线与抛物线相切时最小，

设直线，由得到，，

故或（舍），所以直线与抛物线相切时，

故的最小值为即的最大值为，

故选：B.

【点睛】

方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.

13．A

【分析】

根据抛物线标准方程及准线方程的定义可得.

【详解】

因为抛物线准线为，即，所以，故抛物线方程为:

故选:A

14．B

【分析】

根据点可求出，即可求出焦点到它的准线的距离.

【详解】

抛物线过点，，

抛物线的方程为，则焦点为，准线为，

焦点到它的准线的距离为.

故选：B.

15．B

【分析】

点到点的距离比它到直线的距离小2可以转化为点到直线的距离等于它到点的距离可得答案.

【详解】

因为点到点的距离比它到直线的距离少2，

所以将直线左移2个单位，得到直线，即，

可得点到直线的距离等于它到点的距离，

根据抛物线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，可得，得，

所以抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.

故选：B．

16．B

【分析】

设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r，d=r，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程．

【详解】

设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆的半径为r，

则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r，d=r

∴|MC|﹣d=2，即：﹣（2﹣x）=2，

化简得： y2＋12x－12＝0．

∴动圆圆心轨迹方程为y2＋12x－12＝0．

故选B．

【点睛】

本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

17．A

【分析】

设点、、，利用三角形重心的坐标公式可求得的值，利用抛物线的定义可得出关于的等式，由此可解得的值.

【详解】

设点、、，

由于的重心坐标为，所以，，则，

由抛物线的定义可知，解得，

故选：A.

18．B

【分析】

根据焦半径公式计算，然后代入写出点和的坐标，利用两点距离公式求解.

【详解】

因为，所以，解得．所以，，所以.

故选：B

19．B

【分析】

连接，根据抛物线的定义可得为等边三角形，从而可求的值.

【详解】

连接，根据抛物线的定义可得，因为，

故为等边三角形，所以且 ，

因为平行于轴，故的倾斜角为.

故，到准线的距离为，

故选：B.

20．C

【分析】

根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.

【详解】

根据题意，作出示意图,

因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，

由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，

所以△ABF是等边三角形，

所以∠FBD＝30°.

因为△ABF的面积为|BF|2＝9，

所以|BF|＝6.

又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，

则该抛物线的方程为y2＝6x.

故选：C

21．C

【分析】

首先设出点的坐标，根据题意可知以线段为直径的圆与轴相切，利用焦半径公式和几何关系得到点的坐标，建立方程求.

【详解】

设，，由条件可知，即，

并且线段的中点纵坐标是，所以以线段为直径的圆与轴相切，

切点坐标，所以，即，

代入抛物线方程，整理为，

解得：或，即抛物线方程是或.

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是知道以线段为直径的圆与轴相切，这样利用中点的坐标可以求点的坐标，和此几何关系类似的有以抛物线焦点弦长为直径的圆与抛物线的准线相切.

22．A

【分析】

由已知结合抛物线定义可知的边长为，应用两点距离公式可得，即可求.

【详解】

由题意知：抛物线准线为，，又，

∴，又为等边三角形，即边长为，

∴，而，整理得，解得或（舍去），

故选：A

23．C

【分析】

画出图形，利用抛物线定义可判断三角形是正三角形，结合已知条件求出，结合在上的射影是是中点，然后求解抛物线方程．

【详解】

由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限），

可知，，

，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为，

所以，则三角形是正三角形，

因为是的中点，，所以是的中点，

所以，，

，所以，则，

由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点，

所以，则，

可得，

所以抛物线方程为：．

故选：．

【点睛】

与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.

24．D

【分析】

设AF,FB的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p的值，即得抛物线的准线方程.

【详解】

设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,

由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，

设，则，

联立直线和抛物线的方程得，

所以，

所以抛物线的准线方程为.

故选D

【点睛】

本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

25．C

【分析】

设点坐标，由关系得点坐标由表示，

再由的面积可解得，从而得解.

【详解】

设 由可得：

又因为 所以

即 解得 或（舍去），

所以

所以 解得

因为 所以

故选C.

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程，关键由线段的长度关系转化到点的坐标关系，属于难度题.