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2021年浙江省嘉兴市中考数学二模试卷
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这是一份2021年浙江省嘉兴市中考数学二模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省嘉兴市中考数学二模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）在﹣5，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．﹣1 D．3
2．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a3÷a2＝a
3．（3分）为庆祝中国共产党百年华诞，嘉兴启动了“百年百项”重大项目工程，计划总投资超2000亿元．数2000亿用科学记数法表示为（ ）
A．20×1010 B．2×1011 C．2×1012 D．2×1010
4．（3分）如图是一段水管的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）不等式4﹣x≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）若数组3，3，x，4，5的平均数为4，则这组数中的（ ）
A．x＝4 B．中位数为4 C．众数为3 D．中位数为x
7．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（3分）量角器圆心为O，直径AB＝12，一把宽为3的直尺的一边过O点且与量角器交于C、D两点，如图所示，则弧CD的长为（ ）
A．2π B． C． D．π
9．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣
C．﹣≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥1
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣1＝ ．
12．（4分）不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个．从中任意摸出一球恰为白球的概率为 ．
13．（4分）化简：＝ ．
14．（4分）“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方程组为 ．
15．（4分）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ ．
16．（4分）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，AB＝7，D是BC上一点，BD＝4，E为BA边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形△DEF．
（1）当F在AB上时，BF长为 ；
（2）连结CF，则CF的取值范围为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提醒：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．
17．（6分）计算：
（1）|1﹣|+（﹣1）0；
（2）（a﹣b）2+ab．
18．（6分）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
19．（6分）为了解我市九年级学生视力状况，抽取若干名学生进行视力检测，结果如下：
视力等级
A（大于等于5.0）
B（4.9）
C（4.6﹣4.8）
D（小于等于4.5）
人数
a
50
c
d
根据调查结果的统计数据，绘制成如图所示的一幅不完整的统计图，由图表中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次抽查的学生人数；
（2）按标准5.0及以上为正常，低于5.0都属于视力不佳．若该市共有45000名九年级学生，试估计视力不佳的学生人数．
20．（8分）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，AC平分∠BAE，过点C作CD⊥AE交AE延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，∠BAC＝30°，求阴影部分的面积．
22．（10分）海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A、B是拖把上的两个固定点，拉杆AP一端固定在点A，点P与点B重合（如图1），拉动点P可使拉杆绕着点A转动，此时点C沿着AB所在直线上下移动（如图2）．已知AB＝10cm，连杆PC为40cm，FG＝4cm，MN＝8cm．当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合．
（1）求ME的长；
（2）转动AP，当∠PAC＝53°时，
①求点C的上升高度；
②求点D与点I之间的距离（结果精确到0.1）．
（sin53°≈，cos53°≈，≈2.45，≈10.05）
23．（10分）某公司销售一种成本为30元的工艺品．设该公司第x天销售这种工艺品的数量为p件，经统计发现第1～20天p与x之间的的函数关系式如下表，第21天开始p与x之间满足p＝﹣x+92（20＜x≤60）的函数关系：
天数x
1
2
3
4
5
…
20
件数p
110
108
106
104
102
…
72
（1）请观察表格，用所学过的函数知识求出第1～20天p与x的函数关系式；
（2）若第x天每件工艺品的销售价格为y（元/件），y与x之间的关系满足如下关系：，问在这60天内，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
2021年浙江省嘉兴市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）在﹣5，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．﹣1 D．3
【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可．
【解答】解：∵﹣5＜﹣1＜0＜3，
∴在﹣5，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是﹣5．
故选：A．
2．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a3÷a2＝a
【分析】根据积的乘方等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方：底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不合题意；
C．（a3）2＝a3×2＝a6，故本选项不合题意；
D．a3÷a2＝a3﹣2＝a，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）为庆祝中国共产党百年华诞，嘉兴启动了“百年百项”重大项目工程，计划总投资超2000亿元．数2000亿用科学记数法表示为（ ）
A．20×1010 B．2×1011 C．2×1012 D．2×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2000亿＝200000000000＝2×1011．
故选：B．
4．（3分）如图是一段水管的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是两个同心圆，
故选：B．
5．（3分）不等式4﹣x≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得答案．
【解答】解：移项，得：﹣x≥2﹣4，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得x≤2．
故选：A．
6．（3分）若数组3，3，x，4，5的平均数为4，则这组数中的（ ）
A．x＝4 B．中位数为4 C．众数为3 D．中位数为x
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，进而就可以确定这组数的中位数和众数即可得到正确的选项．
【解答】解：根据平均数的定义可知，x＝4×5﹣3﹣3﹣4﹣5＝5，
这组数按照从小到大排列是：3，3，4，5，5，
这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是4，
那么由中位数的定义和众数的定义可知，这组数据的中位数是4，众数是3和5，
故选：B．
7．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或﹣得到B'的坐标．
【解答】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，
而B的坐标为（﹣1，1），
∴B'的坐标为（﹣，）或（，﹣）．
故选：C．
8．（3分）量角器圆心为O，直径AB＝12，一把宽为3的直尺的一边过O点且与量角器交于C、D两点，如图所示，则弧CD的长为（ ）
A．2π B． C． D．π
【分析】根据直角三角形的边角关系求出弧CD所对应的圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥OC，垂足为E，
由于直尺的宽度为3，即DE＝3，
∵直径AB＝12，
∴半径OC＝OD＝6，
于是有DE＝OD，
∴∠COD＝30°，
∴弧CD的长为＝π，
故选：D．
9．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点E作EH⊥FG，易得四边形GHED为矩形，则GH＝DE，HE＝GD；由已知可得：GD＝2，AG＝4，利用勾股定理可求FG＝2；设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝2﹣x，在Rt△HEF中，由勾股定理列出方程，解方程可求DE．
【解答】解：过点E作EH⊥FG，交FG于点H，如图，
由题意：△AEF≌△AED，则AF＝AD＝6，DE＝EF．
∵AD＝6，AD＝3GD，
∴GD＝2．
∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．
∵FG⊥AD，
∴FG＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵FG⊥AD，EH⊥FG，
∴四边形GHED为矩形．
∴GH＝DE，HE＝GD＝2．
设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝2﹣x，
在Rt△HEF中，
∵HF2+HE2＝EF2，
∴．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣
C．﹣≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥1
【分析】本题以二次函数和直线模型为背景，考察学生的数学转化思想，把几何问题转化为方程组和不等式组的问题，解出不等式即可得出答案．
【解答】解：设直线AB为：y＝kx+b，把A，B两点代入得，解得：，
∴直线AB为：，令，则4ax2﹣7x﹣2＝0，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴△＝（﹣7）2﹣4×4a×（﹣2）＞0，则，
①当时，，解得，
②当a＞0时，，解得a≥1．
综上a的取值范围为：．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣1＝ （a+1）（a﹣1） ．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
12．（4分）不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个．从中任意摸出一球恰为白球的概率为 ．
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个．
∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黑球的概率为：．
故答案为：．
13．（4分）化简：＝ x+2 ．
【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．
【解答】解：+
＝﹣
＝
＝x+2．
故答案为：x+2．
14．（4分）“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方程组为 ．
【分析】根据“笼中上有43个头，下有102个脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
15．（4分）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ ．
【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．
【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，
∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，
∴S甲＝S乙＝S圆＝，
故答案为：．
16．（4分）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，AB＝7，D是BC上一点，BD＝4，E为BA边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形△DEF．
（1）当F在AB上时，BF长为 ；
（2）连结CF，则CF的取值范围为 1≤CF≤2 ．
【分析】（1）如图1，当点F在AB上时，根据△DEF为等边三角形，可证明∠FDB＝90°，再利用＝cos∠B，即可求出答案；
（2）分别求出点E在AB边上运动时，CF的最大值和最小值，①当点E与点B重合时，如图2，连接CF，过点F作FH⊥BC于点H，可求出CF＝2，此时CF最大；②当点E在BA边上时，以CD为边在△ABC内部作等边三角形CDG，延长CG交AB于点E，此时CF最短，如图3，先证明△DEG≌△DFC（SAS），根据CF＝EG＝CE﹣CG，即可求出CF的最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图1，当点F在AB上时，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠AED＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∵∠B＝30°，
∴∠FDB＝180°﹣∠B﹣∠EFD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵＝cos∠B，
∴BF＝＝＝；
故答案为：；
（2）①当点E与点B重合时，如图2，连接CF，过点F作FH⊥BC于点H，
∵△DEF为等边三角形，
∴DF＝BD＝4，∠BDF＝60°，BH＝DH＝2，
∴FH＝DF•sin∠BDF＝4•sin60°＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，
∴CF＝＝＝2，此时CF最大；
②当点E在BA边上时，以CD为边在△ABC内部作等边三角形CDG，
延长CG交AB于点E，此时CF最短，如图3，
∵△CDG和△DEF均为等边三角形，
∴∠EDF＝∠CDG＝60°，DE＝DF，DG＝DC，
∴∠∠EDF﹣∠FDG＝∠CDG﹣∠FDG，
即∠EDG＝∠FDC，
∴△DEG≌△DFC（SAS），
∴CF＝EG，
∵当EG⊥AB时，EG最小，
∴此时，CF最小，
∵∠B＝30°，∠DCG＝60°，
∴此时，C，E，G三点共线，
在Rt△BCE中，CE＝BC＝3，
∵CG＝CD＝2，
∴EG＝CE﹣CG＝1，
∴CF的最小值为1，
综上所述，CF的取值范围为：1≤CF≤2，
故答案为：1≤CF≤2；
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提醒：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．
17．（6分）计算：
（1）|1﹣|+（﹣1）0；
（2）（a﹣b）2+ab．
【分析】（1）分别根据绝对值的性质以及任何非零数的零次幂定义计算即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再合并即可，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：（1）原式＝．
（2）原式＝a2﹣2ab+b2+ab＝a2﹣ab+b2．
18．（6分）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．
【解答】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
19．（6分）为了解我市九年级学生视力状况，抽取若干名学生进行视力检测，结果如下：
视力等级
A（大于等于5.0）
B（4.9）
C（4.6﹣4.8）
D（小于等于4.5）
人数
a
50
c
d
根据调查结果的统计数据，绘制成如图所示的一幅不完整的统计图，由图表中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次抽查的学生人数；
（2）按标准5.0及以上为正常，低于5.0都属于视力不佳．若该市共有45000名九年级学生，试估计视力不佳的学生人数．
【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的学生人数；
（2）用总人数乘以样本中B、C、D等级人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）本次抽查的学生人数为50÷5%＝1000（人）；
（2）估计视力不佳的学生人数为45000×（1﹣29%）＝31950（人）．
20．（8分）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ∠B＝∠E ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B＝∠1，∠1＝∠E，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠B+∠1＝180°，∠1＝∠E，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【解答】解：（1）∠B＝∠E，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠1
∵BC∥EF，
∴∠1＝∠E，
∴∠B＝∠E；
（2）∠B+∠E＝180°．
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1＝180°，
∵BC∥EF，
∴∠E＝∠1，
∴∠B+∠E＝180°．
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，AC平分∠BAE，过点C作CD⊥AE交AE延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，∠BAC＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）求出∠OEA＝∠EOC＝60°，由扇形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接CE，OE，
∵AB＝6，
∴OC＝OE＝3，
∵∠BAC＝∠DAC＝30°，OA＝OE，
∴∠OEA＝∠EOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△CEO＝S△CAE，
∴S阴＝S扇形EOC＝．
22．（10分）海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A、B是拖把上的两个固定点，拉杆AP一端固定在点A，点P与点B重合（如图1），拉动点P可使拉杆绕着点A转动，此时点C沿着AB所在直线上下移动（如图2）．已知AB＝10cm，连杆PC为40cm，FG＝4cm，MN＝8cm．当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合．
（1）求ME的长；
（2）转动AP，当∠PAC＝53°时，
①求点C的上升高度；
②求点D与点I之间的距离（结果精确到0.1）．
（sin53°≈，cos53°≈，≈2.45，≈10.05）
【分析】（1）根据海绵拖把的工作原理，当P点转动到射线BA上时，（如图3），FG落在MN上，可知点P上升了20cm，使得FG落在MN上，即可知ME的长；
（2）转动AP，当∠PAC＝53°时，在△APC中，求出转动后PC的长，在与原PC的长相减即可求出点C的上升高度；由（1）求出了ME的长，当P点转动到射线BA上时，FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合，可以根据勾股定理求出DF的长度，根据点C上升的高度，利用相似三角形对应边成比例即可求出点D与点I之间的距离．
【解答】解：（1）由图1可知，PA＝AB＝10（cm），
图3中，PG＝PC＝40（cm），
∴ME＝40+10+10﹣40＝20（cm），
∴ME的长为20cm；
（2）①如图2，过点P作PQ⊥AC于点Q．
∵∠A＝53°，AP＝8cm，
∴PQ＝PQ⋅sin53°≈10×0.8＝8cm，AQ＝AP⋅cos53°≈10×0.6＝6cm．
∴．
∴AC＝35.2cm，
∴C上升了4.8cm．
②根据题意如图：
当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合，根据勾股定理得：
DF＝（cm），
∵C上升了4.8cm，
∴FS＝4.8cm，
∴EF＝（cm），
∵EH∥DI，
∴△FES∽△FDT，
∴，
∴，
∴DT≈7.7cm，
由对称性可知：DI＝2DT+FG＝2×7.7+4＝19.4（cm），
∴点D与点I之间的距离为19.4cm．
23．（10分）某公司销售一种成本为30元的工艺品．设该公司第x天销售这种工艺品的数量为p件，经统计发现第1～20天p与x之间的的函数关系式如下表，第21天开始p与x之间满足p＝﹣x+92（20＜x≤60）的函数关系：
天数x
1
2
3
4
5
…
20
件数p
110
108
106
104
102
…
72
（1）请观察表格，用所学过的函数知识求出第1～20天p与x的函数关系式；
（2）若第x天每件工艺品的销售价格为y（元/件），y与x之间的关系满足如下关系：，问在这60天内，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）当1≤x≤20时，设p与x的函数关系式为p＝kx+b，由表中数据利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式；
（2）分别计算当1≤x≤20时、20＜x≤30时和31＜x≤60时利润的最大值，然后比较可得结论．
【解答】解：（1）设p＝kx+b，将（1，110），（2，108）代入，
，
解得：k＝﹣2，b＝112．
∴y＝﹣2x+112（1≤x≤20）；
（2）按x的范围分类如下：
①若1≤x≤20，w＝（﹣2x+112）（x+50﹣30）＝﹣2（x﹣18）2+2888，
当x＝18时，w最大值为2888；
②若21＜x≤30v，w＝（﹣x+92）（x+50﹣30）＝﹣（x﹣36）2+3136，
当x＝30时，w最大值为3100；
③若31＜x≤60，w＝（﹣x+92）（75﹣30）＝﹣45x+4140，
当x＝31时，w最大值为2745．
综上，当x＝30时，销售利润w最大，最大利润w是3100元．
答：在这60天内，第30天的销售利润最大，最大利润是3100元．
24．（12分）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
【分析】（1）先求出二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．
（2）由题意可得，二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
（3）连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE＝m，由∠CPD＝120°，可得PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，因为二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，AB＝，所以AF＝BF＝，，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．
【解答】解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
（2）如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）如图2，连接CD，PA，
设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，
由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，
∴，即，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴，
即，
化简，得，解得，
∴．
2021年浙江省嘉兴市中考数学二模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）在﹣5，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．﹣1 D．3
2．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a3÷a2＝a
3．（3分）为庆祝中国共产党百年华诞，嘉兴启动了“百年百项”重大项目工程，计划总投资超2000亿元．数2000亿用科学记数法表示为（ ）
A．20×1010 B．2×1011 C．2×1012 D．2×1010
4．（3分）如图是一段水管的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）不等式4﹣x≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）若数组3，3，x，4，5的平均数为4，则这组数中的（ ）
A．x＝4 B．中位数为4 C．众数为3 D．中位数为x
7．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（3分）量角器圆心为O，直径AB＝12，一把宽为3的直尺的一边过O点且与量角器交于C、D两点，如图所示，则弧CD的长为（ ）
A．2π B． C． D．π
9．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣
C．﹣≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥1
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣1＝ ．
12．（4分）不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个．从中任意摸出一球恰为白球的概率为 ．
13．（4分）化简：＝ ．
14．（4分）“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方程组为 ．
15．（4分）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ ．
16．（4分）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，AB＝7，D是BC上一点，BD＝4，E为BA边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形△DEF．
（1）当F在AB上时，BF长为 ；
（2）连结CF，则CF的取值范围为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提醒：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．
17．（6分）计算：
（1）|1﹣|+（﹣1）0；
（2）（a﹣b）2+ab．
18．（6分）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
19．（6分）为了解我市九年级学生视力状况，抽取若干名学生进行视力检测，结果如下：
视力等级
A（大于等于5.0）
B（4.9）
C（4.6﹣4.8）
D（小于等于4.5）
人数
a
50
c
d
根据调查结果的统计数据，绘制成如图所示的一幅不完整的统计图，由图表中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次抽查的学生人数；
（2）按标准5.0及以上为正常，低于5.0都属于视力不佳．若该市共有45000名九年级学生，试估计视力不佳的学生人数．
20．（8分）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，AC平分∠BAE，过点C作CD⊥AE交AE延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，∠BAC＝30°，求阴影部分的面积．
22．（10分）海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A、B是拖把上的两个固定点，拉杆AP一端固定在点A，点P与点B重合（如图1），拉动点P可使拉杆绕着点A转动，此时点C沿着AB所在直线上下移动（如图2）．已知AB＝10cm，连杆PC为40cm，FG＝4cm，MN＝8cm．当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合．
（1）求ME的长；
（2）转动AP，当∠PAC＝53°时，
①求点C的上升高度；
②求点D与点I之间的距离（结果精确到0.1）．
（sin53°≈，cos53°≈，≈2.45，≈10.05）
23．（10分）某公司销售一种成本为30元的工艺品．设该公司第x天销售这种工艺品的数量为p件，经统计发现第1～20天p与x之间的的函数关系式如下表，第21天开始p与x之间满足p＝﹣x+92（20＜x≤60）的函数关系：
天数x
1
2
3
4
5
…
20
件数p
110
108
106
104
102
…
72
（1）请观察表格，用所学过的函数知识求出第1～20天p与x的函数关系式；
（2）若第x天每件工艺品的销售价格为y（元/件），y与x之间的关系满足如下关系：，问在这60天内，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
2021年浙江省嘉兴市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）在﹣5，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．﹣1 D．3
【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可．
【解答】解：∵﹣5＜﹣1＜0＜3，
∴在﹣5，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是﹣5．
故选：A．
2．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a3÷a2＝a
【分析】根据积的乘方等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方：底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不合题意；
C．（a3）2＝a3×2＝a6，故本选项不合题意；
D．a3÷a2＝a3﹣2＝a，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）为庆祝中国共产党百年华诞，嘉兴启动了“百年百项”重大项目工程，计划总投资超2000亿元．数2000亿用科学记数法表示为（ ）
A．20×1010 B．2×1011 C．2×1012 D．2×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2000亿＝200000000000＝2×1011．
故选：B．
4．（3分）如图是一段水管的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是两个同心圆，
故选：B．
5．（3分）不等式4﹣x≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得答案．
【解答】解：移项，得：﹣x≥2﹣4，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得x≤2．
故选：A．
6．（3分）若数组3，3，x，4，5的平均数为4，则这组数中的（ ）
A．x＝4 B．中位数为4 C．众数为3 D．中位数为x
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，进而就可以确定这组数的中位数和众数即可得到正确的选项．
【解答】解：根据平均数的定义可知，x＝4×5﹣3﹣3﹣4﹣5＝5，
这组数按照从小到大排列是：3，3，4，5，5，
这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是4，
那么由中位数的定义和众数的定义可知，这组数据的中位数是4，众数是3和5，
故选：B．
7．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或﹣得到B'的坐标．
【解答】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，
而B的坐标为（﹣1，1），
∴B'的坐标为（﹣，）或（，﹣）．
故选：C．
8．（3分）量角器圆心为O，直径AB＝12，一把宽为3的直尺的一边过O点且与量角器交于C、D两点，如图所示，则弧CD的长为（ ）
A．2π B． C． D．π
【分析】根据直角三角形的边角关系求出弧CD所对应的圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥OC，垂足为E，
由于直尺的宽度为3，即DE＝3，
∵直径AB＝12，
∴半径OC＝OD＝6，
于是有DE＝OD，
∴∠COD＝30°，
∴弧CD的长为＝π，
故选：D．
9．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点E作EH⊥FG，易得四边形GHED为矩形，则GH＝DE，HE＝GD；由已知可得：GD＝2，AG＝4，利用勾股定理可求FG＝2；设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝2﹣x，在Rt△HEF中，由勾股定理列出方程，解方程可求DE．
【解答】解：过点E作EH⊥FG，交FG于点H，如图，
由题意：△AEF≌△AED，则AF＝AD＝6，DE＝EF．
∵AD＝6，AD＝3GD，
∴GD＝2．
∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．
∵FG⊥AD，
∴FG＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵FG⊥AD，EH⊥FG，
∴四边形GHED为矩形．
∴GH＝DE，HE＝GD＝2．
设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝2﹣x，
在Rt△HEF中，
∵HF2+HE2＝EF2，
∴．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣
C．﹣≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥1
【分析】本题以二次函数和直线模型为背景，考察学生的数学转化思想，把几何问题转化为方程组和不等式组的问题，解出不等式即可得出答案．
【解答】解：设直线AB为：y＝kx+b，把A，B两点代入得，解得：，
∴直线AB为：，令，则4ax2﹣7x﹣2＝0，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴△＝（﹣7）2﹣4×4a×（﹣2）＞0，则，
①当时，，解得，
②当a＞0时，，解得a≥1．
综上a的取值范围为：．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣1＝ （a+1）（a﹣1） ．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
12．（4分）不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个．从中任意摸出一球恰为白球的概率为 ．
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个．
∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黑球的概率为：．
故答案为：．
13．（4分）化简：＝ x+2 ．
【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．
【解答】解：+
＝﹣
＝
＝x+2．
故答案为：x+2．
14．（4分）“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方程组为 ．
【分析】根据“笼中上有43个头，下有102个脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
15．（4分）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ ．
【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．
【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，
∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，
∴S甲＝S乙＝S圆＝，
故答案为：．
16．（4分）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，AB＝7，D是BC上一点，BD＝4，E为BA边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形△DEF．
（1）当F在AB上时，BF长为 ；
（2）连结CF，则CF的取值范围为 1≤CF≤2 ．
【分析】（1）如图1，当点F在AB上时，根据△DEF为等边三角形，可证明∠FDB＝90°，再利用＝cos∠B，即可求出答案；
（2）分别求出点E在AB边上运动时，CF的最大值和最小值，①当点E与点B重合时，如图2，连接CF，过点F作FH⊥BC于点H，可求出CF＝2，此时CF最大；②当点E在BA边上时，以CD为边在△ABC内部作等边三角形CDG，延长CG交AB于点E，此时CF最短，如图3，先证明△DEG≌△DFC（SAS），根据CF＝EG＝CE﹣CG，即可求出CF的最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图1，当点F在AB上时，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠AED＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∵∠B＝30°，
∴∠FDB＝180°﹣∠B﹣∠EFD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵＝cos∠B，
∴BF＝＝＝；
故答案为：；
（2）①当点E与点B重合时，如图2，连接CF，过点F作FH⊥BC于点H，
∵△DEF为等边三角形，
∴DF＝BD＝4，∠BDF＝60°，BH＝DH＝2，
∴FH＝DF•sin∠BDF＝4•sin60°＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，
∴CF＝＝＝2，此时CF最大；
②当点E在BA边上时，以CD为边在△ABC内部作等边三角形CDG，
延长CG交AB于点E，此时CF最短，如图3，
∵△CDG和△DEF均为等边三角形，
∴∠EDF＝∠CDG＝60°，DE＝DF，DG＝DC，
∴∠∠EDF﹣∠FDG＝∠CDG﹣∠FDG，
即∠EDG＝∠FDC，
∴△DEG≌△DFC（SAS），
∴CF＝EG，
∵当EG⊥AB时，EG最小，
∴此时，CF最小，
∵∠B＝30°，∠DCG＝60°，
∴此时，C，E，G三点共线，
在Rt△BCE中，CE＝BC＝3，
∵CG＝CD＝2，
∴EG＝CE﹣CG＝1，
∴CF的最小值为1，
综上所述，CF的取值范围为：1≤CF≤2，
故答案为：1≤CF≤2；
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提醒：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．
17．（6分）计算：
（1）|1﹣|+（﹣1）0；
（2）（a﹣b）2+ab．
【分析】（1）分别根据绝对值的性质以及任何非零数的零次幂定义计算即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再合并即可，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：（1）原式＝．
（2）原式＝a2﹣2ab+b2+ab＝a2﹣ab+b2．
18．（6分）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．
【解答】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
19．（6分）为了解我市九年级学生视力状况，抽取若干名学生进行视力检测，结果如下：
视力等级
A（大于等于5.0）
B（4.9）
C（4.6﹣4.8）
D（小于等于4.5）
人数
a
50
c
d
根据调查结果的统计数据，绘制成如图所示的一幅不完整的统计图，由图表中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次抽查的学生人数；
（2）按标准5.0及以上为正常，低于5.0都属于视力不佳．若该市共有45000名九年级学生，试估计视力不佳的学生人数．
【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的学生人数；
（2）用总人数乘以样本中B、C、D等级人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）本次抽查的学生人数为50÷5%＝1000（人）；
（2）估计视力不佳的学生人数为45000×（1﹣29%）＝31950（人）．
20．（8分）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ∠B＝∠E ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B＝∠1，∠1＝∠E，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠B+∠1＝180°，∠1＝∠E，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【解答】解：（1）∠B＝∠E，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠1
∵BC∥EF，
∴∠1＝∠E，
∴∠B＝∠E；
（2）∠B+∠E＝180°．
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1＝180°，
∵BC∥EF，
∴∠E＝∠1，
∴∠B+∠E＝180°．
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，AC平分∠BAE，过点C作CD⊥AE交AE延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，∠BAC＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）求出∠OEA＝∠EOC＝60°，由扇形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接CE，OE，
∵AB＝6，
∴OC＝OE＝3，
∵∠BAC＝∠DAC＝30°，OA＝OE，
∴∠OEA＝∠EOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△CEO＝S△CAE，
∴S阴＝S扇形EOC＝．
22．（10分）海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A、B是拖把上的两个固定点，拉杆AP一端固定在点A，点P与点B重合（如图1），拉动点P可使拉杆绕着点A转动，此时点C沿着AB所在直线上下移动（如图2）．已知AB＝10cm，连杆PC为40cm，FG＝4cm，MN＝8cm．当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合．
（1）求ME的长；
（2）转动AP，当∠PAC＝53°时，
①求点C的上升高度；
②求点D与点I之间的距离（结果精确到0.1）．
（sin53°≈，cos53°≈，≈2.45，≈10.05）
【分析】（1）根据海绵拖把的工作原理，当P点转动到射线BA上时，（如图3），FG落在MN上，可知点P上升了20cm，使得FG落在MN上，即可知ME的长；
（2）转动AP，当∠PAC＝53°时，在△APC中，求出转动后PC的长，在与原PC的长相减即可求出点C的上升高度；由（1）求出了ME的长，当P点转动到射线BA上时，FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合，可以根据勾股定理求出DF的长度，根据点C上升的高度，利用相似三角形对应边成比例即可求出点D与点I之间的距离．
【解答】解：（1）由图1可知，PA＝AB＝10（cm），
图3中，PG＝PC＝40（cm），
∴ME＝40+10+10﹣40＝20（cm），
∴ME的长为20cm；
（2）①如图2，过点P作PQ⊥AC于点Q．
∵∠A＝53°，AP＝8cm，
∴PQ＝PQ⋅sin53°≈10×0.8＝8cm，AQ＝AP⋅cos53°≈10×0.6＝6cm．
∴．
∴AC＝35.2cm，
∴C上升了4.8cm．
②根据题意如图：
当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合，根据勾股定理得：
DF＝（cm），
∵C上升了4.8cm，
∴FS＝4.8cm，
∴EF＝（cm），
∵EH∥DI，
∴△FES∽△FDT，
∴，
∴，
∴DT≈7.7cm，
由对称性可知：DI＝2DT+FG＝2×7.7+4＝19.4（cm），
∴点D与点I之间的距离为19.4cm．
23．（10分）某公司销售一种成本为30元的工艺品．设该公司第x天销售这种工艺品的数量为p件，经统计发现第1～20天p与x之间的的函数关系式如下表，第21天开始p与x之间满足p＝﹣x+92（20＜x≤60）的函数关系：
天数x
1
2
3
4
5
…
20
件数p
110
108
106
104
102
…
72
（1）请观察表格，用所学过的函数知识求出第1～20天p与x的函数关系式；
（2）若第x天每件工艺品的销售价格为y（元/件），y与x之间的关系满足如下关系：，问在这60天内，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）当1≤x≤20时，设p与x的函数关系式为p＝kx+b，由表中数据利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式；
（2）分别计算当1≤x≤20时、20＜x≤30时和31＜x≤60时利润的最大值，然后比较可得结论．
【解答】解：（1）设p＝kx+b，将（1，110），（2，108）代入，
，
解得：k＝﹣2，b＝112．
∴y＝﹣2x+112（1≤x≤20）；
（2）按x的范围分类如下：
①若1≤x≤20，w＝（﹣2x+112）（x+50﹣30）＝﹣2（x﹣18）2+2888，
当x＝18时，w最大值为2888；
②若21＜x≤30v，w＝（﹣x+92）（x+50﹣30）＝﹣（x﹣36）2+3136，
当x＝30时，w最大值为3100；
③若31＜x≤60，w＝（﹣x+92）（75﹣30）＝﹣45x+4140，
当x＝31时，w最大值为2745．
综上，当x＝30时，销售利润w最大，最大利润w是3100元．
答：在这60天内，第30天的销售利润最大，最大利润是3100元．
24．（12分）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
【分析】（1）先求出二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．
（2）由题意可得，二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
（3）连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE＝m，由∠CPD＝120°，可得PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，因为二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，AB＝，所以AF＝BF＝，，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．
【解答】解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
（2）如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）如图2，连接CD，PA，
设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，
由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，
∴，即，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴，
即，
化简，得，解得，
∴．
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