2021年湖南省常德市安乡县中考一模数学试卷（word版 含答案）

这是一份2021年湖南省常德市安乡县中考一模数学试卷（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省常德市安乡县中考一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）

A．a B．b C．c D．d
4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　）

A． B． C． D．
5．测试五位学生的“米”跑成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将跑的最快一名学生成绩写得更快了，则计算结果不受影响的是（ ）
A．总成绩 B．方差 C．中位数 D．平均数
6．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度（坡的竖直高度与水平宽度的比）是，坝高，则坡面的长度是（ ）

A． B． C． D．
8．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）

A．10 B．12 C．20 D．24

二、填空题
9．若分式有意义，则x的取值范围是_____．
10．的立方根是________．
11．在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列，行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长，将用科学记数法表示应为_____．
12．如图，是的外接圆，若，则的度数为_____．

13．从，，，这个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为_____．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4 ，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF=1，则CE的长为________．

15．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
车型
大巴车
（最多可坐55人）
中巴车
（最多可坐39人）
小巴车
（最多可坐26人）
每车租金
（元∕天）
900
800
550
则租车一天的最低费用为____元.
16．观察下列等式：
第层
第层
第层
第层
……
在上述数字宝塔中，从上往下数，在第_____层．

三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．先化简再求值：，其中．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A﹙-2，-5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．

(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 连接OA，OC．求△AOC的面积．
21．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）

22．甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.
(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.
23．机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油量的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
24．如图，是的直径，是上一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，且平分．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的直径．
25．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．

（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，由绕点按逆时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，，相交于点．

（1）求的度数；
（2）是延长线上的点，且．
①判断和的数量关系，并证明；
②求证：．


参考答案
1．D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，是中心对称图形．
故选D．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识．
2．A
【分析】
根据单项式乘单项式法则，合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方法则，逐一判断选项，即可．
【详解】
解：A. ，故该选项符合题意，
B. ，不能合并，故该选项不符合题意，
C. ，故该选项不符合题意，
D. ，故该选项不符合题意，
故选A．
【点睛】
本题主要考查单项式乘单项式法则，合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方法则，熟练掌握上述运算法则和公式，是解题的关键．
3．C
【分析】
根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．
【详解】
解：由图可知：c到原点O的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是c；
故选：C．
【点睛】
本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．
4．D
【详解】
设解析式为：，则有k=IR ，由图可知当R=2时，I=3，所以k=6，
所以解析式为：，
故选D.
5．C
【分析】
根据中位数的定义解答可得．
【详解】
解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查方差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
6．D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△≥0，然后解不等式组，即可得到k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实根，
∴k≠0，且△＝（−6）2−4k×3＝−12k＋36，
∵方程有实数解，
∴△≥0，
∴−12k＋36≥0，
∴k≤3，
∴k的取值范围是：k≤3且k≠0．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2−4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
7．D
【分析】
在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】
解：Rt△ABC中，BC＝10m，tanA＝，
∴AC＝BC÷tanA＝10m，
∴AB＝m．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
8．B
【详解】
过点A作AM⊥BC于点M，由题意可知当点P运动到点M时，AP最小，此时长为4，
观察图象可知AB=AC=5，
∴BM==3，∴BC=2BM=6，
∴S△ABC==12，
故选B.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据已知和图象能确定出AB、AC的长，以及点P运动到与BC垂直时最短是解题的关键.
9．；
【分析】
根据分式有意义的条件可得x≠0．
【详解】
解：由题意得：x≠0，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
10．－3.
【分析】
根据立方根的定义求解即可.
【详解】
解：－27的立方根是－3，故答案为－3.
【点睛】
本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟知立方根的概念是解题的关键.
11．1.3×107
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：13000000＝1.3×107．
故答案为：1.3×107．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．70°
【分析】
由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，根据圆周角定理，即可求得答案．
【详解】
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，是解题的关键．
13．
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
解：∵，，，这4个数中无理数有，共2个，
∴这4个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为2÷4=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m÷n．
14．
【详解】
试题分析：由两线段平行，同位角相等，即可证出三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，结合已有的量即可解决本题．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=3，BC∥AD，
∵E为BC上一点，
∴CE∥AD，∠FEC=∠FAD，∠FCE=∠D，
∴△FCE∽△FDA，
∴==，
又∵CD=3，CF=1，AD=4，
∴CE=，
故答案为．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
15．1450
【分析】
根据题意，求出大巴车，中巴车，小巴车每个座位的费用，方案中最好有大巴车，写出方案再进行比较即可.
【详解】
解：大巴车每个座位的费用为：（元），
中巴车每个座位的费用为：（元），
小巴车每个座位的费用为：（元），
方案1：用大巴车，需要2辆，费用为：1800元.
方案2：用中巴车，需要2辆，费用为：1600元.
方案3：用小巴车，需要3辆，费用为：元.
方案4：用大巴车1辆和中巴车1辆，费用为：1700元.
方案5：用大巴车1辆和小巴车1辆，费用为：1450元.
则租车一天的最低费用为1450元.
故答案为1450.
【点睛】
此题主要考查了方案的选择，解题的关键是读懂题意，找出几种方案进行比较．
16．44
【分析】
根据题目中的数据，可以发现每层第一个数的特点和每层的数的个数，然后即可得到2021在第多少层．
【详解】
解：由题意可得，
第n层的第1个数是n2，第n层有2n＋1个数，
∵442＝1936，452＝2025，
∴2021在44层，
故答案为：44．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点和每层的数字个数，写出数据相应的层数．
17．
【分析】
先算绝对值，负整数指数幂，二次根式以及锐角三角函数，再算加减法，即可．
【详解】
解：原式=
=．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握绝对值，负整数指数幂，二次根式以及锐角三角函数，是解题的关键．
18．
【详解】
试题分析：先分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可.
试题解析：，
解不等式①得 ，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
19．，
【分析】
先算分式的减法，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值，即可．
【详解】
解：原式=
=
=
=，
当时，原式=
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值以及分母有理化，熟练掌握分式通分和约分，是解题的关键．
20．（1）；y＝x-3；（2）
【详解】
解：(1)∵ 反比例函数的图象经过点A﹙-2，-5﹚，
∴ m=(-2)×( -5)＝10．
∴ 反比例函数的表达式为．
∵ 点C﹙5，n﹚在反比例函数的图象上，
∴．
∴ C的坐标为﹙5，2﹚．
∵ 一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入，得
解得
∴ 所求一次函数的表达式为y＝x-3．
(2) ∵ 一次函数y=x-3的图像交y轴于点B，
∴ B点坐标为﹙0，-3﹚．
∴ OB＝3．
∵ A点的横坐标为-2，C点的横坐标为5，
∴ S△AOC= S△AOB+ S△BOC=
21．2000米．
【分析】
在Rt△CDB中求出BD，在Rt△CDA中求出AD，继而可得AB，即此时渔政船和渔船的距离．
【详解】
在Rt△CDA中，∠ACD=30°，CD=3000米，
∴AD=CDtan∠ACD=1000米，
在Rt△CDB中，∠BCD=60°，
∴BD=CDtan∠BCD=3000米，
∴AB=BD﹣AD=2000米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
22．（1）.（2）不公平.
【分析】
（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
【详解】
（1）所有可能出现的结果如图：

从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；
（2）不公平，
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，
所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：.
∵>，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
23．（1）28千克；（2）75千克，84%
【详解】
试题分析：（1）根据题意，实际耗油量﹦用油量×（1－重复利用率），代入数据计算即可；（2）本小题关键信息为“在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%”，故若用油量设为千克，则耗油率为，相乘即得实际耗油量，解出后即可求得重复利用率.
试题解析：（1）（千克）
答：加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.
（2）设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是千克，由题意得
化为 解得（舍）

答:乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%.
考点：1.应用题的读题能力；2.一元二次方程的应用.
24．（1）见详解；（2）
【分析】
（1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．
【详解】
解：（1）连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠CAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴MN是⊙O切线；
（2）∵，，∠ADC＝90°，
∴AD=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即：
∴AB= ，
∴的直径为．
【点睛】
本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理，是解题的关键．
25．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点D（1，4）或（2，3）；（3）当点P在x轴上方时，点P（，）；当点P在x轴下方时，点（﹣，﹣）
【分析】
(1)c=3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3，解得a=﹣1即可得出答案；
(2)由S△COF：S△CDF=3：2得OF：FD=3：2，由DH∥CO得CO：DM=3：2，求得DM=2，而DM==2，即可求解；
(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．
【详解】
(1) ∵OB=OC=3，
∴点C的坐标为C(0，3)，c=3，点B的坐标为B(3，0)，
将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3，解得：a=﹣1，
故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3；
(2)如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点M，

∵S△COF：S△CDF=3：2，
∴OF：FD=3：2，
∵DH∥CO，
∴CO：DM= OF：FD=3：2，
∴DM=CO=2，
设直线BC的表达式为：，
将C(0，3)，B(3，0)代入得，
解得：，
∴直线BC的表达式为：y=﹣x+3，
设点D的坐标为(x，﹣x2+2x+3)，则点M(x，﹣x+3)，
∴DM==2，
解得：x=1或2，
故点D的坐标为：(1，4)或(2，3)；
(3)①当点P在x轴上方时，
取OG=OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM=∠GBO，
则∠OBP=2∠OBE，过点G作GH⊥BM，如图，

∵点E的坐标为(0，)，
∴OE=，
∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB，
∴GH= GO=OE=，BH=BO=3，
设MH=x，则MG=，
在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，
解得：x=2，
故MG==，则OM=MG+ GO=+，
点M的坐标为(0，4)，
设直线BM的表达式为：，
将点B(3，0)、M(0，4)代入得：，
解得：，
∴直线BM的表达式为：y=x+4，
解方程组
解得：x=3(舍去)或，
将x=代入 y=x+4得y=，
故点P的坐标为(，)；
②当点P在x轴下方时，如图，过点E作EN⊥BP，直线PB交y轴于点M，

∵∠OBP=2∠OBE，
∴BE是∠OBP的平分线，
∴EN= OE=，BN=OB=3，
设MN=x，则ME=，
在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，
解得：，
∴，则OM=ME+ EO=+，
点M的坐标为(0，-4)，
设直线BM的表达式为：，
将点B(3，0)、M(0，-4)代入得：，
解得：，
∴直线BM的表达式为：，
解方程组
解得：x=3(舍去)或，
将x=代入得，
故点P的坐标为(，)；
综上，点P的坐标为：(，)或(，) ．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、角平分线的性质等，其中第(3)问要注意分类求解，避免遗漏．
26．（1）90°；（2）①，证明详见解析；②详见解析
【分析】
（1）根据旋转的性质，得出，进而得出,求出结果；
（2）①由旋转的性质得出，，进而得出，再根据已知条件得出，最后得出结论即可；
②过点作交于点，得出，由全等得出，，最后得出结果．
【详解】
解：（1）由旋转的性质可知，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）①．
证明：由旋转的性质可知，，，
在中，，
∵，，
∴，
即，
∴．
②过点作交于点，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．

【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质．