高考数学一轮复习　第二章 第5节指数与指数函数

这是一份高考数学一轮复习　第二章 第5节指数与指数函数，共16页。试卷主要包含了))，分数指数幂，指数函数及其性质，设a＝0等内容，欢迎下载使用。


知 识 梳 理
1.根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
[微点提醒]
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,（－4）4)＝－4.( )
(2)(－1)eq \f(2,4)＝(－1)eq \f(1,2)＝eq \r(－1).( )
(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).( )
解析 (1)由于eq \r(4,（－4）4)＝eq \r(4,44)＝4，故(1)错.
(2)(－1)eq \s\up6(\f(2,4))＝eq \r(4,（－1）2)＝1，故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，
故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,3)))，
则f(－1)＝( )
A.1 B.2 C.eq \r(3) D.3
解析 依题意可知a2＝eq \f(1,3)，解得a＝eq \f(\r(3),3)，
所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(x)，所以f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(－1)＝eq \r(3).
答案 C
3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( )
A.y＝a(1＋p%)x(0B.y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)
C.y＝a(1＋xp%)(0D.y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)
解析 设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…，则y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m且x∈N).
答案 B
4.(2018·晋中八校一模)设a>0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂，其结果是( )
A.aeq \s\up6(\f(1,2)) B.aeq \s\up6(\f(5,6)) C.aeq \s\up6(\f(7,6)) D.aeq \s\up6(\f(3,2))
解析 由题意得eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝a2－eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝aeq \f(7,6).
答案 C
5.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，则f(x)( )
A.是偶函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是增函数
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是减函数
解析 函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝3－x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－3x＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数.
又y＝3x在R上是增函数，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上是减函数，
∴函数f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上是增函数.
答案 B
6.(2019·潍坊检测)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.aC.b解析 根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c＝1.50.6>1，∴b答案 C
考点一 指数幂的运算
【例1】 化简下列各式：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up6(－\f(1,2))－(0.01)0.5；
(2)eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\f(1,4)b\f(1,2)）4a－\f(1,3)b\f(1,3))(a>0，b>0).
解 (1)原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up6(\f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))eq \s\up6(\f(1,2))
＝1＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)－eq \f(1,10)＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).
(2)原式＝eq \f(（a3b2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(2,3))）\s\up6(\f(1,2)),ab2a－\f(1,3)b\s (\f(1,3)))＝aeq \f(3,2)＋eq \f(1,6)－1＋eq \f(1,3)b1＋eq \f(1,3)－2－eq \f(1,3)＝eq \f(a,b).
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简下列各式：
(1)[(0.064eq \s\up6(\f(1,5)))－2.5]eq \s\up6(\f(2,3))－eq \r(3,3\f(3,8))－π0；
(2)eq \f(5,6)aeq \f(1,3)·b－2·(－3a－eq \s\up6(\f(1,2))b－1) ÷(4aeq \s\up6(\f(2,3))·b－3)eq \s\up6(\f(1,2)).
解 (1)原式＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(64,1 000)))\s\up6(\f(1,5))))\s\up6(－\f(5,2))))eq \s\up6(\f(2,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up6(\f(1,3))－1
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,10)))\s\up12(3)))eq \s\up12(\f(1,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))×\f(2,3))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq \s\up6(\f(1,3))－1
＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)－1＝0.
(2)原式＝－eq \f(5,2)a－eq \f(1,6)b－3÷(4aeq \s\up6(\f(2,3))·b－3)eq \s\up6(\f(1,2))
＝－eq \f(5,4)a－eq \f(1,6)b－3÷(aeq \s\up6(\f(1,3))b－eq \s\up6(\f(2,3)))＝－eq \f(5,4)a－eq \s\up6(\f(1,2))·b－eq \s\up6(\f(2,3))
＝－eq \f(5,4)·eq \f(1,\r(ab3))＝－eq \f(5\r(ab),4ab2).
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2019·镇海中学检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－eq \f(a,2)恒过定点，则这个定点的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 (1)y＝(a－1)2x－eq \f(a,2)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))－2x，令2x－eq \f(1,2)＝0，得x＝－1，
故函数y＝(a－1)2x－eq \f(a,2)恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))).
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当0∴b的取值范围是(0，2).
答案 (1)C (2)(0，2)
规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
【训练2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.
由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
答案 (1)D (2)[－1，1]
考点三 指数函数的性质及应用 多维探究
角度1 指数函数的单调性
【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( )
>1.73 B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2 <0.93.1
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.
(2)当a<0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)－7<1，
则2－a<8，解之得a>－3，所以－3当a≥0时，则eq \r(a)<1，0≤a<1.
综上知，实数a的取值范围是(－3，1).
答案 (1)B (2)(－3，1)
角度2 与指数函数有关的复合函数的单调性
【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.
(2)若函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(ax2＋2x＋3)的值域是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,9)))，则f(x)的单调递增区间是________.
解析 (1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，＋∞))上是增加的，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(m,2)))上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有eq \f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，
由于f(x)的值域是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,9)))，
所以g(x)的值域是[2，＋∞).
因此有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(12a－4,4a)＝2，))解得a＝1，
这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x2＋2x＋3).
由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1]
角度3 函数的最值问题 易错警示
【例3－3】 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
解析 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))，又函数y＝(t＋1)2－2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0答案 3或eq \f(1,3)
规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【训练3】 (1)(2019·山师附中测评)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(0.1)的大小关系是( )
A.M＝N B.M≤N
C.MN
(2)函数f(x)＝3eq \r(x2－5x＋4)的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
(3)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))eq \s\up12(x)－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.
解析 (1)因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1，且a≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性.
所以a>2.
因此M＝(a－1)0.2>1，N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(0.1)<1.
故M>N.
(2)依题意知x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，令u＝eq \r(x2－5x＋4)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))\s\up12(2)－\f(9,4))，x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x∈(－∞，1]时，u是减函数，当x∈[4，＋∞)时，u是增函数.而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f(x)＝3eq \r(x2－5x＋4)在区间
(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数.
(3)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＝ab，,24＝b·a3，))结合a>0，且a≠1，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，))所以f(x)＝3·2x.要使eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)≥m在区间(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.
因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在区间(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)有最小值eq \f(5,6).所以只需m≤eq \f(5,6)即可.所以m的最大值为eq \f(5,6).
答案 (1)D (2)[4，＋∞) (－∞，1] (3)eq \f(5,6)
[思维升华]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
[易错防范]
1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
2.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·北京延庆区模拟)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )
A.y＝sin x B.y＝x3
C.y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x) D.y＝lg2x
解析 y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.而y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意；y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)是非奇非偶函数，不符合题意；
y＝lg2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；
y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意.
答案 B
2.函数y＝ax－eq \f(1,a)(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析 若a>1时，y＝ax－eq \f(1,a)在R上是增函数，
当x＝0时，y＝1－eq \f(1,a)∈(0，1)，A，B不满足.
若0当x＝0时，y＝1－eq \f(1,a)<0，C错，D项满足.
答案 D
3.(2019·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y＝eq \r(1－x) B.y＝|x－2|
C.y＝2x－1 D.y＝lg2(2x)
解析 f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝eq \r(1－x)的图象不过点A(1，1).
答案 A
4.设x>0，且1A.0C.1解析 ∵x>0时，11.
又x>0时，bx0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(x)>1.
∴eq \f(a,b)>1，∴a>b，∴1答案 C
5.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝eq \f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 由f(1)＝eq \f(1,9)，得a2＝eq \f(1,9)，解得a＝eq \f(1,3)或a＝－eq \f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(|2x－4|).
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.
答案 B
二、填空题
6.化简eq \f(（a\f(2,3)·b－1）－\f(1,2)·a－\f(1,2)·b\f(1,3),\r(6,a·b5))＝________.
解析 原式＝eq \f(a－\f(1,3)b\f(1,2)·a－\f(1,2)b\f(1,3),a\f(1,6)b\f(5,6))＝a－eq \f(1,3)－eq \f(1,2)－eq \f(1,6)·beq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(5,6)＝eq \f(1,a).
答案 eq \f(1,a)
7.函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋1在区间[－3，2]上的值域是________.
解析 令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，因为x∈[－3，2]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，8))，故y＝t2－t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4).当t＝eq \f(1,2)时，ymin＝eq \f(3,4)；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，57)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，57))
8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________.
解析 由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，
故g(a)>g(1)＝g(b－1).
答案 g(a)>g(b－1)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(ax)，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
解 (1)由已知得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－a)＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，
又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－2＝0，
令eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝t，则t>0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝2，解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
10.(2019·长沙一中月考)已知函数f(x)＝eq \f(3x＋a,3x＋1)为奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.
解 (1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)＝eq \f(1＋a,1＋1)＝0，所以a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(3x－1,3x＋1)＝1－eq \f(2,3x＋1)，函数f(x)在定义域R上单调递增.
理由：设x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2（3x1－3x2）,（3x1＋1）（3x2＋1）).
因为x1所以f(x1)能力提升题组
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11.(2019·天津河西区质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析 设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则z＝b(1＋10.4%)x，故y＝eq \f(z,b)＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.
答案 D
12.(2019·衡阳检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2)
解析 原不等式变形为m2－m又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在(－∞，－1]上是减函数，知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＝2.
故原不等式恒成立等价于m2－m<2，解得－1答案 D
13.(2018·上海卷)已知常数a>0，函数f(x)＝eq \f(2x,2x＋ax)的图象经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，\f(6,5)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q，－\f(1,5))).若2p＋q＝36pq，则a＝________.
解析 因为f(x)＝eq \f(2x,2x＋ax)＝eq \f(1,1＋\f(ax,2x))，且其图象经过点P，Q，
则f(p)＝eq \f(1,1＋\f(ap,2p))＝eq \f(6,5)，即eq \f(ap,2p)＝－eq \f(1,6)，①
f(q)＝eq \f(1,1＋\f(aq,2q))＝－eq \f(1,5)，即eq \f(aq,2q)＝－6，②
①×②得eq \f(a2pq,2p＋q)＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6.
答案 6
14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq \f(1,2|x|)，
(1)若f(x)＝eq \f(3,2)，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝eq \f(3,2)无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－eq \f(1,2x)，
由2x－eq \f(1,2x)＝eq \f(3,2)，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－eq \f(1,2)，
因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，2teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22t－\f(1,22t)))＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(1,2t)))≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞).
新高考创新预测
15.(多填题)若f(x)＝eq \f(a（2x＋1）－2,2x＋1)是R上的奇函数，则实数a的值为________，f(x)的值域为________.
解析 ∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴eq \f(2a－2,2)＝0，解得a＝1，f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＝1－eq \f(2,2x＋1).
∵2x＋1>1，∴0∴f(x)的值域为(－1，1).
答案 1 (－1，1)a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数