2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 第5节　指数与指数函数

第5节　指数与指数函数

 [选题明细表]

1.已知a>0,则等于(　B　)

A.    B.

C.    D.

解析:===.

2.已知函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是(　C　)

A.14 B.13 C.12 D.11

解析:由题意,函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,可得a+=3.

又f(2)=a2+a-2=(a+)2-2=7,f(0)=1+1=2,

所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12.

3.已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则(　B　)

A.a>c>b B.a>b>c

C.c>a>b D.b>c>a

解析:因为0.30.3>0.30.4,且y=0.3x是减函数,

所以b>c>0.

而=()0.3=()0.3>1,即a>b,

所以a>b>c.

4.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是(　A　)

解析:由图象可知⇒

因为a>b,所以由①可得a>0>b,由③可得-1-b>0⇒b<-1,由②可得1-a>0⇒a<1,因此有1>a>0>-1>b,所以函数g(x)=ax+b是减函数,g(0)=1+b<0,所以选项A符合.

5.(多选题)(2023·山东聊城模拟)已知函数f(x)=2-x-2x,有下列四个结论,其中正确的是(　ABD　)

A.f(0)=0

B.f(x)是奇函数

C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增

D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解

解析:f(x)=2-x-2x,则f(0)=-20=0,故A正确;

f(x)的定义域为R,且f(-x)=2x-2-x=-f(x),所以f(x)是奇函数,

故B正确;

f(x)=-2x在R上是减函数,故C错误;

当x→-∞时,f(x)→+∞;

当x→+∞时,f(x)→-∞,

即f(x)的值域是(-∞,+∞),

它又是R上的减函数,

因此对任意实数a,f(x)=a都有解,故D正确.

6.若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、第三、第四象限,则必有(　D　)

A.0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0

C.a>1,b<0 D.a>1,b>0

解析:法一　由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=ax(a>1)的图象过第一、第二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图,若函数y=ax-

(b+1)的图象过第一、第三、第四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.

法二　由函数是增函数知a>1,

又x=0时,f(0)<0知b>0.

7.已知a>0,b>0,则=　　　　. 

解析:

=

=

=·=1.

答案:1

8.(2022·山东菏泽高三二模)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数　　　　. 

①当x1x2≥0时,f(x1+x2)=f(x1)f(x2);

②f(x)为偶函数.

解析:若满足①对任意的x1x2≥0有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)成立,则对应的函数为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的形式;若满足②f(x)为偶函数,只需要将x加绝对值即可,所以满足①②两个条件的函数满足f(x)=a|x|(a>0,且a≠1)即可.

答案:f(x)=2|x|(答案不唯一)

9.解关于x的不等式:a-5x>ax+7(a>0,且a≠1).

解:①当0<a<1时,y=ax为减函数,

则-5x<x+7,解得x>-;

②当a>1时,y=ax为增函数,则-5x>x+7,

解得x<-.

综上,当0<a<1时,不等式的解集为{x|x>-};

当a>1时,不等式的解集为{x|x<-}.

10.(多选题)已知实数a,b满足等式2 021a=2 022b,下列关系式可能成立的是(　BCD　)

A.0<a<b B.a<b<0

C.0<b<a D.a=b

解析:分别画出y=2 021x,y=2 022x的图象,实数a,b满足等式2 021a=

2 022b,

可得a>b>0,a<b<0,a=b=0,而0<a<b不成立.

11.已知函数f(x)=2x-4x,则函数y=f(x)在[-1,1]上的值域为　　　,不等式f(x)>16-9·2x的解集为　　　　. 

解析:令t=2x,当x∈[-1,1]时,t∈[,2],则可将原函数转化为y=t-t2=-(t-)2+,

当t=时,ymax=;当t=2时,ymin=-2,

所以f(x)在[-1,1]上的值域为[-2,].

因为f(x)>16-9·2x,即2x-4x>16-9·2x,

所以4x-10·2x+16=(2x-2)(2x-8)<0,

解得2<2x<8,所以1<x<3,即不等式f(x)>16-9·2x的解集为(1,3).

答案:[-2,]　(1,3)

12.已知实数a>0,且a≠1,若函数f(x)=的值域为

[4,+∞),则a的取值范围是　　　　. 

解析:实数a>0,且a≠1,

若函数f(x)=的值域为[4,+∞),

当0<a<1时,当x>2时,f(x)的值域为(0,a2),与值域为[4,+∞)矛盾,所以0<a<1不成立;

当a>1时,对于函数f(x)=6-x,x≤2,函数的值域为[4,+∞),所以只需当x>2时值域为[4,+∞)的子集即可.因为a>1,所以f(x)在x>2时单调递增,f(x)>a2,即a2≥4,解得a≥2(舍去a≤-2).

综上可知,a的取值范围为[2,+∞).

答案:[2,+∞)

13.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).

(1)求f(x)的解析式;

(2)若不等式()x+()x-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值

范围.

解:(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),

所以所以a2=4,

又a>0,所以a=2,b=3,

所以f(x)=3·2x.

(2)由(1)知a=2,b=3,

当x∈(-∞,1]时,

()x+()x-m≥0恒成立,

即m≤()x+()x在(-∞,1]上恒成立.

又因为y=()x与y=()x在(-∞,1]上均单调递减,所以y=()x+()x在(-∞,1]上也单调递减,所以当x=1时,y=()x+()x有最小值,所以

m≤,即m的取值范围是(-∞,].

14.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.

(1)求m,n的值;

(2)用定义法证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;

(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

(1)解:因为f(x)为R上的奇函数,

所以f(0)=0,即m-30=0,解得m=1,

又因为f(-1)=-f(1),所以=-,解得n=1.经检验当m=1且n=1时,f(x)=满足f(-x)=-f(x),符合题意.

(2)证明:由(1)得f(x)==-1+,任取实数x1,x2,且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=-=.

因为x1<x2,可得<,

且(+1)(+1)>0, 

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

所以函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.

(3)解:根据(1)(2)知,函数f(x)是奇函数且在(-∞,+∞)上为减函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,即f(t2-2t)<-f(2t2-k)=

f(-2t2+k),即t2-2t>-2t2+k对任意的t∈R都成立,即k<3t2-2t对任意的t∈R都成立.因为3t2-2t=3(t-)2-,当t=时,3t2-2t有最小值,最小值为-,所以k<-,即k的取值范围是(-∞,-).

15.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是(　B　)

A.[-2,2)    B.[-2,+∞)

C.(-∞,2) D.[-4,-2)

解析:根据“局部奇函数”的定义可知,

方程f(-x)=-f(x)有解即可,

即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),

所以4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,

化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,

令2-x+2x=t(t≥2),

则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,

设g(t)=t2-mt-8,对称轴为x=.

①若m≥4,则Δ=m2+32>0,满足方程有解;

②若m<4,要使t2-mt-8=0在t≥2时有解,

则需解得-2≤m<4.

综上可得,实数m的取值范围为[-2,+∞).

16.(多选题)设函数f(x)=2x-1+21-x,则(　BC　)

A.f(x)在(0,+∞)上单调递增  

B.f(x)的最小值是2

C.f(x)的图象关于直线x=1对称

D.f(x)的图象关于点(1,0)对称

解析:因为f(x)=2x-1+21-x,所以f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x),即f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确;A,D错误;

因为2x-1>0,21-x>0,所以f(x)=2x-1+21-x≥2=2,当且仅当2x-1=21-x,即x=1时,取等号,故B正确.