甘肃省天水市一中2021届高三下学期5月第十次模拟考试数学（理）试题+答案

天水一中2018级第十次模拟考试

数学（理）

出题人：张莉娜、谢君琴        审题人：马静

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为

A.               B.
C.           D.

2.已知首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为，则“”是“”的

A. 充分不必要条件     B. 必要不充分条件
C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件

3.在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗称为接种率，那么1个感染者新的传染人数为已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为

A.  B.      C.  D.

4.已知角的终边在直线上，则   

A.  B.      C.  D.

5.执行下面的程序框图，输出的S的值为

A. 1       B. 2       C. 3       D. 4

6.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为

A.     B.          C.           D.

7.在空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，，则EF与CD所成角的大小为

A.    B.  C.       D.

8.已知函数，则下列说法中正确的是

A. 的一条对称轴为   B. 在上是单调递减函数
C. 的对称中心为   D. 的最大值为1

9.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式用该术可求得圆率的近似值现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为

A.  B. 3    C.     D. 9

10.设向量满足，则的最小值为     

A.  B.     C. 1   D. 2

11.已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为   

A.  B.      C. 2        D.

12.设，，，则

A.     B.     C.      D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知复数z满足为虚数单位，则 ______ ．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

14.若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为______ ．

15.如图，在中，，且D是边BC上一点，，，，则AB的长为________．

16.若一直线与曲线和曲线相切于同一点P，则a的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

（一）必考题（60分）

17.已知数列的前n项和为，且2，，成等差数列．

求数列的通项公式；

若，求数列的前n项和．

18.如图，在菱形ABCD中，且，E为AD的中点．将沿BE折起使，得到如图所示的四棱锥．

Ⅰ求证：平面平面ABC;

Ⅱ若P为AC的中点，求二面角的余弦值．

19.已知直线l：过抛物线的焦点，且与抛物线E交于两点，点M为AB中点．

求抛物线E的方程；

以AB为直径的圆与x轴交于两点，求面积取得最小值时直线l的方程．

20.体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病对于份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次二是混合检验，将n份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这n份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这n份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则n份血液检验的次数共为次已知每位体检人未患有该疾病的概率为，而且各体检人是否患该疾病相互独立．
若，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率；
某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案：
方案一：采用混合检验；
方案二：平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由．

21.已知函数．
求的极值；
若对任意的，都有恒成立，求k的最大值．

（二）选做题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.）

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
Ⅰ求曲线C和直线l的直角坐标方程；

Ⅱ直线l与y轴交点为P，经过点P的直线与曲线C交于A，B两点，证明：为定值．

23.已知，，，设函数，
Ⅰ若，求不等式的解集；
Ⅱ若函数的最小值为1，证明：

答案和解析

1——5.D B D B C     6——10.BA B D A    11——12.D A
 

11解：由题意可得图像如图所示：

为双曲线的左焦点，

为圆的直径，，

根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形，

，又，可得，
．
12、解：设，，
当时，，，

则此时，
即函数在上为减函数，
则，
即，
13.    14.     15.       16.2e
解：曲线的导数为：，
曲线即的导数为：，
由，得：，
即切点坐标应为：，
代入得：，
解得：，
17.【答案】解：由题意知2，成等差数列，所以，

可得

得，又，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

由可得，用错位相减法得：

可得．
18.【答案】证明：Ⅰ在图中，连接BD．
四边形ABCD为菱形，，是等边三角形．
为AD的中点，，．
又，．
在图中，，．
．
，，．
又，AE，平面ABE．
平面ABE．
平面ABC，平面平面ABC．
解：Ⅱ由Ⅰ，知，．
，BE，平面BCDE．
平面BCDE．
以E为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则0，，0，，0，，2，，1，．
为AC的中点，1，
，0，
设平面PBD的一个法向量为y，．
由得
令，得
又平面BCD的一个法向量为0，．
设二面角的大小为，由题意知该二面角得平面角为锐角．
则．
二面角的余弦值为．
19.【答案】解：抛物线的焦点为，
则在上，
，，
抛物线E的方程为．
设，，
由得，

则AB中点，
，
以AB为直径的圆M的半径，
M到CD的距离，
，
，
令，
则在单调递增，
即时，S取最小值，
此时的方程为．
20.【答案】解：）该混合样本阴性的概率为，
根据对立事件可知，阳性的概率为．
方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1，7，
，，
X的分布列为：

则．
方案二：由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若为阴性则检验次数为1，概率为，
若阳性，检验次数为4，概率为，
方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2，5，8，
，，，
其分布列为：

，
，
当或时，可得，所以方案一更“优”；
当或时，可得，所以方案一、二一样“优”；
当时，可得，方案二更“优”．
21.【答案】解：的定义域为，，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
有极小值，无极大值
可化为，
令，则，
令，则，
故在上为增函数，
又，，
故存在唯一的，使得，即，
当时，，从而，单调递增；
当时，，从而，单调递减，
故，又，
，故k的最大值为4．
22.【答案】解：Ⅰ由，
得曲线C：．
直线l的极坐标方程展开为，
故l的直角坐标方程为．
Ⅱ显然P的坐标为，不妨设过点P的直线方程为为参数，
代入C：得，设A，B对应的参数为，
所以为定值．
23.【答案】解：Ⅰ若，不等式，即，
而表示数轴上的x对应点到1、对应点的距离之和，
而、2对应点到1、对应点的距离之和正好等于4，
故它的解集为．
Ⅱ函数的最小值为，
 
．