中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题四　几何初步与图形的变化

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几何初步与图形的变化的常见考点有角的有关概念，角的平分线及角的计算，平行线的性质和判定；轴对称、中心对称的识别，图形的变化的性质及应用，图形的变化与坐标，图形的变化与作图；简单几何体的三视图，平面图形与空间图形的转化．中考中对几何初步与图形的变化的考查主要以客观题为主，考查题型多样，以选择题、填空题为主，作图题目多考查多个图形的变化；本专题在中考中所占的比重约为10%～15%.
【解题方法】
解决几何初步与图形的变化问题常用的数学思想就是转化思想；常用的数学方法有分类讨论法，实际操作法，逆向思维法等．
【知识结构】
【典例精选】：
如图，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°，则∠4等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠2＝∠4＝∠1，再由等腰三角形的性质可得∠4的度数．
答案：D
规律方法：
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确解题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两条被截直线平行.
如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是( )
【思路点拨】由俯视图中的数字可得左视图有3列，从左到右分别有2,3,1个正方形．
答案：B
规律方法：
对于由小立方块组成的几何体，主视图能确定几何体上下的层数和左右的列数，左视图能确定几何体上下的层数和前后的排数，俯视图能确定几何体左右的列数和前后的排数.
问题背景：
如图①，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连结A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．
(1)实践运用：
如图②，已知⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD＝30°，B 为eq \x\t(AD)的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为 .
(2)知识拓展：
如图③，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程．
【思路点拨】(1)作出点A或点B关于直径CD的对称点，再连结其中一点的对称点和另一点，和CD的交点为P，此时BP＋AP的值最小；(2)首先在斜边AC上截取AB′＝AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于点E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．
【自主解答】
【解析】(1)如图②，作点B关于直径CD的对称点E，连结AE交CD于点P，此时PA＋PB最小，且等于AE.作直径AC′，连结C′E，OE.
根据垂径定理得eq \x\t(BD)＝eq \x\t(DE).
∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∠DOE＝30°，
∴∠AOE＝90°，∴∠C′AE＝45°，
又∵AC′为⊙O的直径，∴∠AEC′＝90°，
∴∠C′＝∠C′AE＝45°，∴C′E＝AE＝eq \f(\r(2),2)AC′＝2eq \r(2)，
即AP＋BP的最小值是2eq \r(2).
(2)解：如图③，在斜边AC上截取AB′＝AB，连结BB′.
∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于点E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．
在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°，AB′＝AB＝10，
∴B′F＝AB′·sin 45°＝10×eq \f(\r(2),2)＝5eq \r(2)，
∴BE＋EF的最小值为5eq \r(2).
规律方法：
根据轴对称求线段和最短，方法是作其中一个定点关于动点所在直线的对称点，然后连结这个对称点与另一个定点，即可确定动点的位置，从而求得线段和最短的长度.
在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.
(1)如图①，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
(2)如图②，连结AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
(3)如图③，点E为线段AB的中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是P1，求线段EP1长度的最大值和最小值．
【思路点拨】(1)由旋转的性质知BC1＝BC，∠CC1B＝∠ACB＝45°，∠A1C1B＝∠ACB＝45°，∴∠CC1A1＝90°；
(2)先由△ABC≌△A1BC1，证△ABA1∽△CBC1，再由eq \f(S△ABA1,S△CBC1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,BC)))2求S△CBC1；
(3)过点B作BD⊥AC于D，当点P在AC上运动至D且△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；当点P在AC上运动至点C且△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大．
【自主解答】
解：(1)由旋转的性质可得∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°.
(2)∵△ABC ≌A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，∴eq \f(BA,BC)＝eq \f(BA1,BC1)，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1.∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1.
∴eq \f(S△ABA1,S△CBC1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,BC)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝eq \f(16,25).
∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝eq \f(25,4).
(3)如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上．在Rt△BCD中，BD＝BC·sin 45°＝eq \f(5,2)eq \r(2).
①当点P在AC上运动至点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为 eq \f(5,2)eq \r(2)－2.
②当点P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为2＋5＝7.
【能力评估检测】
一、选择题
1．如图，OA⊥OB，若∠1＝35°，则∠2的度数是( C )
A．35° B．45° C．55° D．70°
2．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC的长为( B )
A．3 cm B．6 cm
C．11 cm D．14 cm
3．有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( C )
4．晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( B )
5．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒(如图)，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是( C )
6．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝( A )
A．30° B．35°
C．36° D．40°
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为( C )
A．6 cm2
B．4π cm2
C．6π cm2
D．9π cm2
8．如图，将斜边长为4的直角三角尺放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角尺绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是( )
A．(eq \r(3)，－1)
B．(1，－eq \r(3))
C．(2eq \r(3)，－2)
D．(2，－2eq \r(3))
【解析】根据题意画出△AOB绕点O顺时针旋转120°得到的△COD，如图，连结OP，OQ，设CD与y轴交于点M，∴∠POQ＝120°.∵AP＝OP，∴∠BAO＝∠POA＝30°，∴∠MOQ＝30°.在Rt△OMQ中，OQ＝OP＝2，∴MQ＝1，OM＝eq \r(3)，则P的对应点Q的坐标为(1，－eq \r(3))．故选B.
答案: B
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为( )
A．10 B．8 C．5eq \r(3) D．6
【解析】如图，由题意可得，作点B关于AC的对称点B′，连结BB′交AC于点E，连结AB′，过点B′作B′N⊥AB于点N，交AC于点M，连结MB，此时BM＋NM＝B′N最小．∵AB＝10，BC＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝5eq \r(5).∵S△ABC＝eq \f(1,2)·AB·BC＝eq \f(1,2)AC·BE，∴BE＝eq \f(AB·BC,AC)＝eq \f(10×5,5\r(5))＝2eq \r(5).∵BB′＝2BE，∴BB′＝4eq \r(5).设AN＝x，则BN＝10－x，∵AB′＝AB＝10，由勾股定理，可得102－x2＝(4eq \r(5))2－(10－x)2，解得x＝6，∴B′N＝eq \r(102－62)＝8.故选B.
答案: B
二、填空题
10．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有3种．
11．如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭的几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状)，那么王亮至少还需要 个小正方体，王亮所搭几何体的表面积为 .
【解析】该几何体高有四层，前后有3排，左右有3列，则拼成的大长方体一共有3×3×4＝36(个)小正方体，那么王亮至少需要36－17＝19(个)小正方体．王亮在张明所搭几何体的基础上，搭建几何体时，第二层应该是缺少5个小正方体，第三层缺少6个小正方体，最上面一层缺少8个小正方体．
画出王亮所搭几何体的俯视图，并在每一个小正方形上标注层数如图，可知该几何体的主视图为9个小正方形，左视图为7个小正方形，俯视图为8个小正方形，∴王亮所搭几何体的表面积为(9＋7＋8)×2＝48.
答案: 19 48
12．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE＋PB的最小值为 .
【解析】连结DE交AC于点P，因为点B和点D关于AC对称，由对称性可知PD＝PB，由两点之间线段最短，可知此时PE＋PB的值最小，最小值为PE＋PB＝PD＋PE＝DE＝eq \r(CD2＋CE2)＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
答案: 2eq \r(5)
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝eq \r(2).将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是 .
【解析】如图，连结AM，设BM与AC相交于点D.∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝eq \r(2)，∴AC＝2.∵∠ACM＝60°，AC＝CM＝2，
∴△ACM是等边三角形．∴MC＝MA.∵AB＝BC，∴BM垂直平分AC.∴DM＝AM·sin 60°＝eq \r(3).BD＝eq \f(1,2)AC＝1.∴BM＝BD＋DM＝eq \r(3)＋1.
答案: eq \r(3)＋1
三、解答题
14．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连结AE.
(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
(2)请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
解：(1)根据题意画出△AEF如图所示；
(2)S重叠部分＝S△AGE－S△DGH＝eq \f(1,2)×4×4－eq \f(1,2)×2×2＝8－2＝6.
15．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连结PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连结DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长；
(2)当点P在何处时，
△PFD∽△BFP？并说明理由．
解：(1)根据题意，得PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴∠APD＋∠QPE＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，
∴∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠QPE.
∵EQ⊥AB，∴∠A＝∠Q＝90°.
在△ADP和△QPE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(∠A＝∠Q，,∠ADP＝∠QPE，,PD＝PE.))
∴△ADP≌△QPE.∴PQ＝AD＝1.
(2)当点P在AB的中点处时，△PFD∽△BFP.
理由如下：
∵△PFD∽△BFP，∴eq \f(PB,BF)＝eq \f(PD,PF).
∵∠ADP＝∠FPB，∠FBP＝∠A，∴△DAP∽△PBF.
∴eq \f(PD,PF)＝eq \f(AP,BF).∴eq \f(AP,BF)＝eq \f(PB,BF).∴PA＝PB，∴PA＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2).
∴当点P在AB的中点处时，△PFD∽△BFP.
16．在学习轴对称时，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图①，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线(如图②)，问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′；②连结AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
(1)在图中作出点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)请直接写出△PDE周长的最小值： 8 .
解：(1)作图如图所示．
(2)∵点D，E分别是AB，
AC边的中点，
∴DE为△ABC的中位线．
∵BC＝6，BC边上的高为4，
∴DE＝3，DD′＝4.
∴D′E＝eq \r(DE2＋D′D2)＝eq \r(32＋42)＝5，
∴△PDE周长的最小值为DE＋D′E＝3＋5＝8.