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2018年人教版中考复习数学《选填重难点突破规律探索题》（含答案）
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这是一份2018年人教版中考复习数学《选填重难点突破规律探索题》（含答案），共19页。
选填重难点突破
专题一 规律探索题
类型一 数式规律
1.观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…，解答下面问题：2＋22＋23+24＋…＋22015－1的末位数字是( )
A. 0 B. 3 C. 4 D. 8
0
3
4
13
2. 填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，据此规律得出a+b+c=____.
2
5
6
31
4
7
8
57
6
c
a
b
3. 按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…,按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是_____.
4.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…,叫做三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,…,依此类推,那么第9个三角形数是____,2016是第_____个三角形数.
5.设an为正整数n4的末位数，如a1＝1，a2＝6，a3=1,a4＝6.则a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=_____.
6.若，对任意自然数n都成立，则a=____,b=____；
计算：m=_____.
7.观察下列各式及其展开式：
（a+b）2= a2+2ab+b2
（a+b）3= a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是____.
8. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=(2,3),则A2015＝______.
9. 请观察下列等式的规律:
…
则_____.
10.若1×22-2×32=-1×2×7;
(1×22-2×32)+(3×42-4×52)=-2×3×11;
(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+(5×62-6×72)=-3×4×15;
则(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+[(2n-1)·(2n)2-2n(2n+1)2]=_______.
类型二 图形规律
1.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
第1题图
A. 21 B. 24 C. 27 D. 30
2. 如图，以点O为圆心的20个同心圆，第2题图它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ ）
A. 231π B. 210π
C. 190π D. 171π
第2题图
3. 将一个箭头符号，每次逆时针旋转90°,这样便得到一串如图所示“箭头符号”串，那么按此规律排列下去，第2016个“箭头符号”是_____.
第3题图
4. 如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2;…;∠A2015BC和∠A2015CD的平分线交于点A2016，则∠A2016＝_____度.
第4题图 第5题图
5.观察下列图形规律：当n=___时,图形中“·”的个数和“△”的个数相等.
6. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2016个点的坐标为_____.
第6题图 第7题图
7.如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O， 各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点A20的坐标为______．
8.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，）、B（-1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3，…，按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为_____.
第8题图 第9题图
9. 已知,正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示,A(-2,0),点B在原点,把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2015次翻转之后,点B的坐标是____
10.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn=______(用含n的式子表示).
第10题图 第11题图
11. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=3,矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_____.
12.已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2延长C2D2到A2,以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推，…，若A1C1=2，且点A,D2,D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是_____.
第12题图
13. 如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为_____.
第13题图
类型三 与函数相关的规律
1.如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2,…,An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y=x上.已知OA1＝1，则OA2015的长为.
第1题图
2. 如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y=x-1上，点B1,B2,…,Bn均在双曲线y=-1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴,B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数），若a1=-1,则a2015=______.
第2题图 第3题图
3. 正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=-x+2上，则点A3的坐标为_____.
4. 如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2的图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2015B2014B2015的腰长＝_______.
第4题图 第5题图
5. 如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1,B2,B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为_____.
6.如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2,A3,A4,…,An,分别过这些点作x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点Ｐ1，P2，P3，P4，…，Pn，再分别过P2，P3，P4,…，Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，PnBn-1⊥An-1Pn-1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，Bn-1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn-1Pn,得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△Pn-1Bn-1Pn,则Rt△Pn-1Bn-1Pn的面积为______.
第6题图【答案】
类型一 数式规律
1. B【解析】观察等式可知，21，22，23，24，…，的末位数字以2，4，8，6为一个周期的周期性循环，2015÷4=503……3，∴21+22+23+24+…+22015的末位数字为0×503+2+4+8=14的末位数字4，∴21+22+23+24+…+22015-1的末位数字为3.
2. 110【解析】根据左上角+4＝左下角，左上角+3＝右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积加1，可得6+4=a,6+3=c,ac+1=b,可得：a=10,c=9,b=91,∴a+b+c= 10+9+91 =110.
3. 【解析】将这列数，，，，…，的分子都化为4，则有，，，，…,观察发现，这列数的分子都是4，分母的后一项比前一项大3，那么这列数中第n个数可以表示为，因此，第10个数与第16个数的积是.
4. 45；63【解析】根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，则第9个三角形数为1+2+3+4+…+9=（1+9）×9÷2=45;设2016是第x个三角形数，则有1+2+3+4+…+x=2016，（1+x）×x÷2=2016，解得x=63.
5. 6652【解析】根据题意可知a1=1，a2=6，a3=1，a4=6，a5=5，a6=6，a7=1，a8=6，a9=1，a10=0，a11=1,a12=6,a13=1,…，每10个数一个循环，2015÷10＝201……5，∴a1+a2+a3+…+a2013 +a2014+a2015=201×（1+6+1+6+5+6+1+6+1+0）+1+6+1+6+5 =6652.
6. ；-；【解析】将 通分变形得：
，由于=1,∴a-b＝1,a+b=0，故a=，b=-，∴,，…，
∴m=.故m＝.
7. 45【解析】∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0＝;当n＝2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1＝;当n＝3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3＝;当n＝4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6＝;则当n＝10时，多项式（a+b）10的展开式的第三项的系数是：＝45.
8. （32，47）【解析】第一组有1个奇数，第二组有3个奇数，第三组有5个奇数，…，则第n组有（2n-1）个奇数，∴前n组共有个奇数.∵2015是第1008个奇数，∴令n2 =1008，即31＜n＜32,可判断出2015在第32组，即i=32；∵前31组共有312=961个奇数，可得1008-961=47，∴j=47.故A2015=（i，j）=(32,47).
9. 【解析】
.
10. -n(n+1)(4n+3)【解析】∵1×22-2×32=-1×2×7=-1×2×(4×1+3)；(1×22-2×32)+(3×42-4×52)=-2×3×11=-2×3×(4×2+3)；(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+(5×62-6×72)=-3×4×15＝-3×4×(4×3+3)；…；∴(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2］=-n(n+1)(4n+3).
类型二 图形规律
1. B【解析】第①个图形有6个小圆圈；第②个图形有6+3=9个小圆圈；第③个图形有6+3×2=12个小圆圈；…；按照这个规律，第n个图形有6+3(n-1)=3n+3个小圆圈，故第⑦个图形一共有3×7+3=24个小圆圈.
2. B【解析】由题意知，阴影部分的圆环的面积依次可以表示为：S阴1=S2-S1=πr22-πr12=（22-12）π=（1+2）π；S阴2= S4-S3=πr42-πr32=（42-32）π=（3+4）π;…;∴S阴n=S2n-S2n-1 =πr2n2-πr2n-12=［2n2-(2n-1)2］π=［(2n-1)+2n］π;∴ S阴10= S20-S19=πr202-πr192=（202-192 ）π=（19+20）π，∴阴影部分的面积为：S=S阴1+S阴2+…+S阴10＝（1+2）π+（3+4）π+…+（19+20）π=（1+2+3+4+…+20）π=210π.
3. 【解析】观察题中图形可以发现，每4个图形循环一次，则根据循环的规律2016÷4=504，故第2016个“箭头符号”是每次循环的最后一个图形.
4. 【解析】如解图所示，由三角形的外角性质可知∠3＋∠4＝∠A＋∠1＋∠2，∠4＝∠2＋∠A1，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠4＝∠A＋2∠2，
即2（∠4－∠2）＝∠A.由∠4＝∠2＋∠A1得
∠4-∠2＝∠A1，∴∠A＝2∠A1，即∠A1＝∠A＝m°.
同理可得∠A2＝∠A1＝m°＝，由此归纳得∠A2016＝.
5. 5【解析】∵n=1时，“·”的个数是3＝3×1;n=2时，“·”的个数是6＝3×2;n=3时，“·”的个数是9＝3×3;n=4时，“·”的个数是12＝3×4，∴第n个图形中“·”的个数是3n;又∵n=1时，“△”的个数是;n=2时，“△”的个数是;n=3时，“△”的个数是;n=4时，“△”的个数是，∴第n个图形中“△”的个数是.由3n＝,可得n2-5n=0,解得n=5或n=0（舍去），∴当n=5时，图形中“·”的个数和“△”的个数相等.
6. （45,15）【解析】观察图象可以发现，点的个数按照平方数的规律变化，并且横坐标是奇数时，纵坐标逐次变小，横坐标是偶数时，纵坐标逐次变大.欲求第2016个点的坐标，找出与2016最接近的平方数.∵452=2025，∴第2025个点的坐标是（45,0），∴第2016个点在第2025个点的正上方15个单位处，∴第2016个点的坐标为（45,15）.
7. （5，-5）【解析】∵＝5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，-1），同理可得：A8的坐标为（2，-2），A12的坐标为（3，-3），A16的坐标是（4，-4），∴A20的坐标为（5，-5）.
8. （-31008，0）【解析】∵A（0，），B（-1，0），∴OA=，OB＝1，则可得tan∠OAB=OB/OA=,∴∠OAB=30°，由已知易证∠OA1A=∠OA2A1=∠OA3A2=30°，∴OA1=OA/tan30°＝＝3＝（）2，OA2＝OA1/tan30°＝＝3＝()3，OA3＝OA2/tan30°＝＝9＝()4，…，由上可知，一般地，OAn＝()n+1，∴OA2015＝()2015+1＝31008，∵2015÷4＝503……3，∴点A2015在x轴负半轴上，∴A2015（-31008，0）.
9. （4031，）【解析】在正六边形翻转过程中，点B翻转时每经过六次翻转就重新落在x轴上，正六边形每翻转六次称为一个翻转周期，在一个翻转周期内点B平移的距离为12个单位长度，又2015÷6=335……5，∴2015次翻转实际上是335个翻转周期零5次，∵第5次翻转时B点的坐标为（11，），∴2015次翻转后B点的坐标为（4031，）.
10. 【解析】∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC, ∴BB1=1,AB=2,根据勾股定理得AB1=，∴S1= =;∵等边三角形AB1C1的边长为3,AB2⊥B1C1, ∴B1B2=,AB1＝，根据勾股定理得AB2=, ∴S2=; 依此类推：Sn＝.
11. 3024π【解析】转动第一次A的路线长是=2π,转动第二次A的路线长是=,转动第三次A的路线长是=,转动第四次A的路线长是0,转动第五次A的路线长是=2π,…，以此类推，每四次一循环，故顶点A每转动四次经过的路线长为2π+++0＝6π，2015÷4＝503…3，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是：6π×503+（2π++)＝3024π.
12. 【解析】如解图，设直线AD1与A1C1相交于点M，∵A1C1=2,A1D2∥AD1,∴= =,A1D1=2-1=1,∴A1M＝ ,∴,由于A2D3∥A1D2,A2D2∥A1M, ∴△A1MD2∽△A2D2D3,∴＝3,∴A2D3+2＝A2D3,∴A2D3＝3,同理可求得A3D4＝,A4D5＝,…，由以上计算可知从第三个正方形开始，后一个正方形的边长都是前一个正方形边长的倍，也就是第3个正方形的边长是2×，第4个正方形的边长是2×（）2，第5个正方形的边长是2×（）3，…，第10个正方形的边长应该是2×（）8=.
第12题解图
13. 【解析】顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD面积的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A2B2C2D2四边的中点得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD面积的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A3B3C3D3四边的中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD面积的，则周长是正方形ABCD的；…；故第n个正方形周长是正方形ABCD周长的,以此类推：正方形A8B8C8D8周长是正方形ABCD周长的，∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，∴按此规律得到的四边形A8B8C8D8的周长为.
类型三 与函数相关的规律
1. 22014【解析】△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3是等腰直角三角形，且A1B1=OA1=1，A2B2=2A1B1=2，A3B3=2A2B2=22，A4B4=2A3B3=23，…，∴AnBn=2n-1, ∴A2015B2015= 22015-1= 22014，∴OA2015=A2015B2015=22014.
2. 2【解析】解答时，可根据题意分别求出a1、a2、a3、a4、…，直到循环为止，由a1=-1.可根据y=-及y=x-1可求得a2=2，a3=,a4=-1.∴可知每3个数循环一次，因此可得2015÷3=671……2.故a2015与a2的值相同，∴a2015=a2=2.
3. (，0)【解析】∵四边形OA1B1C1是正方形，∴A1B1＝B1C1，∵点B1在直线y＝-x+2上，∴设B1的坐标是（x，-x+2），∴x=-x+2,∴x=1.∴点B1的坐标是（1，1），∴点A1的坐标为（1，0）.∵四边形A1A2B2C2是正方形，∴B2C2＝A1C2，∵点B2在直线y＝-x+2上，∴B2C2＝B1C2，∴B2C2＝A1B1＝，∴OA2＝OA1+A1A2=1+，∴点A2的坐标为（1+，0）.同理，可得到点A3的坐标为（1++，0），即（，0）.
4. 2015【解析】由于△A1B0B1是等腰直角三角形，∴A1B0与x轴成45°角，∴点A1的横坐标与纵坐标相等，设点A1（m，m），代入y=x2，得m=m2，解得m1=0(舍去)，m2=1，由勾股定理得：A1B0=A1B1=；设点A2的坐标为（n,2+n），代入y=x2，得2+n=n2,解得n1=2,n2=-1(舍去)，∴点A2(2,4)，由此可算得A2B2=2；同样可算得A3B3=3，…，AnBn=n，于是△A2015B2014B2015的腰长为2015.
5. 【解析】根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2＝S△OB3C3＝12k＝4，∵OA1=A1A2=A2A3,A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，设阴影部分的面积从左向右依次为S1,S2,S3，则S1=k=4,∵OA1=A1A2=A2A3,∴S2∶S△OB2C2＝1∶4，S3∶S△OB3C3＝1∶9，∴阴影部分的面积分别是S1＝4，S2＝1，S3＝，∴阴影部分的面积之和＝4+1+＝.
6. 【解析】设点P1坐标为(x,),则点P2坐标为（2x,),点P3坐标为（3x,),…，以此类推点Pn坐标为（nx,), ∴=x·(－)=×=，=x·(－)=×=，=x·(－)=×=…，∴ =.
选填重难点突破
专题一 规律探索题
类型一 数式规律
1.观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…，解答下面问题：2＋22＋23+24＋…＋22015－1的末位数字是( )
A. 0 B. 3 C. 4 D. 8
0
3
4
13
2. 填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，据此规律得出a+b+c=____.
2
5
6
31
4
7
8
57
6
c
a
b
3. 按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…,按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是_____.
4.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…,叫做三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,…,依此类推,那么第9个三角形数是____,2016是第_____个三角形数.
5.设an为正整数n4的末位数，如a1＝1，a2＝6，a3=1,a4＝6.则a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=_____.
6.若，对任意自然数n都成立，则a=____,b=____；
计算：m=_____.
7.观察下列各式及其展开式：
（a+b）2= a2+2ab+b2
（a+b）3= a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是____.
8. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=(2,3),则A2015＝______.
9. 请观察下列等式的规律:
…
则_____.
10.若1×22-2×32=-1×2×7;
(1×22-2×32)+(3×42-4×52)=-2×3×11;
(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+(5×62-6×72)=-3×4×15;
则(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+[(2n-1)·(2n)2-2n(2n+1)2]=_______.
类型二 图形规律
1.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
第1题图
A. 21 B. 24 C. 27 D. 30
2. 如图，以点O为圆心的20个同心圆，第2题图它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ ）
A. 231π B. 210π
C. 190π D. 171π
第2题图
3. 将一个箭头符号，每次逆时针旋转90°,这样便得到一串如图所示“箭头符号”串，那么按此规律排列下去，第2016个“箭头符号”是_____.
第3题图
4. 如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2;…;∠A2015BC和∠A2015CD的平分线交于点A2016，则∠A2016＝_____度.
第4题图 第5题图
5.观察下列图形规律：当n=___时,图形中“·”的个数和“△”的个数相等.
6. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2016个点的坐标为_____.
第6题图 第7题图
7.如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O， 各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点A20的坐标为______．
8.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，）、B（-1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3，…，按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为_____.
第8题图 第9题图
9. 已知,正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示,A(-2,0),点B在原点,把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2015次翻转之后,点B的坐标是____
10.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn=______(用含n的式子表示).
第10题图 第11题图
11. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=3,矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_____.
12.已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2延长C2D2到A2,以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推，…，若A1C1=2，且点A,D2,D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是_____.
第12题图
13. 如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为_____.
第13题图
类型三 与函数相关的规律
1.如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2,…,An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y=x上.已知OA1＝1，则OA2015的长为.
第1题图
2. 如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y=x-1上，点B1,B2,…,Bn均在双曲线y=-1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴,B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数），若a1=-1,则a2015=______.
第2题图 第3题图
3. 正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=-x+2上，则点A3的坐标为_____.
4. 如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2的图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2015B2014B2015的腰长＝_______.
第4题图 第5题图
5. 如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1,B2,B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为_____.
6.如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2,A3,A4,…,An,分别过这些点作x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点Ｐ1，P2，P3，P4，…，Pn，再分别过P2，P3，P4,…，Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，PnBn-1⊥An-1Pn-1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，Bn-1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn-1Pn,得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△Pn-1Bn-1Pn,则Rt△Pn-1Bn-1Pn的面积为______.
第6题图【答案】
类型一 数式规律
1. B【解析】观察等式可知，21，22，23，24，…，的末位数字以2，4，8，6为一个周期的周期性循环，2015÷4=503……3，∴21+22+23+24+…+22015的末位数字为0×503+2+4+8=14的末位数字4，∴21+22+23+24+…+22015-1的末位数字为3.
2. 110【解析】根据左上角+4＝左下角，左上角+3＝右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积加1，可得6+4=a,6+3=c,ac+1=b,可得：a=10,c=9,b=91,∴a+b+c= 10+9+91 =110.
3. 【解析】将这列数，，，，…，的分子都化为4，则有，，，，…,观察发现，这列数的分子都是4，分母的后一项比前一项大3，那么这列数中第n个数可以表示为，因此，第10个数与第16个数的积是.
4. 45；63【解析】根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，则第9个三角形数为1+2+3+4+…+9=（1+9）×9÷2=45;设2016是第x个三角形数，则有1+2+3+4+…+x=2016，（1+x）×x÷2=2016，解得x=63.
5. 6652【解析】根据题意可知a1=1，a2=6，a3=1，a4=6，a5=5，a6=6，a7=1，a8=6，a9=1，a10=0，a11=1,a12=6,a13=1,…，每10个数一个循环，2015÷10＝201……5，∴a1+a2+a3+…+a2013 +a2014+a2015=201×（1+6+1+6+5+6+1+6+1+0）+1+6+1+6+5 =6652.
6. ；-；【解析】将 通分变形得：
，由于=1,∴a-b＝1,a+b=0，故a=，b=-，∴,，…，
∴m=.故m＝.
7. 45【解析】∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0＝;当n＝2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1＝;当n＝3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3＝;当n＝4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6＝;则当n＝10时，多项式（a+b）10的展开式的第三项的系数是：＝45.
8. （32，47）【解析】第一组有1个奇数，第二组有3个奇数，第三组有5个奇数，…，则第n组有（2n-1）个奇数，∴前n组共有个奇数.∵2015是第1008个奇数，∴令n2 =1008，即31＜n＜32,可判断出2015在第32组，即i=32；∵前31组共有312=961个奇数，可得1008-961=47，∴j=47.故A2015=（i，j）=(32,47).
9. 【解析】
.
10. -n(n+1)(4n+3)【解析】∵1×22-2×32=-1×2×7=-1×2×(4×1+3)；(1×22-2×32)+(3×42-4×52)=-2×3×11=-2×3×(4×2+3)；(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+(5×62-6×72)=-3×4×15＝-3×4×(4×3+3)；…；∴(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2］=-n(n+1)(4n+3).
类型二 图形规律
1. B【解析】第①个图形有6个小圆圈；第②个图形有6+3=9个小圆圈；第③个图形有6+3×2=12个小圆圈；…；按照这个规律，第n个图形有6+3(n-1)=3n+3个小圆圈，故第⑦个图形一共有3×7+3=24个小圆圈.
2. B【解析】由题意知，阴影部分的圆环的面积依次可以表示为：S阴1=S2-S1=πr22-πr12=（22-12）π=（1+2）π；S阴2= S4-S3=πr42-πr32=（42-32）π=（3+4）π;…;∴S阴n=S2n-S2n-1 =πr2n2-πr2n-12=［2n2-(2n-1)2］π=［(2n-1)+2n］π;∴ S阴10= S20-S19=πr202-πr192=（202-192 ）π=（19+20）π，∴阴影部分的面积为：S=S阴1+S阴2+…+S阴10＝（1+2）π+（3+4）π+…+（19+20）π=（1+2+3+4+…+20）π=210π.
3. 【解析】观察题中图形可以发现，每4个图形循环一次，则根据循环的规律2016÷4=504，故第2016个“箭头符号”是每次循环的最后一个图形.
4. 【解析】如解图所示，由三角形的外角性质可知∠3＋∠4＝∠A＋∠1＋∠2，∠4＝∠2＋∠A1，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠4＝∠A＋2∠2，
即2（∠4－∠2）＝∠A.由∠4＝∠2＋∠A1得
∠4-∠2＝∠A1，∴∠A＝2∠A1，即∠A1＝∠A＝m°.
同理可得∠A2＝∠A1＝m°＝，由此归纳得∠A2016＝.
5. 5【解析】∵n=1时，“·”的个数是3＝3×1;n=2时，“·”的个数是6＝3×2;n=3时，“·”的个数是9＝3×3;n=4时，“·”的个数是12＝3×4，∴第n个图形中“·”的个数是3n;又∵n=1时，“△”的个数是;n=2时，“△”的个数是;n=3时，“△”的个数是;n=4时，“△”的个数是，∴第n个图形中“△”的个数是.由3n＝,可得n2-5n=0,解得n=5或n=0（舍去），∴当n=5时，图形中“·”的个数和“△”的个数相等.
6. （45,15）【解析】观察图象可以发现，点的个数按照平方数的规律变化，并且横坐标是奇数时，纵坐标逐次变小，横坐标是偶数时，纵坐标逐次变大.欲求第2016个点的坐标，找出与2016最接近的平方数.∵452=2025，∴第2025个点的坐标是（45,0），∴第2016个点在第2025个点的正上方15个单位处，∴第2016个点的坐标为（45,15）.
7. （5，-5）【解析】∵＝5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，-1），同理可得：A8的坐标为（2，-2），A12的坐标为（3，-3），A16的坐标是（4，-4），∴A20的坐标为（5，-5）.
8. （-31008，0）【解析】∵A（0，），B（-1，0），∴OA=，OB＝1，则可得tan∠OAB=OB/OA=,∴∠OAB=30°，由已知易证∠OA1A=∠OA2A1=∠OA3A2=30°，∴OA1=OA/tan30°＝＝3＝（）2，OA2＝OA1/tan30°＝＝3＝()3，OA3＝OA2/tan30°＝＝9＝()4，…，由上可知，一般地，OAn＝()n+1，∴OA2015＝()2015+1＝31008，∵2015÷4＝503……3，∴点A2015在x轴负半轴上，∴A2015（-31008，0）.
9. （4031，）【解析】在正六边形翻转过程中，点B翻转时每经过六次翻转就重新落在x轴上，正六边形每翻转六次称为一个翻转周期，在一个翻转周期内点B平移的距离为12个单位长度，又2015÷6=335……5，∴2015次翻转实际上是335个翻转周期零5次，∵第5次翻转时B点的坐标为（11，），∴2015次翻转后B点的坐标为（4031，）.
10. 【解析】∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC, ∴BB1=1,AB=2,根据勾股定理得AB1=，∴S1= =;∵等边三角形AB1C1的边长为3,AB2⊥B1C1, ∴B1B2=,AB1＝，根据勾股定理得AB2=, ∴S2=; 依此类推：Sn＝.
11. 3024π【解析】转动第一次A的路线长是=2π,转动第二次A的路线长是=,转动第三次A的路线长是=,转动第四次A的路线长是0,转动第五次A的路线长是=2π,…，以此类推，每四次一循环，故顶点A每转动四次经过的路线长为2π+++0＝6π，2015÷4＝503…3，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是：6π×503+（2π++)＝3024π.
12. 【解析】如解图，设直线AD1与A1C1相交于点M，∵A1C1=2,A1D2∥AD1,∴= =,A1D1=2-1=1,∴A1M＝ ,∴,由于A2D3∥A1D2,A2D2∥A1M, ∴△A1MD2∽△A2D2D3,∴＝3,∴A2D3+2＝A2D3,∴A2D3＝3,同理可求得A3D4＝,A4D5＝,…，由以上计算可知从第三个正方形开始，后一个正方形的边长都是前一个正方形边长的倍，也就是第3个正方形的边长是2×，第4个正方形的边长是2×（）2，第5个正方形的边长是2×（）3，…，第10个正方形的边长应该是2×（）8=.
第12题解图
13. 【解析】顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD面积的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A2B2C2D2四边的中点得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD面积的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A3B3C3D3四边的中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD面积的，则周长是正方形ABCD的；…；故第n个正方形周长是正方形ABCD周长的,以此类推：正方形A8B8C8D8周长是正方形ABCD周长的，∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，∴按此规律得到的四边形A8B8C8D8的周长为.
类型三 与函数相关的规律
1. 22014【解析】△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3是等腰直角三角形，且A1B1=OA1=1，A2B2=2A1B1=2，A3B3=2A2B2=22，A4B4=2A3B3=23，…，∴AnBn=2n-1, ∴A2015B2015= 22015-1= 22014，∴OA2015=A2015B2015=22014.
2. 2【解析】解答时，可根据题意分别求出a1、a2、a3、a4、…，直到循环为止，由a1=-1.可根据y=-及y=x-1可求得a2=2，a3=,a4=-1.∴可知每3个数循环一次，因此可得2015÷3=671……2.故a2015与a2的值相同，∴a2015=a2=2.
3. (，0)【解析】∵四边形OA1B1C1是正方形，∴A1B1＝B1C1，∵点B1在直线y＝-x+2上，∴设B1的坐标是（x，-x+2），∴x=-x+2,∴x=1.∴点B1的坐标是（1，1），∴点A1的坐标为（1，0）.∵四边形A1A2B2C2是正方形，∴B2C2＝A1C2，∵点B2在直线y＝-x+2上，∴B2C2＝B1C2，∴B2C2＝A1B1＝，∴OA2＝OA1+A1A2=1+，∴点A2的坐标为（1+，0）.同理，可得到点A3的坐标为（1++，0），即（，0）.
4. 2015【解析】由于△A1B0B1是等腰直角三角形，∴A1B0与x轴成45°角，∴点A1的横坐标与纵坐标相等，设点A1（m，m），代入y=x2，得m=m2，解得m1=0(舍去)，m2=1，由勾股定理得：A1B0=A1B1=；设点A2的坐标为（n,2+n），代入y=x2，得2+n=n2,解得n1=2,n2=-1(舍去)，∴点A2(2,4)，由此可算得A2B2=2；同样可算得A3B3=3，…，AnBn=n，于是△A2015B2014B2015的腰长为2015.
5. 【解析】根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2＝S△OB3C3＝12k＝4，∵OA1=A1A2=A2A3,A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，设阴影部分的面积从左向右依次为S1,S2,S3，则S1=k=4,∵OA1=A1A2=A2A3,∴S2∶S△OB2C2＝1∶4，S3∶S△OB3C3＝1∶9，∴阴影部分的面积分别是S1＝4，S2＝1，S3＝，∴阴影部分的面积之和＝4+1+＝.
6. 【解析】设点P1坐标为(x,),则点P2坐标为（2x,),点P3坐标为（3x,),…，以此类推点Pn坐标为（nx,), ∴=x·(－)=×=，=x·(－)=×=，=x·(－)=×=…，∴ =.
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