江苏省南京市八年级下学期期中数学试卷【解析版】

这是一份江苏省南京市八年级下学期期中数学试卷【解析版】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算与求解，动手操作，解决问题，探究与思考等内容，欢迎下载使用。

江苏省南京市钟英中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共12分）
1．使分式有意义的x的取值范围是( )
A．x≤3
B．x≥3
C．x≠3
D．x=3

2．分式与下列分式相等的是( )
A．
B．
C．
D．

3．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是( )
A．调查方式是普查
B．该校只有360个家长持反对态度
C．样本是360个家长
D．该校约有90%的家长持反对态度

4．正方形具有的性质中，菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线相等
B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分
D．对角线平分一组对角

5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为( )

A．45°
B．55°
C．60°
D．75°

6．如图，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O，以AB，AO为两邻边作平行四边形AOC1B，平行四边形AOC1B的对角线交BD于点O1，同样以AB，AO1为两邻边作平行四边形AO1C2B．…，依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为( )[来源:Zxxk.Com]

A．cm2
B．cm2
C．cm2
D．cm2


二、填空题（每题2分，共20分）
7．当x=__________时，分式的值为零．

8．化简：=__________．

9．一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性__________摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．

10．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加__________条件，才能保证四边形EFGH是矩形．


11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=__________．


12．为了解某校九年级女生1分钟仰卧起坐的次数，从中随机抽查了50名女生参加测试，被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，并绘制成频数分布直方图（如图），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是__________．


13．新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为__________．

14．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则平行四边形ABCD的周长是__________．


15．若关于x的分式方程无解，则m的值是__________．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为正方形，则t的值为__________．



三、计算与求解（每小题8分，共16分）
17．化简：
（1）（1+）÷．
（2）．

18．解分式方程：．

19．先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0．


四、动手操作（共6分）
20．平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是__________，旋转角是__________度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形．



五、解决问题（每题6分，共30分）
21．为了解中考体育科目训练情况，改进训练方法，减轻学生负担，某县教育局从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是__________；
（2）图中∠α的度数是__________，并把图2条形统计图补充完整；
（3）全县九年级共有学生8500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为__________．


22．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．[来源:学科网]


23．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为__________元；
（2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？

24．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，求线段BF的长．


25．甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次．两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭．设前后两次的米价分别是每千克m元和n元（m＞0，n＞0，m≠n），请问谁的购买方式合算？


六、探究与思考（26题6分，27题10分，共16分）
26．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．例如：如图，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．
（1）邻边长分别为2和3的平行四边形是 2阶准菱形吗？说明理由；
（2）操作、探究与计算：
①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．


27．已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．




2017-2018学年江苏省南京市钟英中学八年级（下）期中数学试卷


一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共12分）
1．使分式有意义的x的取值范围是( )
A．x≤3
B．x≥3
C．x≠3
D．x=3
考点：分式有意义的条件．
分析：根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得x﹣3≠0，解可得答案．
解答： 解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故选：C．
点评：此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

2．分式与下列分式相等的是( )
A．
B．
C．
D．
考点：分式的基本性质．
分析：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变．据此作答．
解答： 解：原分式=﹣=．
故选B．
点评：要注意本题中分式的负号的位置不同时，其他系数的符号的变化．

3．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是( )
A．调查方式是普查
B．该校只有360个家长持反对态度
C．样本是360个家长
D．该校约有90%的家长持反对态度
考点：全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量．
分析：根据抽查与普查的定义以及用样本估计总体解答即可．
解答： 解：A．共2500个学生家长，从中随机调查400个家长，调查方式是抽样调查，故本项错误；
B．在调查的400个家长中，有360个家长持反对态度，该校只有2500×=2250个家长持反对态度，故本项错误；
C．样本是360个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本项错误；
D．该校约有90%的家长持反对态度，本项正确，
故选：D．
点评：本题考查了抽查与普查的定义以及用样本估计总体，这些是基础知识要熟练掌握．

4．正方形具有的性质中，菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线相等
B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分
D．对角线平分一组对角[来源:学。科。网Z。X。X。K]
考点：菱形的性质；正方形的性质．
分析：由正方形对角线平分相等且垂直的性质和菱形对角线平分垂直的性质，选择答案即可．
解答： 解：根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直和菱形对角线的性质：平分、垂直，故选A．
点评：考查了正方形对角线的性质和菱形对角线的性质．

5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为( )

A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
考点：正方形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质． [来源:学科网]
分析：根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
故选：C．
点评：本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．

6．如图，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O，以AB，AO为两邻边作平行四边形AOC1B，平行四边形AOC1B的对角线交BD于点O1，同样以AB，AO1为两邻边作平行四边形AO1C2B．…，依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为( )

A．cm2
B．cm2
C．cm2
D．cm2
考点：平行四边形的性质；矩形的性质．
专题：规律型．
分析：由矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O，以AB，AO为两邻边作平行四边形AOC1B，可求得平行四边形AOC1B的面积，继而求得平行四边形AO1C2B的面积，则可得到规律：S▱AOnCn+1B=（cm2），继而求得答案．
解答： 解：∵矩形ABCD的面积为10cm2，以AB，AO为两邻边作平行四边形AOC1B，
∴S▱AOC1B=S矩形ABCD=5（cm2），
同理可得：S▱AO1C2B=S▱AOC1B=（cm2），
S▱AO2C3B=S▱AO1C2B=（cm2），
依此类推，S▱AOnCn+1B=（cm2），
∴S▱AO4C5B==（cm2）．
故选C．
点评：此题考查了平行四边形的性质．注意根据题意得到规律：S▱AOnCn+1B=cm2是关键．

二、填空题（每题2分，共20分）
7．当x=﹣4时，分式的值为零．

考点：分式的值为零的条件．
分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答： 解：由分式的值为零的条件得|x|﹣4=0，x﹣4≠0，
由|x|﹣4=0，得|x|=4，则x=±4；
由x﹣4≠0，得x≠4，
综上，得x=﹣4时，分式的值为零．[来源:学。科。网]
故答案为：﹣4．
点评：考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

8．化简：=1．

考点：分式的加减法．
专题：计算题．
分析：先将第二项变形，使之分母与第一项分母相同，然后再进行计算．
解答： 解：原式=．故答案为1．
点评：本题考查了分式的加减运算，要注意将结果化为最简分式．

9．一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性小于摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．

考点：可能性的大小．
分析：先分别求出摸出各种颜色球的概率，再进行比较即可得出答案．
解答： 解：∵袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，共有4个球，
∴摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是=，
∴摸出白球可能性＜摸出黄球的可能性；
故答案为：小于．
点评：本题主要考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．

10．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证四边形EFGH是矩形．


考点：矩形的判定；三角形中位线定理．
专题：开放型．
分析：根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．
解答： 解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．

点评：本题主要考查三角形的中位线定理和矩形的四个角都是直角的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．

11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=20°．


考点：旋转的性质；矩形的性质．
分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
解答： 解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，
∴∠4=90°﹣70°=20°，
∴∠α=20°．
故答案为：20°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．

12．为了解某校九年级女生1分钟仰卧起坐的次数，从中随机抽查了50名女生参加测试，被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，并绘制成频数分布直方图（如图），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是0.62．
[来源:学|科|网Z|X|X|K]

考点：频数（率）分布直方图．
分析：根据被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，抽查了50名女生，求出次数不小于30次的人数，再根据直方图求出在40～45次之间的频数，然后根据频率公式：频率=频数÷总数，即可求解．
解答： 解：∵被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，抽查了50名女生，
∴次数不小于30次的人数是50×90%=45（人），
∴在40～45次之间的频数是：45﹣3﹣5﹣6=31，
∴仰卧起坐的次数在40～45的频率是=0.62；
故答案是：0.62．
点评：本题考查了频数分布直方图，关键是读懂统计图，从图中获得必要的信息，用到的知识点是频率公式：频率=频数÷总数．

13．新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x=3．

考点：解分式方程；一次函数的定义；正比例函数的定义．
专题：压轴题；新定义．
分析：首先根据题意可得y=x+m﹣2，再根据正比例函数的解析式为：y=kx（k≠0）可得m的值，把m的值代入关于x的方程，再解分式方程即可．
解答： 解：根据题意可得：y=x+m﹣2，
∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣2=0，
解得：m=2，
则关于x的方程变为+=1，
解得：x=3，
检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，
故x=3是原分式方程的解，
故答案为：x=3．
点评：此题主要考查了解分式方程，以及正比例函数，关键是求出m的值，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．

14．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则平行四边形ABCD的周长是20．


考点：平行四边形的性质．
分析：根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
解答： 解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC﹣BE=6﹣2=4，
∴CD=AB=4，
∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故答案为：20．
点评：本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．

15．若关于x的分式方程无解，则m的值是3．

考点：分式方程的解．
分析：先把分式方程化为整式方程得到x=m﹣2，由于关于x的分式方程无解，则最简公分母x﹣1=0，求得x=1，进而得到m=3．
解答： 解：去分母，得m﹣3=x﹣1，
x=m﹣2．
∵关于x的分式方程无解，
∴最简公分母x﹣1=0，
∴x=1，
当x=1时，得m=3，
即m的值为3．
故答案为3．
点评：本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解．当分式方程无解时可能存在两种情况：（1）原分式方程存在增根；（2）原分式方程去分母后，整式方程无解．本题中由于原分式方程去分母后，得到的整式方程为一元一次方程，必定有解，所以只有一种情况．[来源:学科网ZXXK]

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为正方形，则t的值为2．


考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
专题：动点型．
分析：根据正方形的判定定理得到BQ=BP时，四边形QPBP′为正方形进行解答即可．
解答： 解：由题意得，当△BPQ为等腰直角三角形时，四边形QPBP′为正方形，
则BQ=BP，即6﹣t=×t，
解得t=2．
故答案为：2．
点评：本题考查的是翻折变换的性质和正方形的判定，找出翻折变换中的对应线段、理解邻边相等的矩形是正方形是解题的关键．

三、计算与求解（每小题8分，共16分）
17．化简：
（1）（1+）÷．
（2）．

考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：（1）原式被除式中的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除式分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果；
（2）将原式括号中的后两项提取﹣1，然后利用乘法分配律将括号外边的乘到括号里边的各项，约分后合并即可得到结果．
解答： 解：（1）（1+）÷
=÷
=•
=x+1；
（2）﹣•（﹣x﹣y）
=﹣•[﹣（x+y）]
=﹣+1
=1．
点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

18．解分式方程：．

考点：解分式方程．
专题：计算题；压轴题．
分析：观察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以方程的最简公分母为：（x﹣2），去分母将分式方程化为整式方程后再求解，注意检验．
解答： 解：方程两边同乘（x﹣2），
得：1=﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2）
整理得：1=x﹣1﹣3x+6，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，
∴原分式方程无解．
点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根；
（3）分式方程去分母时不要漏乘．

19．先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0．

考点：分式的化简求值．
分析：原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=•﹣=•﹣=x﹣=，
∵x2﹣x﹣1=0，∴x2=x+1，
则原式=1．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

四、动手操作（共6分）[来源:学科网]
20．平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形．


考点：作图-旋转变换．
专题：作图题．
分析：（1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角；
（2）根据网格结构分别找出找出△A1AC1顺时针旋转90°、180°后的对应点的位置，然后顺次连接即可．
解答： 解：（1）旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90度；

（2）如图所示，△A1A2C2是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转90°的三角形，
△A2C3B是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转180°的三角形．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转中心与旋转角的确定，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

五、解决问题（每题6分，共30分）
21．为了解中考体育科目训练情况，改进训练方法，减轻学生负担，某县教育局从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是40；
（2）图中∠α的度数是54°，并把图2条形统计图补充完整；
（3）全县九年级共有学生8500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为1700．


考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得答案；
（2）根据圆周角乘以A及所占的比例，可得扇形的圆心角；根据抽测人数乘以C及所占的比例，可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案．
解答： 解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30%=40（人）；
（2）图中∠α的度数是360°×=54°，
C级的人数为40×35%=14人，
；
（3）8500×=1700（人），
故答案为：40，54°，1700．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．


考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）AP=AB，PB=PC，∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP，因此可证得两三角形全等．
（2）有（1）∠CAD=45°，△PAD为等边三角形，可求得∠BAP=30°∠PAC=∠PAD﹣∠CAD=15°，因此可证的结论．
解答： （1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．[来源:学。科。网]
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP﹣∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC﹣∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
点评：本题考查全等三角形的证明，要熟练掌握几种判定方法，根据条件选择合适的判定方法．本题是用角度证明2倍角关系，有时候也可用角平分线或等角转移来证明．

23．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为1元；
（2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？

考点：分式方程的应用．
分析：（1）根据题意可得该商品在甲商场的原价为1.15÷（1+15%），再进行计算即可；
（2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，即可列方程求解．
解答： 解：（1）根据题意得：
1.15÷（1+15%）=1（元），
答：该商品在甲商场的原价为1元；
故答案为：1．

（2）设该商品在乙商场的原价为x元，则
﹣=1，
解得x=1，
经检验：x=1是原方程的解，
则该商品在乙商场的原价是1元．
点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

24．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，求线段BF的长．


考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：根据将纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合得到AF=FC，根据勾股定理求出BF的长．
解答： 解：∵A与C点关于EF成轴对称
∴AF=FC，
设BF=x，则AF=FC=8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8﹣x）2，
解得x=3．
答：线段BF的长为3．
点评：本题考查的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，掌握翻折变换的性质、找出对应线段是解题的关键．

25．甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次．两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭．设前后两次的米价分别是每千克m元和n元（m＞0，n＞0，m≠n），请问谁的购买方式合算？

考点：分式的加减法．
专题：应用题．
分析：根据甲的消费额除以甲的购买数量，可得甲的单价，乙的消费额除以甲的购买数量，可得乙的单价，根据分式的减法，可得答案．
解答： 解：甲的平均单价：每千克=元，[来源:Zxxk.Com]
乙的平均单价：每千克=元，
﹣=．
∵m+n＞0m≠n，（m﹣n）2＞0，
∴＞0，
所以乙家庭合算．
点评：本题考查了分式的加减，利用消费额除以购买数量等于单价得出甲、乙的单价是解题关键．

六、探究与思考（26题6分，27题10分，共16分）
26．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．例如：如图，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．
（1）邻边长分别为2和3的平行四边形是 2阶准菱形吗？说明理由；
（2）操作、探究与计算：
①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．


考点：四边形综合题．
分析：（1）根据n阶准菱形的定义，当邻边分别为2和3时，可以先剪去一个边长为2的菱形，再剪去一个边长为1的菱形，最后剩下的是一个边长为1的菱形，可得出结论；
（2）①3阶准菱形，可知剪三次菱形，分三个都是相同的菱形，前两次相同，后三次相同和第二次和第三次相同这四种情况来讨论求解即可，
②可知a=31r，b=5r，所以a可以剪5次，b也可以前5次的，故可得出结论．
解答： 解：（1）是，理由如下：
∵邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
∴邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；
（2）①如图所示，a=4 或a=2.5 或a=或a=；

②10阶菱形，
∵a=6b+r，b=5r，
∴a=6×5r+r=31r，如图所示：

故□ABCD是10阶准菱形．
点评：本题主要考查对新概念的理解及菱形的判定，正确理解题目中所给出的n阶准菱形的概念是解题的关键．

27．已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．


考点：四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质．
专题：几何综合题．
分析：（1）①作PM⊥DG于M，根据等腰三角形的性质由PD=PG得MG=MD，根据矩形的判定易得四边形PCDM为矩形，则PC=MD，于是有DG=2PC；
②根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形；
（2）与（1）中②的证明方法一样可得到四边形PEFD为菱形．
解答： （1）证明：①作PM⊥DG于M，如图1，
∵PD=PG，
∴MG=MD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴PCDM为矩形，
∴PC=MD，
∴DG=2PC；
②∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵四边形ABPM为矩形，
∴AB=PM，
∴AD=PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠GDH+∠DGH=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG，
在△ADF和△MPG中
，
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF，
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形；

（2）解：四边形PEFD是菱形．理由如下：
作PM⊥DG于M，如图2，与（1）一样同理可证得△ADF≌△MPG，
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形．



点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．