2022-2023学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，已知，，那么要得到≌，还应给出的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 点在的平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 如图，在中，，，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边向右侧作等边，连接，则下列结论不一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D. 平分

6. 下列三角形中若，不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7. 等腰三角形的顶角是，则它的底角的度数为______度．
8. 角平分线上的点到______相等．
9. 如图，在中，，点为边的中点，，则______．
    
10. 如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为，，，已知，，则______．

11. 一个等腰三角形的两边长分别是和，它的周长是______．
12. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为__________．
                                    
13. 如图，中，，，平分，，如果，则的周长是______．

14. 已知一张三角形纸片如图甲，其中将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为如图乙再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为如图丙原三角形纸片中，的大小为______
     
15. 一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为，则这个等腰三角形的底角度数为______．
16. 已知，是边上的一个定点，且，、分别是边、上的动点，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，点、在上，，，，判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由．

18. 本小题分
    如图，在中，，是边上两点，，求证：．

19. 本小题分
    如图，在中，，，点为的中点，于点，求的长度；直接写出的长度．

20. 本小题分
    如图，在中，，是边的中点．．
    求证：是边的中点．

21. 本小题分
    如图，点是内部的一点，，过点作，，垂足分别为、，且．
    求证：；
    连接，证明．

22. 本小题分
    如图，为等边三角形，交于点，交于点．
    求证：是等边三角形．
    求证：．

23. 本小题分
    如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从到，为米，第二条路是从经过到达地，为米，为米，第三条路是从经过地到地共行走米，若、、刚好在一条直线上．
    求证：；
    求和的长．

24. 本小题分
    如图，已知是直线外一点，用两种不同的方法求作一点，使得点到点的距离和点到直线的距离相等．要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．
     
25. 本小题分
    问题提出
    学习了三角形全等的判定方法，我们继续对“两个等腰三角形满足一边和一边上的中线对应相等”的情形进行研究．
    初步思考
    我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，然后，对中线进行分类，可分为“底边上的中线、腰上的中线”两种情况进行探究．
    深入探究
    第一种情况：当、分别为边、上的中线时，
    
    如图，在和中，，，
    若，，求证：≌．
    若，，求证：≌．
    请在和中任选一个证明．
    第二种情况：当、分别为边、上的中线时，
    如图，在中，，，，用直尺和圆规画出．
    如图，在和中，，，，，
    求证：≌．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选C．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项不符合题意；
B、，不是对应边相等，故本选项不符合题意；
C、，不是对应边相等，故本选项不符合题意；
D、，
，
又，，
≌，故本选项符合题意；
故选：．
判定≌已经具备的条件是，，再加上其中一角的对边对应相等，就可以利用来判定三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定；判定三角形的全等首先要找出已经具备哪些已知条件，即相等的边或相等的角，根据三角形的判定方法判定缺少哪些条件．
 

3.【答案】 

【解析】解：点在的平分线上，点到边的距离等于，
点到的距离为，
点是边上的任意一点，
．
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为，再根据垂线段最短解答．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，能组成直角三角形，故此选项正确；
B、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、，不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且，，
≌，
，，
，，
，
故选项A，，都不符合题意，
，
，
，
，
故C选项不符合题意，
，动点在上移动，
当平分时，
则，则为的中点，
无法得出，
故选项D符合题意，
故选：．
由“”可证≌，可得，，可得，，可证，由可得出，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，证明≌是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：可解得两底角均为，可过点作其角平分线，从而便可得到两个等腰三角形；
可解得其两底角均为，不能被一条直线分成两个小等腰三角形；
可解得其两底角均为，做顶角的角平分线，即可将其分为两个小等腰三角形；
可解得其两底角均为，则可过顶点作一直线，使该直线将顶角分为一个和一个的角，从而便得到两个小等腰三角形；
所以只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选B．
结合已知条件及等腰三角形的性质，对各个图形进行分析，从而得到答案．
本题考查了等腰三角形的性质；理解如何把三角形分成两个小等腰三角形是解题的关键，解本题过程就是不断尝试的过程．
 

7.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的顶角为，
它的底角度数为．
故答案为．
根据等腰三角形两底角相等即可得解．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．
 

8.【答案】角的两边距离 

【解析】解：角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角的两边距离．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，点为边的中点，
，，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
；
故答案为：．
由勾股定理得出，得出，得出，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．分是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】
解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长，
综上所述，它的周长是．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：线段的垂直平分线交于点，
，
的周长，
，又，
，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，，
由勾股定理得：，，
，
，
，
，
的周长




，
故答案为：．
根据角平分线性质得出，根据勾股定理求出，求出，求出的周长，再求出答案即可．
本题考查了角平分线性质和勾股定理，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
设，根据翻折不变性以及三角形外角性质可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
【解答】
解：设，根据翻折不变性以及三角形外角性质可知，，
，
，
，
，
，
．
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】解：如图，等腰三角形为锐角三角形，
，，
，
．

如图，等腰三角形为钝角三角形，
，，
，
，
．

综上，这个等腰三角形的一个底角的度数是或．
故答案为：或．
根据已知条件可分为等腰三角形的顶角为锐角和钝角两种情况进行解答：
  如图，等腰三角形为锐角三角形，易得，结合三角形内角和定理和可求得顶角的度数，进而可求得底角的度数；

  如图，等腰三角形为钝角三角形，结合三角形内角和定理可求出，进而可求得顶角的度数，至此求得底角的度数．

本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的画出图形，认真的进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作关于的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，连接，

则，，，，
，
，
故答案为：．
作关于的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，连接，得出，，，，根据含度角的直角三角形性质求出即可．
本题考查了含度角的直角三角形性质，轴对称最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定、的位置．
 

17.【答案】解：，，
理由：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
． 

【解析】由，得，由，得，可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，，则．
此题重点考查等式的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由，得，由，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得．
此题重点考查等腰三角形的性质、等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，点为的中点，
，，
，
，
，
；
，
，
，
故C的长度为． 

【解析】根据等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积公式即可得到结论；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的公司，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
是边的中点，
是的中位线，
是边的中点． 

【解析】证是的中位线，即可得出结论．
本题考查了三角形中位线定理以及平行线的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
证明：连接，
，，，
点在的平分线上，
是的平分线，
，
． 

【解析】由，得，由，，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，再证明，所以；
连接，由，，，证明是的平分线，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】证明：为等边三角形，
．
，
，．
是等边三角形．
为等边三角形，
．
平分，
．
是等边三角形，
．
． 

【解析】根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．
根据等边三角形的性质解答即可．
此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．
 

23.【答案】证明：米，米，米，
，
是直角三角形，；
解：设米，则米，
米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
则，
答：的长为米，的长为米． 

【解析】由勾股定理的逆定理即可得出结论；
设米，则米，米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】方法一：过点作直线于点，再作的垂直平分线，垂足为点；
方法二：在直线上任意取点，过点作的垂线，然后作的垂直平分线交于．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离．
 

25.【答案】解：若，，求证：≌．
证明：如图，、分别为边、上的中线
，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌．
注：答案不唯一，
若，，求证：≌．
证明：如图，、分别为边、上的中线
，，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌．
如图，作法：作线段的垂直平分线交线段于点，得到线段的中点，
作线段，
分别以点、点为圆心，以、为半径作弧，两弧交于点，
作射线，并在射线上截取，
连接、，
就是所求的三角形．
如图，作于点，于点，则，
设，则，
，
，
，
，
同理，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】由，，得，可证明≌，得，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
由，，、分别为边、上的中线，得，可证明≌，得，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
先以线段、、为边作，再将延长到点，使，连接，即得到所求；
作于点，于点，设，则，根据勾股定理推导出，同理，由，，得，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理的应用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．