北京市北师大实验二龙路中学八年级（下）期中数学试卷解析

这是一份北京市北师大实验二龙路中学八年级（下）期中数学试卷解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市北师大实验二龙路中学八年级（下）期中数学试卷
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
　 A． 2，4，5 B． 6，8，11 C． 5，12，12 D． 1，1，
　
2．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B=65°，则∠DAE等于（　　）

　 A． 15° B． 25° C． 35° D． 65°
　
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（　　）
　 A． （x+1）2=6 B． （x+2）2=9 C． （x﹣1）2=6 D． （x﹣2）2=9
　
4．平行四边形的一边长是5cm，则这个平行四边形的两条对角线的长可以是（　　）
　 A． 2cm和3cm B． 3cm和4cm C． 4cm和5cm D． 5cm和6cm
　
5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　）
　 A． ∠ABC=90° B． AC⊥BD C． AB=CD D． AB∥CD
　
6．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（　　）

　 A． 8 B． 10 C． 12 D． 16
　
7．若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（　　）
　 A． 3 B． C． 3或 D． 不确定
　
8．一元二次方程x2+3=2x的根的情况是（　　）
　 A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的有理根
　 C． 有两个相等的无理根 D． 没有实数根
　
9．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（　　）
　 A． a＞﹣ B． a≥﹣ C． a≥﹣且a≠0 D． a＞且a≠0
　
10．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
　 A． 144（1﹣x）2=100 B． 100（1﹣x）2=144 C． 144（1+x）2=100 D． 100（1+x）2=144
　
　
二、填空题（本题共18分，每小题2分）
11．如图所示，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形S1=9，S2=16，S3=144，则S4=　　　　　　．

　
12．方程x2=2x的根为　　　　　　．
　
13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD=120°，BD=8，则AB的长为　　　　　　．

　
14．菱形的两条对角线长分别为12cm、16cm，则这个菱形的面积为　　　　　　cm2．
　
15．关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m=　　　　　　．
　
16．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则m=　　　　　　．
　
17．如图，一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行　　　　　　cm．

　
18．如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为　　　　　　．

　
19．直角三角形的周长为2+，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形的面积为　　　　　　．
　
　
三、解答题（本题共28分，第20题各4分，第21至24题各5分）
20．解方程：
（1）2y2﹣4y﹣3=0
（2）x（x+3）﹣（2x+6）=0．
　
21．已知：如图，矩形ABCD中，E、F是AB上的两点，且AF=BE．求证：∠ADE=∠BCF．

　
22．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

　
23．已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，求证：四边形AFCE是菱形．

　
24．如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC上的点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm．求EC的长．

　
　
四、解答题（本题共24分，每小题各8分）
25．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
　
26．已知：正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，BF=2AF．画出∠EDF，猜想∠EDF的度数并写出计算过程．
解：∠EDF的度数为　　　　　　．
计算过程如下：

　
27．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
　
　

2017-2018学年北京市北师大实验二龙路中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
　 A． 2，4，5 B． 6，8，11 C． 5，12，12 D． 1，1，

考点： 勾股数．
分析： 根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
解答： 解：A、∵22+42=20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82=100≠112，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵52+122=169≠122，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵12+12=2=（）2，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
　
2．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B=65°，则∠DAE等于（　　）

　 A． 15° B． 25° C． 35° D． 65°

考点： 平行四边形的性质．
分析： 由在▱ABCD中，∠B=65°，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠D的度数，继而求得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=65°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE=90°﹣∠D=25°．
故选：B．
点评： 此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（　　）
　 A． （x+1）2=6 B． （x+2）2=9 C． （x﹣1）2=6 D． （x﹣2）2=9

考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 方程思想．
分析： 配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答： 解：由原方程移项，得
x2﹣2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1=6
∴（x﹣1）2=6．
故选：C．
点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
　
4．平行四边形的一边长是5cm，则这个平行四边形的两条对角线的长可以是（　　）
　 A． 2cm和3cm B． 3cm和4cm C． 4cm和5cm D． 5cm和6cm

考点： 平行四边形的性质；三角形三边关系．
分析： 根据平行四边形的性质得出AC=2AO，BD=2BO，根据三角形三边关系定理得出AO+BO＞5cm，BO﹣AO＜5cm（BO＞AO），看看各个选项是否符合即可．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2BO，
∵在△AOB中，根据三角形的三边关系定理得：AO+BO＞AB，
即AO+BO＞5cm，BO﹣AO＜5cm，
A、AO=1cm，BO=1.5cm，不符合AO+BO＞5cm，即不符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
B、AO=1.5cm，BO=2cm，不符合AO+BO＞5cm，即不符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
C、AO=2cm，BO=2.5cm，不符合AO+BO＞5cm，即不符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
D、AO=2.5cm，BO=3cm，符合AO+BO＞5cm，且3cm﹣2.5cm＜5cm，即不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系定理，注意：平行四边形的对角线互相平分，三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
　
5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　）
　 A． ∠ABC=90° B． AC⊥BD C． AB=CD D． AB∥CD

考点： 菱形的判定．
分析： 由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．
解答： 解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故选：B．
点评： 此题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定．此题比较简单，注意掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形定理的应用．
　
6．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（　　）

　 A． 8 B． 10 C． 12 D． 16

考点： 三角形中位线定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据三角形的中位线定理，判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质求出ADEF的周长即可．
解答： 解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE∥AC，EF∥AB，
DE=AC=5，EF=AB=3，
∴四边形ADEF平行四边形，
∴AD=EF，DE=AF，
∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16，
故选：D．
点评： 本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．
　
7．若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（　　）
　 A． 3 B． C． 3或 D． 不确定

考点： 勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角边或5是斜边两种情况进行讨论．
解答： 解：当5是直角边时，则第三边==；
当5是斜边时，则第三边==3．
综上所述，第三边的长是或3．
故选C．
点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
　
8．一元二次方程x2+3=2x的根的情况是（　　）
　 A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的有理根
　 C． 有两个相等的无理根 D． 没有实数根

考点： 根的判别式．
分析： 先把此题化为一元二次方程的一般形式，再求出△的值，再由根与系数的关系即可得出结论．
解答： 解：原方程可化为x2﹣2x+3=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=0，
∴此方程有两个相等的实数根．
∵x1+x2=2，
∴此方程的实数根是，即方程有两个相等的无理根．
故选C．
点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△=0时，方程有两个相等的两个实数根是解答此题的关键．
　
9．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（　　）
　 A． a＞﹣ B． a≥﹣ C． a≥﹣且a≠0 D． a＞且a≠0

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： 在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有实数根的情况下必须满足△=b2﹣4ac≥0．
解答： 解：依题意列方程组
，
解得a≥﹣且a≠0．故选C．
点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
　
10．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
　 A． 144（1﹣x）2=100 B． 100（1﹣x）2=144 C． 144（1+x）2=100 D． 100（1+x）2=144

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解答： 解：2012年的产量为100（1+x），
2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2=144，
故选：D．
点评： 考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．
　
二、填空题（本题共18分，每小题2分）
11．如图所示，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形S1=9，S2=16，S3=144，则S4=　169　．


考点： 勾股定理．
分析： 本题对图形进行分析，可结合正方形的基本性质以及勾股定理进行解题．
解答： 解：∵s1=9，S2=16，s3=144，
∴所对应各边为：3，4，12．
进而可求得中间未命名的正方形边长为5．
则在最大的直角三角形中，=13，
故S4=1132=169．
故答案为：169．
点评： 本题考查了勾股定理及正方形的面积公式，难度适中，解答本题的关键是分析好图形即可．
　
12．方程x2=2x的根为　x1=0，x2=2　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
分析： 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答： 解：x2=2x，
x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，或x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
　
13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD=120°，BD=8，则AB的长为　4　．


考点： 矩形的性质．
分析： 根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值．
解答： 解：∵ABCD是矩形，
∴OA=OB．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°．
∴△AOB为等边三角形．
∵BD=8，
∴AB=BO=4．
故答案为4．
点评： 本题考查矩形对角线相等平分的性质以及等边三角形的运用．
　
14．菱形的两条对角线长分别为12cm、16cm，则这个菱形的面积为　96　cm2．

考点： 菱形的性质．
分析： 根据菱形的面积等于对角线积的一半，计算即可．
解答： 解：如图，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=16cm，BD=12cm，
根据菱形的面积等于对角线积的一半，
S菱形ABCD=AC•BD=96cm2．
故答案为96．

点评： 此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边都相等．解题的关键注意菱形面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半．
　
15．关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m=　1　．

考点： 一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
专题： 计算题．
分析： 由方程有一个解为0，故将x=0代入方程得到关于m的一元二次方程，求出方程的解得到m的值，再由方程为关于x的一元二次方程，得到二次项系数m+3不为0，即m不为﹣3，即可得到满足题意的m的值．
解答： 解：∵方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，
∴将x=0代入方程得：m2+2m﹣3=0，
即（m﹣1）（m+3）=0，
解得：m1=1，m2=﹣3，
又原方程为关于x的一元二次方程，m+3≠0，即m≠﹣3，
则m=1．
故答案为：1
点评： 此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，其中方程的解为能使方程左右两边相等的未知数的值；把形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程称为一元二次方程．
　
16．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则m=　＜﹣1　．

考点： 根的判别式．
分析： 先根据关于x的方程x2﹣2x﹣m=0无实数根得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解答： 解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，
∴△=4+4m＜0，
解得m＜﹣1．
故答案为：＜﹣1．
点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＜0时，方程没有实数根是解答此题的关键．
　
17．如图，一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行　5　cm．


考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答： 解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：
∵底面⊙O的周长为6cm，
∴AC=3cm，
∵高BC=4cm，
∴AB==5cm．
故答案为：5．

点评： 此题考查了圆柱的平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将圆柱展成矩形，求对角线的长即为最短路径
　
18．如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为　（2，1）　．


考点： 菱形的性质；坐标与图形性质．
分析： 连接AB，交OC于D，根据菱形的对角线互相垂直平分求出OD=OC，AB⊥OC，再根据菱形的每一条边都相等求出OA，然后利用勾股定理列式求出AD的长，再根据点A在第一象限解答．
解答： 解：如图，连接AB，交OC于D，
∵点C（4，0），
∴OC=4，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OD=OC=×4=2，AB⊥OC，
∵OB=，
∴OA=OB=，
在Rt△AOD中，AD===1，
∴点A的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．

点评： 本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
　
19．直角三角形的周长为2+，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形的面积为　　．

考点： 直角三角形的性质；勾股定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 如果设两直角边为a，b，那么根据题意可知a+b=，a2+b2=4，可求得ab的值，从而求得直角三角形的面积．
解答： 解：∵斜边上的中线长为1，
∴斜边长为2，
设两直角边为a，b，
根据题意得a+b=2+﹣2=，a2+b2=4，
∴ab=[（a+b）2﹣a2﹣b2]=1，
因此这个直角三角形的面积为ab=．
故答案为：．
点评： 本题要注意勾股定理和直角三角形斜边上的中线等知识点的运用．灵活的运用线段之间的数量关系求得三角形的面积是解题的关键．
　
三、解答题（本题共28分，第20题各4分，第21至24题各5分）
20．解方程：
（1）2y2﹣4y﹣3=0
（2）x（x+3）﹣（2x+6）=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： （1）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程；
（2）先变形得到x（x+3）﹣2（x+3）=0，然后利用因式分解法解方程．
解答： 解：（1）△=（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）=40，
y==，
所以y1=，y2=；
（2）x（x+3）﹣2（x+3）=0，
（x+3）（x﹣2）=0，
x+3=0或x﹣2=0，
所以x1=﹣3，x2=2．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
　
21．已知：如图，矩形ABCD中，E、F是AB上的两点，且AF=BE．求证：∠ADE=∠BCF．


考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据矩形的性质可知AD=BC，∠A=∠B=90°．又AF=BE可证AE=BF，SAS可先得出△ADE﹣≌△BCF，再根据全等三角形的性质得出结论．
解答： 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠A=∠B=90°．
∵AF=BE，
∴AF﹣EF=BE﹣EF．即AE=BF．（2分）
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE﹣≌△BCF．（4分）
∴∠ADE=∠BCF．（5分）
点评： 本题重点考查了矩形的性质及三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
　
22．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．


考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．
解答： 证明：连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．

点评： 本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．
　
23．已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，求证：四边形AFCE是菱形．


考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： 由平行四边形的性质得出∠EAO=∠FCO，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，由ASA证明△AOE≌△COF，得出对应边相等OE=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论．
解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
24．如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC上的点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm．求EC的长．


考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 想求得EC长，利用勾股定理计算，需求得FC长，那么就需求出BF的长，利用勾股定理即可求得BF长．
解答： 解：设EC的长为xcm，
∴DE=（8﹣x）cm．
∵△ADE折叠后的图形是△AFE，
∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．
∵AD=BC=10cm，
∴AF=AD=10cm．
又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2
∴82+BF2=102
∴BF=6cm．
∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2
∴42+x2=（8﹣x）2（8分）即16+x2=64﹣16x+x2，
化简，得16x=48．
∴x=3．
故EC的长为3cm．
点评： 本题考查了翻折变换，解决本题的关键是需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段．
　
四、解答题（本题共24分，每小题各8分）
25．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．

考点： 根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析： （1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答；
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
解答： 解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得a=；
方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，
设另一根为x1，则
1•x1=﹣，
解得x1=﹣．
点评： 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
　
26．已知：正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，BF=2AF．画出∠EDF，猜想∠EDF的度数并写出计算过程．
解：∠EDF的度数为　45°　．
计算过程如下：


考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： 根据题意画出图形，进一步作出辅助线，利用三角形全等，勾股定理，以及正方形的性质解决问题即可．
方法一：连接EF，作FG⊥DE于点G，利用勾股定理得出Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG2=DF2﹣DG2=EF2﹣EG2，求得DG=DF，得出结论；
方法二：延长BC到点H，使CH=AF，连接DH，EF，证得△ADF≌△CDH和△DEF≌△DEH得出结论．
解答： 解：所画∠EDF如图所示，
∠EDF的度数为45．


解法一：如图，

连接EF，作FG⊥DE于点G．
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠C=90°．
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC=3．
∵点F在AB边上，BF=2AF，
∴AF=2，BF=4．
在Rt△ADF中，∠A=90°，
DF2=AD2+AF2=62+22=40．
在Rt△BEF，Rt△CDE中，
同理有EF2=BE2+BF2=32+42=25，DE2=CD2+CE2=62+32=45．
在Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG2=DF2﹣DG2=EF2﹣EG2．
设DG=x，则40﹣x2=25﹣（3﹣x）2．
整理，得
6x=60．
解得 x=2，即DG=2．
∴FG=．
∴DG=FG．
∵∠DGF=90°，
∴∠EDF==45°．
解法二：如图，

延长BC到点H，使CH=AF，连接DH，EF．
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠ADC=∠DCE=90°．
∴∠DCH=180°﹣∠DCE=90°，∠A=∠DCH．
在△ADF和△CDH中，
，
∴△ADF≌△CDH（SAS）
∴DF=DH，∠1=∠2．
∴∠FDH=∠FDC+∠2=∠FDC+∠1=∠ADC=90°．
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC=3．
∵点F在AB边上，BF=2AF，
∴CH=AF=2，BF=4．
∴EH=CE+CH=5．
在Rt△BEF中，∠B=90°，EF=．
∴EF=EH．
又∵DE=DE，
在△DEF和△DEH中，
，
∴△DEF≌△DEH（SSS）
∴∠EDF=∠EDH==45°．
故答案是：45°．
点评： 此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了转化的数学思想方法．
　
27．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 代数几何综合题．
分析： （1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
解答： 解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．