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2021年湖南省衡阳市中考数学仿真试卷 word版，解析版
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这是一份2021年湖南省衡阳市中考数学仿真试卷 word版，解析版，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省衡阳市中考数学仿真试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题各3分，满分36分）
1．（3分）6的相反数是（ ）
A．6 B． C．﹣6 D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
3．（3分）“拒绝浪费，从你我做起”，一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3520万斤粮食．将3520万用科学记数法表示为（ ）
A．0.352×108 B．35.2×106 C．3.52×107 D．352×108
4．（3分）下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上的艺术享受，下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≤1 C．x≠0 D．x≤1且x≠0
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列选项不能得到四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AC＝BD，OA＝OC B．OB＝OD，OA＝OC
C．AD＝BC，AD∥BC D．△ABC≌△CDA
8．（3分）下图中各图形经过折叠后可以围成一个棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若反比例函数y＝（2m﹣1）的图象在第一、三象限，则m的值是（ ）
A．﹣1或1 B．小于的任意实数
C．1 D．不能确定
11．（3分）如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），对角线AC⊥x轴，点A在第二象限，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点A落在MN上时，则m为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题各3分，满分18分）
13．（3分）分解因式：6m﹣3m2＝ ．
14．（3分）化简：（+）•＝ ．
15．（3分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于 度．
16．（3分）如图，把一块三角板的直角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，则∠2＝ ．
17．（3分）动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，则鸵鸟有 只，长颈鹿有 只．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2018次，点B的落点依次为B1，B2，B3，B4，…，则B2018的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．
20．（8分）有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机抽取1张，将卡片的数字记为n．
（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．
（2）求选出的（m，n）在一、三象限的概率．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠ADC的度数．
22．（8分）手机是现代入生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．
组别
手机品牌
频数（人数）
A
OPPO
80
B
VIVO
m
C
小米
100
D
华为
120
E
其他
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，扇形统计图中E组所占的百分比为 ；
（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是 ．
23．（8分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为点B．AC经过圆心并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝9，求⊙O的半径．
24．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
25．（8分）已知，抛物线y＝ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sinB＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求点A到边BC的距离．
（2）当点G在边AC上时，求t的值．
（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）连接EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．
2021年湖南省衡阳市中考数学仿真试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12小题，每小题各3分，满分36分）
1．（3分）6的相反数是（ ）
A．6 B． C．﹣6 D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：6的相反数是：﹣6．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：m+2m＝3m，因此选项A不符合题意；
2m3•3m2＝6m5，因此选项B不符合题意；
（2m）3＝23•m3＝8m3，因此选项C符合题意；
m6÷m2＝m6﹣2＝m4，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）“拒绝浪费，从你我做起”，一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3520万斤粮食．将3520万用科学记数法表示为（ ）
A．0.352×108 B．35.2×106 C．3.52×107 D．352×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：3520万＝35200000＝3.52×107，
故选：C．
4．（3分）下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可．
【解答】解：A、∵（﹣2）3＝﹣8，∴＝﹣2，故本选项正确；
B、∵0.62＝0.36，∴﹣＝﹣0.6，故本选项错误；
C、∵（﹣2）2＝4，∴＝2，故本选项错误；
D、∵62＝36，∴＝6，故本选项错误．
故选：A．
5．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上的艺术享受，下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≤1 C．x≠0 D．x≤1且x≠0
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
1﹣x≥0且x≠0，
解得x≤1且x≠0，
故选：D．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列选项不能得到四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AC＝BD，OA＝OC B．OB＝OD，OA＝OC
C．AD＝BC，AD∥BC D．△ABC≌△CDA
【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：A、AC＝BD，OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
B、OB＝OD，OA＝OC可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、AD＝BC，AD∥BC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、△ABC≌△CDA可得AB＝CD，AD＝BC，可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
8．（3分）下图中各图形经过折叠后可以围成一个棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：选项A缺少两个底面，不能围成棱柱；选项C中折叠后没有上底面，不能折成棱柱，选项D不能组成棱柱，是因为上下两底面四个边的长不能与侧面的边等长、重合．，只有B能围成三棱柱．
故选：B．
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得，x＜2，
由②得，x≥﹣1，
故原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
在数轴上表示为：
故选：B．
10．（3分）若反比例函数y＝（2m﹣1）的图象在第一、三象限，则m的值是（ ）
A．﹣1或1 B．小于的任意实数
C．1 D．不能确定
【分析】根据反比例函数的定义可得m2﹣2＝﹣1，根据函数在一，三象限可以得到比例系数2m﹣1大于0，即可求得m的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝1．
故选：C．
11．（3分）如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由长方形的面积公式可得答案．
【解答】解：设榣栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，
根据题意可得，•x•（55﹣x）＝375，
故选：A．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），对角线AC⊥x轴，点A在第二象限，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点A落在MN上时，则m为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），
∴点A的坐标为（﹣1，4），
当y＝4时，﹣x+5＝4，
解得x＝2，
∴点A向右移动2+1＝3时，点A在MN上，
∴m的值为3，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题各3分，满分18分）
13．（3分）分解因式：6m﹣3m2＝ 3m（2﹣m） ．
【分析】运用提取公因式法，确定公因式为3m，然后分解因式即可得到答案．
【解答】解：6m﹣3m2＝3m（2﹣m）．
故答案为：3m（2﹣m）．
14．（3分）化简：（+）•＝ 1 ．
【分析】首先计算括号内的加法，然后计算乘法即可化简．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝1．
故答案为1．
15．（3分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于 60 度．
【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为360°、且每个外角相等求解可得．
【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6．
则正多边形的一个外角＝＝＝60°，
故答案为：60．
16．（3分）如图，把一块三角板的直角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，则∠2＝ 42° ．
【分析】由题意得a∥b，∠4＝90°，根据平行线的性质得出∠3的度数，进而可得∠2的度数．
【解答】解：由题意得a∥b，∠4＝90°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝48°，
∵∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣48°＝42°，
故答案为：42°．
17．（3分）动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，则鸵鸟有 8 只，长颈鹿有 7 只．
【分析】首先设鸵鸟有x只，长颈鹿有y只，由题意得等量关系：x只鸵鸟的眼睛数+y只长颈鹿的眼睛数＝30只，x只鸵鸟的脚数+y只长颈鹿的脚数＝44，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设鸵鸟有x只，长颈鹿有y只，由题意得：
，
解得，
故答案为：8；7
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2018次，点B的落点依次为B1，B2，B3，B4，…，则B2018的坐标为 （1346，0） ．
【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2018＝336×6+2，因此点B2向右平移1344（即336×4）即可到达点B2018，根据点B2的坐标就可求出点B2018的坐标．
【解答】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB．
∴AC＝OA．
∵OA＝1，
∴AC＝1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2018＝336×6+2，
∴点B2向右平移1344（即336×4）到点B2018．
∵B2的坐标为（2，0），
∴B2018的坐标为（2+1344，0），
∴B2018的坐标为（1346，0）．
故答案为：（1346，0）；
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．
【分析】根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算即可．
【解答】解：原式＝a2﹣b2﹣a2﹣ab
＝﹣b2﹣ab．
20．（8分）有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机抽取1张，将卡片的数字记为n．
（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．
（2）求选出的（m，n）在一、三象限的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数；
（2）找出点（m，n）在一、三象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
（2）点（m，n）在一、三象限的结果数为4，
所以选出的（m，n）在一、三象限的概率＝＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠ADC的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACB，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，
∴∠ACD＝∠BCD＝31°，
∴∠ACB＝62°，
∵在△ABC中，∠A＝72°，∠ACB＝62°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣72°﹣62°＝46°；
（2）在△BCD中，由三角形的外角性质得，∠ADC＝∠B+∠BCD＝46°+31°＝77°．
22．（8分）手机是现代入生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．
组别
手机品牌
频数（人数）
A
OPPO
80
B
VIVO
m
C
小米
100
D
华为
120
E
其他
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 40 ，扇形统计图中E组所占的百分比为 15% ；
（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是 ．
【分析】（1）从两个统计图中可知“A组”的频数为80，占调查总数的20%，可求出调查人数，进而求出“B组”的频数和“E组”所占的百分比；
（2）样本中，“使用华为手机”的人数占调查人数的，因此估计总体3万户的30%是使用“华为手机”的人数；
（3）样本中，共调查400户，其中使用“华为手机”的有100户，因此使用“华为手机”的频率为，即为，频率估计概率即可．
【解答】解：（1）80÷20%＝400（人），400×10%＝40（人），60÷400＝15%，
故答案为：40；15%；
（2）30×＝30×30%＝9（万人）
答：其中使用华为手机的用户数量为9万人；
（3）＝，
故答案为：．
23．（8分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为点B．AC经过圆心并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝9，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OB，如图，根据切线的性质得OB⊥AE，再证明OB∥CE得到∠OBC＝∠ECB，然后证明∠OCB＝∠ECB即可；
（2）连接BD，如图，利用勾股定理计算出CB＝3，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，再证明△CBD∽△CEB，然后利用相似比求出CD，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AE，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠OBC＝∠ECB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠ECB，
∴CB平分∠ACE；
（2）解：连接BD，如图，
在Rt△CBE中，CB＝＝3，
∵CD为直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠DCB＝∠ECB，
∴△CBD∽△CEB，
∴CD：CB＝CB：CE，即CD：3＝3：9，解得CD＝10，
∴⊙O的半径为5．
24．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【分析】过点D作DH⊥AC于H，由锐角三角函数的定义求出DH、CH的长，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图②中，过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△ADH中，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，
∴AH＝AD•cos53°≈25×＝15（m），DH＝AD•sin53°≈25×＝20（m），
∵AC＝20m，
∴CH＝AC﹣AH＝5（m），
∴CD＝＝＝5（m）．
25．（8分）已知，抛物线y＝ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
【分析】（1）根据点B的坐标及OC＝3OB可得出点C的坐标，再根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，进而即可得出线段AC所在直线的解析式，由点D的横坐标可找出点D、E的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出S与m的函数关系式，利用配方法可找出S的最大值．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC＝3OB，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3），
将点B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y＝ax2+2ax+c，
或 ，
解得：或 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3或y＝x2+2x﹣3．
（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，如图所示．
∵a＞1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y＝﹣x﹣3．
∵点D的横坐标为m，
∴点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），点E的坐标为（m，﹣m﹣3），
∴DE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴S＝DE×|﹣3﹣0|＝﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）．
∵﹣＜0，且S＝﹣（m2+3m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S取最大值，最大值为．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sinB＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求点A到边BC的距离．
（2）当点G在边AC上时，求t的值．
（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）连接EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．
【分析】（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，解直角三角形即可；
（2）如图2，在Rt△BDP中，用含t的式子分别表示出BD、PD、DE、DG和CD，根据题意得关于t的方程，解得t即可；
（3）分三种情况：①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，分别根据重叠部分的图形形状，计算出S与t之间的函数关系式即可；
（4）分三种情况：①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，此时DC＝DO，②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，分别列出关于t的方程得出t的值即可．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝15，
∴sinB＝＝，
∴AH＝AB＝×15＝12．
（2）如图2，在Rt△BDP中，∠BPD＝90°，BP＝3t，
∴sinB＝＝，
∴cosB＝＝，
∴BD＝5t，PD＝4t，
∴DE＝DG＝2t，CD＝15﹣5t．
∴15﹣5t＝2t，
∴t＝．
（3）①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，
∴S＝（2t）2＝4t2；
②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，
由（1）可知，BH＝9，则CH＝6，
∵DG∥AB，
∴∠GNG＝∠A＝∠C，
又∵∠AHC＝∠G＝90°，
∴△ACH∽△MNG，
∴MG：NG＝AH：CH＝2：1，
∴MG＝2NG，
∴S＝S正方形DEFG﹣S△MGN＝4t2﹣×2[2t﹣（15﹣5t）]2＝﹣45t2+210t﹣225；
③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，
∴S＝×2t（15﹣4t+15﹣5t）＝﹣9t2+30t．
（4）①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵DG∥AB，
∴∠COD＝∠A
∴∠C＝∠COD，
∴DC＝DO，
∴15﹣5t＝t，
解得t＝；
②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，
∴15﹣×5t＝t+t，
解得t＝；
③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，
∴15﹣×5t＝t，
解得t＝．
2021年湖南省衡阳市中考数学仿真试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题各3分，满分36分）
1．（3分）6的相反数是（ ）
A．6 B． C．﹣6 D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
3．（3分）“拒绝浪费，从你我做起”，一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3520万斤粮食．将3520万用科学记数法表示为（ ）
A．0.352×108 B．35.2×106 C．3.52×107 D．352×108
4．（3分）下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上的艺术享受，下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≤1 C．x≠0 D．x≤1且x≠0
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列选项不能得到四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AC＝BD，OA＝OC B．OB＝OD，OA＝OC
C．AD＝BC，AD∥BC D．△ABC≌△CDA
8．（3分）下图中各图形经过折叠后可以围成一个棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若反比例函数y＝（2m﹣1）的图象在第一、三象限，则m的值是（ ）
A．﹣1或1 B．小于的任意实数
C．1 D．不能确定
11．（3分）如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），对角线AC⊥x轴，点A在第二象限，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点A落在MN上时，则m为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题各3分，满分18分）
13．（3分）分解因式：6m﹣3m2＝ ．
14．（3分）化简：（+）•＝ ．
15．（3分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于 度．
16．（3分）如图，把一块三角板的直角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，则∠2＝ ．
17．（3分）动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，则鸵鸟有 只，长颈鹿有 只．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2018次，点B的落点依次为B1，B2，B3，B4，…，则B2018的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．
20．（8分）有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机抽取1张，将卡片的数字记为n．
（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．
（2）求选出的（m，n）在一、三象限的概率．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠ADC的度数．
22．（8分）手机是现代入生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．
组别
手机品牌
频数（人数）
A
OPPO
80
B
VIVO
m
C
小米
100
D
华为
120
E
其他
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，扇形统计图中E组所占的百分比为 ；
（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是 ．
23．（8分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为点B．AC经过圆心并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝9，求⊙O的半径．
24．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
25．（8分）已知，抛物线y＝ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sinB＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求点A到边BC的距离．
（2）当点G在边AC上时，求t的值．
（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）连接EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．
2021年湖南省衡阳市中考数学仿真试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12小题，每小题各3分，满分36分）
1．（3分）6的相反数是（ ）
A．6 B． C．﹣6 D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：6的相反数是：﹣6．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：m+2m＝3m，因此选项A不符合题意；
2m3•3m2＝6m5，因此选项B不符合题意；
（2m）3＝23•m3＝8m3，因此选项C符合题意；
m6÷m2＝m6﹣2＝m4，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）“拒绝浪费，从你我做起”，一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3520万斤粮食．将3520万用科学记数法表示为（ ）
A．0.352×108 B．35.2×106 C．3.52×107 D．352×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：3520万＝35200000＝3.52×107，
故选：C．
4．（3分）下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可．
【解答】解：A、∵（﹣2）3＝﹣8，∴＝﹣2，故本选项正确；
B、∵0.62＝0.36，∴﹣＝﹣0.6，故本选项错误；
C、∵（﹣2）2＝4，∴＝2，故本选项错误；
D、∵62＝36，∴＝6，故本选项错误．
故选：A．
5．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上的艺术享受，下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≤1 C．x≠0 D．x≤1且x≠0
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
1﹣x≥0且x≠0，
解得x≤1且x≠0，
故选：D．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列选项不能得到四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AC＝BD，OA＝OC B．OB＝OD，OA＝OC
C．AD＝BC，AD∥BC D．△ABC≌△CDA
【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：A、AC＝BD，OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
B、OB＝OD，OA＝OC可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、AD＝BC，AD∥BC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、△ABC≌△CDA可得AB＝CD，AD＝BC，可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
8．（3分）下图中各图形经过折叠后可以围成一个棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：选项A缺少两个底面，不能围成棱柱；选项C中折叠后没有上底面，不能折成棱柱，选项D不能组成棱柱，是因为上下两底面四个边的长不能与侧面的边等长、重合．，只有B能围成三棱柱．
故选：B．
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得，x＜2，
由②得，x≥﹣1，
故原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
在数轴上表示为：
故选：B．
10．（3分）若反比例函数y＝（2m﹣1）的图象在第一、三象限，则m的值是（ ）
A．﹣1或1 B．小于的任意实数
C．1 D．不能确定
【分析】根据反比例函数的定义可得m2﹣2＝﹣1，根据函数在一，三象限可以得到比例系数2m﹣1大于0，即可求得m的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝1．
故选：C．
11．（3分）如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由长方形的面积公式可得答案．
【解答】解：设榣栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，
根据题意可得，•x•（55﹣x）＝375，
故选：A．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），对角线AC⊥x轴，点A在第二象限，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点A落在MN上时，则m为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），
∴点A的坐标为（﹣1，4），
当y＝4时，﹣x+5＝4，
解得x＝2，
∴点A向右移动2+1＝3时，点A在MN上，
∴m的值为3，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题各3分，满分18分）
13．（3分）分解因式：6m﹣3m2＝ 3m（2﹣m） ．
【分析】运用提取公因式法，确定公因式为3m，然后分解因式即可得到答案．
【解答】解：6m﹣3m2＝3m（2﹣m）．
故答案为：3m（2﹣m）．
14．（3分）化简：（+）•＝ 1 ．
【分析】首先计算括号内的加法，然后计算乘法即可化简．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝1．
故答案为1．
15．（3分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于 60 度．
【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为360°、且每个外角相等求解可得．
【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6．
则正多边形的一个外角＝＝＝60°，
故答案为：60．
16．（3分）如图，把一块三角板的直角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，则∠2＝ 42° ．
【分析】由题意得a∥b，∠4＝90°，根据平行线的性质得出∠3的度数，进而可得∠2的度数．
【解答】解：由题意得a∥b，∠4＝90°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝48°，
∵∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣48°＝42°，
故答案为：42°．
17．（3分）动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，则鸵鸟有 8 只，长颈鹿有 7 只．
【分析】首先设鸵鸟有x只，长颈鹿有y只，由题意得等量关系：x只鸵鸟的眼睛数+y只长颈鹿的眼睛数＝30只，x只鸵鸟的脚数+y只长颈鹿的脚数＝44，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设鸵鸟有x只，长颈鹿有y只，由题意得：
，
解得，
故答案为：8；7
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2018次，点B的落点依次为B1，B2，B3，B4，…，则B2018的坐标为 （1346，0） ．
【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2018＝336×6+2，因此点B2向右平移1344（即336×4）即可到达点B2018，根据点B2的坐标就可求出点B2018的坐标．
【解答】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB．
∴AC＝OA．
∵OA＝1，
∴AC＝1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2018＝336×6+2，
∴点B2向右平移1344（即336×4）到点B2018．
∵B2的坐标为（2，0），
∴B2018的坐标为（2+1344，0），
∴B2018的坐标为（1346，0）．
故答案为：（1346，0）；
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．
【分析】根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算即可．
【解答】解：原式＝a2﹣b2﹣a2﹣ab
＝﹣b2﹣ab．
20．（8分）有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机抽取1张，将卡片的数字记为n．
（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．
（2）求选出的（m，n）在一、三象限的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数；
（2）找出点（m，n）在一、三象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
（2）点（m，n）在一、三象限的结果数为4，
所以选出的（m，n）在一、三象限的概率＝＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠ADC的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACB，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，
∴∠ACD＝∠BCD＝31°，
∴∠ACB＝62°，
∵在△ABC中，∠A＝72°，∠ACB＝62°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣72°﹣62°＝46°；
（2）在△BCD中，由三角形的外角性质得，∠ADC＝∠B+∠BCD＝46°+31°＝77°．
22．（8分）手机是现代入生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．
组别
手机品牌
频数（人数）
A
OPPO
80
B
VIVO
m
C
小米
100
D
华为
120
E
其他
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 40 ，扇形统计图中E组所占的百分比为 15% ；
（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是 ．
【分析】（1）从两个统计图中可知“A组”的频数为80，占调查总数的20%，可求出调查人数，进而求出“B组”的频数和“E组”所占的百分比；
（2）样本中，“使用华为手机”的人数占调查人数的，因此估计总体3万户的30%是使用“华为手机”的人数；
（3）样本中，共调查400户，其中使用“华为手机”的有100户，因此使用“华为手机”的频率为，即为，频率估计概率即可．
【解答】解：（1）80÷20%＝400（人），400×10%＝40（人），60÷400＝15%，
故答案为：40；15%；
（2）30×＝30×30%＝9（万人）
答：其中使用华为手机的用户数量为9万人；
（3）＝，
故答案为：．
23．（8分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为点B．AC经过圆心并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝9，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OB，如图，根据切线的性质得OB⊥AE，再证明OB∥CE得到∠OBC＝∠ECB，然后证明∠OCB＝∠ECB即可；
（2）连接BD，如图，利用勾股定理计算出CB＝3，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，再证明△CBD∽△CEB，然后利用相似比求出CD，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AE，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠OBC＝∠ECB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠ECB，
∴CB平分∠ACE；
（2）解：连接BD，如图，
在Rt△CBE中，CB＝＝3，
∵CD为直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠DCB＝∠ECB，
∴△CBD∽△CEB，
∴CD：CB＝CB：CE，即CD：3＝3：9，解得CD＝10，
∴⊙O的半径为5．
24．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【分析】过点D作DH⊥AC于H，由锐角三角函数的定义求出DH、CH的长，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图②中，过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△ADH中，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，
∴AH＝AD•cos53°≈25×＝15（m），DH＝AD•sin53°≈25×＝20（m），
∵AC＝20m，
∴CH＝AC﹣AH＝5（m），
∴CD＝＝＝5（m）．
25．（8分）已知，抛物线y＝ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
【分析】（1）根据点B的坐标及OC＝3OB可得出点C的坐标，再根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，进而即可得出线段AC所在直线的解析式，由点D的横坐标可找出点D、E的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出S与m的函数关系式，利用配方法可找出S的最大值．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC＝3OB，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3），
将点B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y＝ax2+2ax+c，
或 ，
解得：或 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3或y＝x2+2x﹣3．
（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，如图所示．
∵a＞1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y＝﹣x﹣3．
∵点D的横坐标为m，
∴点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），点E的坐标为（m，﹣m﹣3），
∴DE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴S＝DE×|﹣3﹣0|＝﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）．
∵﹣＜0，且S＝﹣（m2+3m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S取最大值，最大值为．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sinB＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求点A到边BC的距离．
（2）当点G在边AC上时，求t的值．
（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）连接EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．
【分析】（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，解直角三角形即可；
（2）如图2，在Rt△BDP中，用含t的式子分别表示出BD、PD、DE、DG和CD，根据题意得关于t的方程，解得t即可；
（3）分三种情况：①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，分别根据重叠部分的图形形状，计算出S与t之间的函数关系式即可；
（4）分三种情况：①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，此时DC＝DO，②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，分别列出关于t的方程得出t的值即可．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝15，
∴sinB＝＝，
∴AH＝AB＝×15＝12．
（2）如图2，在Rt△BDP中，∠BPD＝90°，BP＝3t，
∴sinB＝＝，
∴cosB＝＝，
∴BD＝5t，PD＝4t，
∴DE＝DG＝2t，CD＝15﹣5t．
∴15﹣5t＝2t，
∴t＝．
（3）①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，
∴S＝（2t）2＝4t2；
②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，
由（1）可知，BH＝9，则CH＝6，
∵DG∥AB，
∴∠GNG＝∠A＝∠C，
又∵∠AHC＝∠G＝90°，
∴△ACH∽△MNG，
∴MG：NG＝AH：CH＝2：1，
∴MG＝2NG，
∴S＝S正方形DEFG﹣S△MGN＝4t2﹣×2[2t﹣（15﹣5t）]2＝﹣45t2+210t﹣225；
③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，
∴S＝×2t（15﹣4t+15﹣5t）＝﹣9t2+30t．
（4）①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵DG∥AB，
∴∠COD＝∠A
∴∠C＝∠COD，
∴DC＝DO，
∴15﹣5t＝t，
解得t＝；
②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，
∴15﹣×5t＝t+t，
解得t＝；
③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，
∴15﹣×5t＝t，
解得t＝．
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